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Seção 6.3 Identidades Trigonométricas

Já sabemos que

\begin{equation} sen^2{x}+\cos^2{x} =1,\quad \forall~x\in \mathbb{R}.\label{eq-iden-trig01}\tag{6.3.1} \end{equation}

Para \(x\neq \frac{\pi}{2}+n\pi (n\in \mathbb{Z})\text{,}\) se dividirmos a Equação (6.3.1) por \(\cos^2{x}\text{,}\) obteremos a seguinte equação:

\begin{equation*} \tan^2{x}+1 = \sec^2{x}, \quad \text{para }~x\neq \frac{\pi}{2}+n\pi, n\in \mathbb{Z}. \end{equation*}

Agora, para \(x\neq n\pi (n\in \mathbb{Z})\text{,}\) se dividirmos a Equação (6.3.1) por \(sen^2{x}\text{,}\) obteremos a seguinte equação :

\begin{equation*} 1+\cot^2{x} = \csc^2{x},\quad \text{para }~x\neq n\pi, n\in \mathbb{Z} \end{equation*}

item 1. Sejam \(\stackrel{\frown}{AM}, \stackrel{\frown}{AN}\) e \(\stackrel{\frown}{AP}\) arcos trigonométricos de medidas \(a, b\) e \(a-b\text{,}\) respectivamente.

Figura 6.3.2. Arcos \(\stackrel{\frown}{AM}, \stackrel{\frown}{AN}\) e \(\stackrel{\frown}{AP}\text{.}\)
As coordenadas dos pontos \(A, P, N\) e \(M\text{:}\)

  • \(\displaystyle A = (cos(0),sen(0)) = (1,0);\)
  • \(\displaystyle P = (cos(a-b), sen(a-b));\)
  • \(\displaystyle N = (cos(b), sen(b));\)
  • \(\displaystyle M = (cos(a), sen(a)).\)

Lembrando que a distância entre dois pontos \(p_1=(x_1,y_1)\) e \(p_2=(x_2, y_2)\text{,}\) do plano cartesiano, é dado por

\begin{equation*} d_{p_1p_2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\text{.} \end{equation*}

Vamos usar que a distância de \(A\) até \(P\) é igual a distância de \(N\) até \(M\text{.}\) Assim, \(d_{AP}=d_{NM}\text{,}\) implica em

\begin{equation*} \sqrt{(cos(a-b)-1)^2+(sen(a-b)-0)^2} = \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =\sqrt{(cos(a)-cos(b))^2+(sen(a)-sen(b))^2}. \end{equation*}

Elevando ambos os membros ao quadrado obtemos

\begin{equation*} (cos(a-b)-1)^2+(sen(a-b)-0)^2 = (cos(a)-cos(b))^2+(sen(a)-sen(b))^2. \end{equation*}

Calculando os quadrados,

\begin{equation*} cos^2(a-b)-2cos(a-b)+1+sen^2(a-b) =\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad= cos^2(a)-2cos(a)cos(b)+cos^2(b)+sen^2(a)-2sen(a)sen(b)+sen^2(b). \end{equation*}

Reorganizando, ficamos com

\begin{equation*} \overbrace{cos^2(a-b)+sen^2(a-b)}^{=1}-2cos(a-b)+1 =\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad= \underbrace{cos^2(a)+sen^2(a)}_{=1}-2cos(a)cos(b)-2sen(a)sen(b)+\underbrace{sen^2(b)+cos^2(b)}_{=1}. \end{equation*}

Ou seja,

\begin{equation*} -2cos(a-b)+2 = -2cos(a)cos(b)-2sen(a)sen(b)+2. \end{equation*}

Cancelando o \(+2\) de ambos os membros e em seguida multiplicando tudo por \(-\frac{1}{2}\) obtemos a igualdade:

\begin{equation*} cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b). \end{equation*}

itens 2., 3., 4., 5. e 6. Exercício.