Números: notas de aula

1.

Mostre que \(n\lt s(n)\) para todo \(n\in\mathbb{N}\text{.}\)

2.

Prove que para qualquer \(n\in\mathbb{N}\text{,}\) não existe \(p\in\mathbb{N}\) tal que \(n\lt p\lt n+1\text{.}\)

3.

Sejam \(m,n,p,k\) números naturais quaisquer. Mostre que:

1. se \(m\lt n\text{,}\) então \(m+p\lt n+p\text{;}\)
2. se \(m\leq n\text{,}\) então \(m+p\leq n+p\text{;}\)
3. se \(m\lt n\) e \(k\lt p\text{,}\) então \(m+k\lt n+p\text{;}\)
4. se \(m\lt n\text{,}\) então \(m\cdot p\lt n\cdot p\text{.}\)
5. se \(m\leq n\text{,}\) então \(m\cdot p\leq n\cdot p\text{.}\)
6. se \(m\lt n\) e \(k \lt p\text{,}\) então \(m\cdot k\lt n\cdot p\text{.}\)

4.

Dados os números naturais \(a, b,\) prove que existe um número natural \(m\) tal que \(m\cdot a>b\text{.}\)

5.

Prove, utilizando o Princípio de Indução que para todo \(n\in\mathbb{N}\)

1. \(\displaystyle 1+2+3+4+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)
2. \(\displaystyle \dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n}{n+1}\)
3. \(\displaystyle \dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{n}{2n+1}\)
4. \(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
5. \(\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=(1+2+3+\cdots +n)^2=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\)
6. \(\displaystyle 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2=\dfrac{n(4n^2-1)}{3}\)