Seção 5.2 Conjuntos Infinitos
Definição 5.2.1.
Um conjunto é infinito quando não é finito.
Por definição, um conjunto \(X\) é infinito quando não é vazio nem existe, seja qual for o \(n\in\mathbb{N}\text{,}\) uma bijeção \(f:I_n\rightarrow X\text{.}\)
Exemplo 5.2.2.
Pelo Corolário 5.1.6, o conjunto \(\mathbb{N}\) é infinito. Pelo mesmo argumento, se \(k\in\mathbb{N}\text{,}\) o conjunto dos múltiplos de \(k\) é infinito.
Teorema 5.2.3.
Se \(X\) é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva \(f:\mathbb{N}\rightarrow X\text{.}\)
Demonstração.
Para cada subconjunto não vazio \(A\subset X\text{,}\) escolhemos um elemento \(x_A\in A\text{.}\) Em seguida, definimos \(f:\mathbb{N}\rightarrow X\) indutivamente. Seja \(f(1)=x_X\) e suponha que já foram definidos \(f(1), \ldots, f(n)\text{.}\) Defina \(f(n+1)=x_{A_n}\text{,}\) na qual, \(A_n=X\setminus \{f(1),\ldots,f(n)\}\text{.}\) Note que \(A_n\neq \varnothing\text{,}\) pois \(X\) é infinito.
Falta provar que \(f\) é injetiva. Sejam \(m,n\in\mathbb{N}\text{,}\) digamos que \(m\lt n\text{.}\) Então,
enquanto que
Logo, \(f(m)\neq f(n)\text{.}\)
Corolário 5.2.4.
Um conjunto \(X\) é infinito se, e somente se, existe uma bijeção \(h:X\rightarrow Y\) sobre um subconjunto próprio \(Y\subset X\text{.}\)
Demonstração.
Sejam \(X\) infinito e \(f:\mathbb{N}\rightarrow X\) uma função injetiva. Escreva, para cada \(n\in \mathbb{N}\text{,}\) \(f(n)=x_n\text{.}\) Considere o subconjunto próprio \(Y=X-\{x_1\}\text{.}\) Defina a bijeção \(\varphi:X\rightarrow Y\) pondo
Reciprocamente, se existe uma bijeção de \(X\) sobre um subconjunto próprio de \(X\) então \(X\) é infinito, em virtude do Corolário 5.1.7.
Exemplo 5.2.5.
Galileu foi o primeiro a notar que "há tantos números pares quantos números naturais", isto é,