Números: notas de aula

1.

Mostre que \[\sqrt{x^2}=|x| ~ ~ \forall x\in\mathbb{R}.\]

2.

Vimos que: \(0\lt x\lt y\Rightarrow 0\lt x^2\lt y^2\text{.}\) Prove que \[x>0, ~ y>0 ~ ~ \mbox{e} ~ ~ x^2\lt y^2 \Rightarrow x\lt y.\]

3.

Suponha que \(a\) é um número real com a seguinte propriedade: \[x^2 +a^2x+a^4-3a^2>0 ~~~ \forall x\in\mathbb{R}.\] Mostre que \(|a|>2\text{.}\)

4.

Considere os números \(a=3-\sqrt{2-\sqrt{3}}\) e \(b=2-\sqrt{3-\sqrt{2}}\text{.}\) Mostre que \(a>0\) e \(b>0\text{.}\)

5.

Escreva as implicações lógicas que correspondem à resolução da equação \(\sqrt{x}+2=x\text{.}\) Veja quais são as reversíveis e explique o aparecimento de ``raízes estranhas".

6.

Escreva as implicações lógicas que correspondem à resolução da equação \(\sqrt{x}+3=x\text{.}\) Veja quais são as reversíveis e explique o aparecimento de ``raízes estranhas".

7.

Se \(a\) e \(b\) são racionais e se \(a+b\sqrt{2}=0\text{,}\) mostre que \(a=b=0\text{.}\) Se \(a\) e \(b\) são irracionais, a afirmação análoga é válida?

8.

Determine quais das desigualdades abaixo são verdadeiras ou falsas:

1. \(\displaystyle \sqrt{2}>\dfrac{141}{100}\)
2. \(\displaystyle \sqrt{2}>\dfrac{141214}{100000}\)
3. \(\displaystyle 15\lt \sqrt{240}\lt 16\)
4. \(\displaystyle 2\sqrt{2}>1+\sqrt{3}\)
5. \(\displaystyle \sqrt[3]{4}>\dfrac{159}{100}\)

9.

Resolvas as inequações:

1. \(\displaystyle \sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}\leq 2;\)
2. \(\displaystyle \sqrt{1+x}\leq \sqrt{1-x};\)
3. \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\lt \sqrt{2-2x}\leq 2x;\)
4. \(\displaystyle \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}\geq \sqrt{3x-2};\)
5. \(\displaystyle x+\sqrt{x}\leq 1.\)

10.

Mostrar que se \(a\) e \(b\) são racionais e se \(a+b\sqrt{2}\neq 0\) então \(\dfrac{1}{a+b\sqrt{2}}\) é um número real da mesma forma, isto é, existem \(c\) e \(d\) racionais tais que \(\dfrac{1}{a+b\sqrt{2}}=c+d\sqrt{2}\text{.}\)

11.

Determine, caso exista, o supremo de cada um dos seguintes subconjunto de \(\mathbb{R}\text{:}\)

1. \(\displaystyle X=(-\infty,3]\)
2. \(\displaystyle X=\left\{\dfrac{2n}{2n+1}; n\in\mathbb{N}\right\}\)
3. \(\displaystyle \displaystyle X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[-n,\dfrac{1}{n+1}\right]\)
4. \(\displaystyle X=\{x\in\mathbb{R}; x^2+3x-4\lt 0\}\)

12.

Determine, caso existam, o supremo e o ínfimo de cada um dos seguintes subconjunto de \(\mathbb{R}\text{:}\)

1. \(\displaystyle X=\left\{\dfrac{n}{n+1}; n\in\mathbb{N}\right\}\)
2. \(\displaystyle X=\left\{\dfrac{x}{x+1}; x\in\mathbb{R}-\{1\}\right\}\)
3. \(\displaystyle X=\left\{\dfrac{x^2}{x^2+1}; x\in\mathbb{R}\right\}\)
4. \(\displaystyle X=\left\{\dfrac{x^2-1}{x^2+1}; x\in\mathbb{Z}\right\}\)
5. \(\displaystyle X=\left\{2+\dfrac{2}{n}; n\in\mathbb{N}\right\}\)
6. \(\displaystyle X=\left\{2-\dfrac{2}{n}; n\in\mathbb{N}\right\}\)
7. \(\displaystyle X=\left\{\dfrac{1}{z}; z\in\mathbb{Z}-\{0\}\right\}\)
8. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x+1|\lt |x-1|\right\}\)

13.

Considere o conjunto \(C\subset\mathbb{R}\) definido do seguinte modo \[C=\{x\in\mathbb{R}; x^2\lt |2x-1|\}.\] Determine se o conjunto \(C\) é limitado superior ou inferiormente. Determine também, caso existam, o supremo e o ínfimo do conjunto \(C\text{.}\)

Sugestão: Esboce os gráficos das funções reais cujas regras são dadas por \(f(x)=x^2\) e \(g(x)=|2x-1|\text{.}\)

14.

Sejam \(A\) e \(B\) subconjuntos não-vazios de \(\mathbb{R}\) tais que \(B\subset A\text{.}\) Prove que \[\inf A\leq \inf B\leq \sup B\leq \sup A.\]

15.

Determine, caso existam, o supremo e o ínfimo de cada um dos seguintes subconjunto de \(\mathbb{R}\text{:}\)

1. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; \dfrac{2-3x}{x+2}>0 \right\}\)
2. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; \dfrac{2x-3}{4x+1}\leq 2 \right\}\)
3. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; \dfrac{x^2+3}{6x-1}>3 \right\}\)
4. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; x+\dfrac{1}{x}\geq 1 \right\}\)
5. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R};\dfrac{2x+1}{x-1}+\dfrac{x+1}{x-2}>3 \right\}\)
6. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; (2-x)^2\lt (1-x)^2 \right\}\)
7. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; \dfrac{x+1}{x+2}\leq \dfrac{x+3}{x+4} \right\}\)
8. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x-1|=x-1 \right\}\)
9. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |2x+3|=2 \right\}\)
10. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x|\leq 3 \right\}\)
11. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x+2|>2 \right\}\)
12. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; 2\lt|x|\lt3 \right\}\)
13. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x-3|\lt x+1 \right\}\)
14. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x-1|\lt |x-3| \right\}\)
15. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x+1|\lt |3x+2|\right\}\)
16. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x-1|-|x+2|\geq x \right\}\)
17. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; |x+1|\lt x \right\}\)
18. \(\displaystyle X=\left\{x\in\mathbb{R}; \big||x-1|-2\big|\lt 3 \right\}\)