Seção 2.1 Definições Básicas
Definição 2.1.1.
Um conjunto não-vazio \(A\) sobre o qual estão definidas duas operações, soma (denotada por \(+\)) e produto (denotada por \(\cdot\)) é chamado de anel comutativo com unidade se as seguintes condições são satisfeitas para quaisquer \(a,b,c\in A\text{.}\)
- Associatividade da soma: \((a+b)+c=a+(b+c);\)
- Existência de Elemento Neutro da soma: existe um (único) elemento \(0\in A\) tal que \(a+0=0+a=a\text{;}\)
- Existência de inverso aditivo: para cada \(x\in A\) existe um (único) \(y\in A\text{,}\) denotado por \(y=-x\text{,}\) tal que \(x+y=y+x=0\text{;}\)
- Comutatividade da soma: \(a+b=b+a;\)
- Associatividade do produto: \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\text{;}\)
- Distributividade: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b +a\cdot c\text{;}\)
- Existência de Elemento Neutro do produto: existe um (único) elemento \(1\in A\text{,}\) com \(1\neq 0\text{,}\) tal que \(a\cdot 1 = 1\cdot a= a\text{;}\)
- Comutatividade do Produto: \(a\cdot b=b\cdot a\text{.}\)
Definição 2.1.2.
Um anel \(A\text{,}\) com soma \(+\) e produto \(\cdot\text{,}\) é chamado Domínio de Integridade se além das 8 condições listadas acima, ele também satisfaz a seguinte condição:
- Anel sem divisores de zero: dados \(a,b\in A\text{;}\) \(a\cdot b=0\) implica que \(a=0\) ou \(b=0\text{.}\)
Definição 2.1.3.
Finalmente, um anel \(A\text{,}\) com soma \(+\) e produto \(\cdot\text{,}\) é chamado Corpo se além das condições 1 a 8, do Definição 2.1.1, ele também satisfaz a condição abaixo
- Existência de inverso multiplicativo: para cada \(x\in A\text{,}\) com \(x\neq 0\text{,}\) existe um (único) \(y\in A\text{,}\) denotado por \(y=x^{-1}\text{,}\) tal que \(x\cdot y=y\cdot x=1\text{.}\)
Tomaremos como postulado básico que \(\mathbb{R}\) munido com soma e produto usuais é um corpo. Enfatizando:
Axioma 2.1.4.
O conjunto dos números reais \(\mathbb{R}\text{,}\) munido com soma e produto usuais, é um corpo.
Além disso, consideraremos como verdade, e como fatos conhecidos, que:
- O conjunto dos números inteiros \(\mathbb{Z}\text{,}\) munido com soma e produto usuais, é um domínio de integridade.
- O conjunto dos números racionais \(\mathbb{Q}\text{,}\) munido com soma e produto usuais, é um corpo.
Pense um pouco: O conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}\text{,}\) munido com soma e produto usais, é um anel? Em caso negativo, quais as condições da definição de anel que não são satisfeitas por \(\mathbb{N}\text{?}\)
Pense um pouco: O domínio dos números inteiros \(\mathbb{Z}\) é um corpo?