Seção 6.1 Funções Seno e Cosseno
Definição 6.1.1.
O círculo unitário é o círculo de raio \(1\) centrado na origem do plano \(xy\text{.}\) Sua equação é \(x^2+y^2=1\text{.}\)
Vamos associar cada número real \(t\) a um ponto \(p\) do círculo unitário da seguinte forma: se \(t\) for positivo, iniciando no ponto \((1,0)\text{,}\) movemos sobre o círculo no sentido anti-horário uma distância \(t\text{;}\) se \(t\) for negativo, iniciando no ponto \((1,0)\text{,}\) movemos sobre o círculo no sentido horário uma distância \(|t|\text{:}\) 
Definição 6.1.3.
Definimos \(\cos{t}\) e \(sen~{t}\) como as coordenadas dos ponto \(p\text{,}\) mais precisamente: \(p=(\cos{t}, sen~{t}).\) 
Proposição 6.1.5.
Propriedades imediatas:
- Como \(p=(\cos{t}, sen~{t})\) está no círculo unitário, então\begin{equation*} \cos^2{t} + sen^2{t} =1, \quad \forall ~ t \in \mathbb{R}. \end{equation*}
- Além disso,\begin{equation*} -1\leq \cos{t}\leq 1 \quad \text{ e } \quad -1\leq sen~{t} \leq 1, \quad \forall~ t\in \mathbb{R}. \end{equation*}
-
Lembrando que:
Figura 6.1.6. Os quatro quadrantes. - 1º Quad. \(\rightarrow 0\lt t\lt \frac{\pi}{2}\)
- 2º Quad. \(\rightarrow \frac{\pi}{2}\lt t\lt \pi\)
- 3º Quad. \(\rightarrow \pi\lt t\lt \frac{3\pi}{2}\)
- 4º Quad. \(\rightarrow \frac{3\pi}{2}\lt t\lt 2\pi\)
Então
Tabela 6.1.7. \(t\) \(\quad 0\quad\) \(\quad\frac{\pi}{2}\quad\) \(\quad\pi\quad\) \(\quad\frac{3\pi}{2}\quad\) \(\quad 2\pi\quad\) \(sen~{t}:\) \(0\) \(1\) \(0\) \(-1\) \(0\) \(\cos{t}:\) \(1\) \(0\) \(-1\) \(0\) \(1\) - Quanto ao sinal dessas funções nos quadrantes:
Tabela 6.1.8. 1º Quad. 2º Quad. 3º Quad. 4º Quad. seno: \(+\) \(+\) \(-\) \(-\) cosseno: \(+\) \(-\) \(-\) \(+\) - As funções seno e cosseno são periódicas com período \(2\pi\text{,}\) ou seja, \(sen~{(t+2n\pi)} = sen~{(t)}\) e \(\cos{(t+2n\pi)} = \cos{(t)}, ~ \forall~ n\in \mathbb{Z}, ~\forall t\in \mathbb{R}\text{.}\)
Definição 6.1.9.
Funções pares e funções ímpares são funções que satisfazem relações de simetria particulares, com respeito a tomar inversas aditivas. Seja f uma função real.
- Dizemos \(f\) é par se a seguinte equação vale para todo x tal que x e −x estão no domínio de \(f\text{:}\)\begin{equation*} f(x) = f(-x). \end{equation*}
- Dizemos \(f\) é ímpar se a seguinte equação vale para todo x tal que x e −x estão no domínio de \(f\text{:}\)\begin{equation*} f(x) = -f(-x). \end{equation*}
Gráfico da função \(f(x)=sen(x)\text{.}\) 
- Podemos observar que seno é uma função ímpar, ou seja,\begin{equation*} sen(-x) = -sen(x), ~ \forall x\in \mathbb{R}. \end{equation*}
- O domínio da função seno é \(\mathbb{R}\text{.}\)
- A imagem da função seno é \([-1, 1]\text{.}\)
Gráfico da função \(f(x)=\cos{(x)}\text{.}\) 
- Podemos observar que cosseno é uma função par, ou seja,\begin{equation*} \cos{(-x)} = \cos{(x)}, ~ \forall x\in \mathbb{R}. \end{equation*}
- O domínio da função cosseno é \(\mathbb{R}\text{.}\)
- A imagem da função cosseno é \([-1, 1]\text{.}\)
\(\quad x\quad \)
\(\quad \frac{\pi}{6}\quad \)
\(\quad \frac{\pi}{4}\quad \)
\(\quad \frac{\pi}{3}\quad \)
\(sen(x):\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos{(x)}:\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)