Números: notas de aula

1.

Mostre que $n\lt s(n)$ para todo $n\in\mathbb{N}\text{.}$

2.

Prove que para qualquer $n\in\mathbb{N}\text{,}$ não existe $p\in\mathbb{N}$ tal que $n\lt p\lt n+1\text{.}$

3.

Sejam $m,n,p,k$ números naturais quaisquer. Mostre que:

1. se $m\lt n\text{,}$ então $m+p\lt n+p\text{;}$
2. se $m\leq n\text{,}$ então $m+p\leq n+p\text{;}$
3. se $m\lt n$ e $k\lt p\text{,}$ então $m+k\lt n+p\text{;}$
4. se $m\lt n\text{,}$ então $m\cdot p\lt n\cdot p\text{.}$
5. se $m\leq n\text{,}$ então $m\cdot p\leq n\cdot p\text{.}$
6. se $m\lt n$ e $k \lt p\text{,}$ então $m\cdot k\lt n\cdot p\text{.}$

4.

Dados os números naturais $a, b,$ prove que existe um número natural $m$ tal que $m\cdot a>b\text{.}$

5.

Prove, utilizando o Princípio de Indução que para todo $n\in\mathbb{N}$

1. $\displaystyle 1+2+3+4+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
2. $\displaystyle \dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n}{n+1}$
3. $\displaystyle \dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{n}{2n+1}$
4. $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
5. $\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=(1+2+3+\cdots +n)^2=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$
6. $\displaystyle 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3}$