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Seção 6.4 Funções Trigonométricas Inversas

Subseção 6.4.1 Função Arco-Seno

Definição 6.4.1.

A função seno, isto é, \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=sen(x)\) é evidentemente não injetiva, por exemplo, \(f(0)=f(2\pi)=0\text{.}\) Observe o gráfico da função seno abaixo.

Figura 6.4.2. Gráfico da função \(sen(x)\text{,}\) com \(\frac{-5\pi}{2}\leq x\leq \frac{5\pi}{2}\text{.}\)
Observando que se considerarmos a função seno restrita ao intervalo \(\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\text{,}\) isto é, \(g:\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(g(x)=sen(x)\text{,}\) então \(g\) é uma função injetiva. Veja o gráfico de \(g\) abaixo:
Figura 6.4.3. Gráfico da função \(sen(x)\text{,}\) com \(\frac{-\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}\text{.}\)
Sendo \(g\) uma função injetiva com domínio \(\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\) e imagem \([-1, 1]\text{,}\) podemos definir a inversa de \(g\text{.}\) A função \(g^{-1}\) é denominada arco-seno e é denotada por

\begin{equation*} g^{-1}(x)=arcsen(x)\quad \text{ ou } \quad sen^{-1}(x). \end{equation*}
Observação 6.4.4.
  • O domínio de \(g^{-1}\) é \([-1,1]\)
  • A imagem de \(g^{-1}\) é \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)
  • \(arcsen(x)=y \Leftrightarrow sen(y)=x\) e \(-\frac{\pi}{2}\leq y \leq \frac{\pi}{2}\)
  • \(\displaystyle sen(arcsen(x))=x,\quad \forall~x\in [-1,1]\)
  • \(\displaystyle arcsen(sen(x))=x,\quad \forall~x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\)

Gráfico da função arco-seno

Figura 6.4.5. Gráfico da função \(arcsen(x)\text{,}\) com \(-1\leq x\leq 1\text{.}\)

Subseção 6.4.2 Função Arco-Cosseno

Definição 6.4.6.

A função cosseno, isto é, \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=\cos(x)\) não injetiva. Porém, se considerarmos a função cosseno restrita ao intervalo \([0,\pi]\text{,}\) isto é, \(g:[0, \pi]\rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(g(x)=\cos{(x)}\text{,}\) notamos que \(g\) é uma função injetiva. Observe o gráfico de \(g\) na figura abaixo:

Figura 6.4.7. Gráfico da função \(\cos{(x)}\text{,}\) com \(0\leq x\leq \pi\text{.}\)
Como \(g\) é uma função injetiva com domínio \([0,\pi]\) e imagem \([-1,1]\text{,}\) podemos definir sua inversa \(g^{-1}\) que é denominada função arco-cosseno e é denotada por:

\begin{equation*} g^{-1}(x)=arccos(x)\quad \text{ ou } \quad \cos^{-1}(x). \end{equation*}
Observação 6.4.8.
  • O domínio de \(g^{-1}\) é \([-1,1]\)
  • A imagem de \(g^{-1}\) é \(\left[0,\pi\right]\)
  • \(arccos(x)=y \Leftrightarrow \cos(y)=x\) e \(0\leq y\leq \pi\)
  • \(\displaystyle \cos(arccos(x))=x,\quad \forall~x\in [-1,1]\)
  • \(\displaystyle arccos(\cos(x))=x,\quad \forall~x\in \left[0, \pi\right]\)

Gráfico da função arco-cosseno

Figura 6.4.9. Gráfico da função \(arccos(x)\text{,}\) com \(-1\leq x\leq 1\text{.}\)

Subseção 6.4.3 Função Arco-Tangente

Definição 6.4.10.

A função tangente, isto é, \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=\tan(x)\) não injetiva. Porém, se considerarmos a função tangente restrita ao intervalo \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\text{,}\) isto é, \(g:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(g(x)=\tan{(x)}\text{,}\) notamos que \(g\) é uma função injetiva. Observe o gráfico de \(g\) na figura abaixo:

Figura 6.4.11. Gráfico da função \(\tan{(x)}\text{,}\) com \(-\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}\text{.}\)
Como \(g\) é uma função injetiva com domínio \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\) e imagem \(\mathbb{R}\text{,}\) podemos definir sua inversa \(g^{-1}\) que é denominada função arco-tangente e é denotada por:

\begin{equation*} g^{-1}(x)=arctan(x)\quad \text{ ou } \quad \tan^{-1}(x). \end{equation*}
Observação 6.4.12.
  • O domínio de \(g^{-1}\) é \(\mathbb{R}\)
  • A imagem de \(g^{-1}\) é \(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\)
  • \(arctan(x)=y \Leftrightarrow \tan(y)=x\) e \(-\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2}\)
  • \(\displaystyle \tan(arctan(x))=x,\quad \forall~x\in \mathbb{R}\)
  • \(\displaystyle arctan(\tan(x))=x,\quad \forall~x\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)\)

Gráfico da função arco-tangente

Figura 6.4.13. Gráfico da função \(arctan(x)\text{,}\) com \(-4\leq x\leq 4\text{.}\)

Subseção 6.4.4 Função Arco-Cotangente

Definição 6.4.14.

Se restringirmos o domínio da função cotangente ao intervalo \((0,\pi)\text{,}\) isto é, \(g:(0,\pi)\rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(g(x)=cotg(x)\text{,}\) então \(g\) é uma função injetiva. Sendo assim, \(g\) admit uma inversa, \(g^{-1}\text{,}\) denominada arco-cotangente e denotada por

\begin{equation*} g^{-1}=arccot(x). \end{equation*}
Observação 6.4.15.
  • O domínio de \(g^{-1}\) é \(\mathbb{R}\)
  • A imagem de \(g^{-1}\) é \((0,\pi)\)
  • \(arccotg(x)=y \Leftrightarrow \cot(y)=x\) e \(0\lt y\lt \pi\)
  • \(\displaystyle \cot(arccotg(x))=x,\quad \forall~x\in \mathbb{R}\)
  • \(\displaystyle arccotg(\cot(x))=x,\quad \forall~x\in (0,\pi)\)

Subseção 6.4.5 Funções Arco-Secante e Arco-Cossecante

Definimos o arco-secante como segue:

\begin{equation*} y=arcsec(x) \Leftrightarrow \sec(y)=x \quad \text{e}\quad 0\leq y\lt \frac{\pi}{2} ~~\text{ ou }~~ \pi \leq y\lt \frac{3\pi}{2}. \end{equation*}

Definimos o arco-cossecante como segue:

\begin{equation*} y=arccossec(x) \Leftrightarrow \csc(y)=x \quad \text{e}\quad 0\lt y\leq \frac{\pi}{2} ~~\text{ ou }~~ \pi \lt y\leq \frac{3\pi}{2}. \end{equation*}