UFRPE-DM Ordenação

Seção 1.3 Ordenação

Axioma 1.3.1.

Admitiremos que em \(\mathbb{Z}\) também valem as seguinte propriedades:

Fechamento de \(\mathbb{N}\text{:}\) O conjunto \(\mathbb{N}\) é fechado para a adição e para a multiplicação, ou seja, para todos \(a, b \in \mathbb{N}\text{,}\) tem-se que \(a+b\in \mathbb{N}\) e \(ab\in \mathbb{N}\text{.}\)
Tricotomia: Dados \(a, b \in \mathbb{Z}\text{,}\) uma, e apenas uma, das seguintes da seguintes propriedades é verdadeira:
\begin{equation*} i)~ a=b; \quad ii)~ b-a \in \mathbb{N}; \quad iii)~ -(b-a) = a-b\in \mathbb{N}. \end{equation*}

Subseção 1.3.1 A relação de ordem

Definição 1.3.2.

Dizemos que \(a\) é menor que \(b\text{,}\) simbolizado por \(a\lt b\text{,}\) toda vez que a propriedade ii) do item 2 do Axioma 1.3.1 for verificada.

Com essa definição, a propriedade iii) é equivalente a afirmar que \(b\lt a\text{.}\) Assim, a tricotomia nos diz que, dados \(a, b \in \mathbb{Z}\text{,}\) uma, e somente uma, das seguintes condições é verificada:

\begin{equation*} i)~ a=b; \quad ii)~ a\lt b; \quad iii)~ b\lt a. \end{equation*}

Segue de imediato da definição da relação "menor que", que \(n\lt n+1\) para todo \(n\in\mathbb{Z}\text{.}\)

A seguinte proposição mostra que a relação "menor que" é uma relação transitiva.

Proposição 1.3.3.

Sejam \(a,b,c\in\mathbb{Z}\text{.}\) Se \(a\lt b\) e \(b\lt c\text{,}\) então \(a\lt c\text{.}\)

Demonstração.

Supondo \(a\lt b\) e \(b\lt c\text{,}\) temos \(b-a\in \mathbb{N}\) e \(c-b\in \mathbb{N}\text{.}\) Como \(\mathbb{N}\) é aditivamente fechado, temos

\begin{equation*} c-a = (b-a) + (c-b) \in \mathbb{N}, \end{equation*}

logo \(a\lt c\text{.}\)

Proposição 1.3.4.

Sejam \(a,b,c\in\mathbb{Z}\text{.}\) Se \(a\lt b\text{,}\) então \(a+c\lt b+c\text{.}\)

Demonstração.

\begin{align*} b-a =\amp~ (b + 0) -a \quad(\text{Pelo item 4 do } \knowl{./knowl/ax-inteiros.html}{\text{Axioma 1.2.1}})\\ =\amp~ (b + (c - c)) -a \quad(\text{Pelo item 5 do } \knowl{./knowl/ax-inteiros.html}{\text{Axioma 1.2.1}})\\ =\amp~ ((b + c) - c) -a \quad(\text{Pelo item 3 do } \knowl{./knowl/ax-inteiros.html}{\text{Axioma 1.2.1}})\\ =\amp~ (b+c) - (a+c). \quad(\text{Pelo item 3 do } \knowl{./knowl/ax-inteiros.html}{\text{Axioma 1.2.1}}) \end{align*}

Como \((b+c) - (a+c) = b-a \in \mathbb{N}\) temos, \(a+c\lt b+c\text{.}\)

Proposição 1.3.5.

Sejam \(a,b\in\mathbb{Z}\) e \(c\in \mathbb{N}\text{.}\) Se \(a\lt b\text{,}\) então \(ac\lt bc\text{.}\)

Demonstração.

Como \(a\lt b\text{,}\) temos \(b-a \in \mathbb{N}\text{.}\) Assim, se \(c\in \mathbb{N}\text{,}\) pelo fato de \(\mathbb{N}\) ser multiplicativamente fechado, temos

\begin{equation*} bc-ac = (b-a)c \in \mathbb{N}, \end{equation*}

logo, \(ac\lt bc\text{.}\)

Notação. A notação \(a\leq b\) significa que \(a\lt b\) ou \(a=b\text{,}\) ou seja, \(b-a \in \mathbb{N}\cup\{0\}\text{.}\) De maneira similar, a notação \(a\geq b\) significa que \(a>b\) ou \(a=b\text{.}\)