Seção 2.2 Propriedades Algébricas de \(\mathbb{R}\)
Para facilitar a notação, dados \(x,y\in\mathbb{R}\text{,}\) o produto \(x\cdot y\) será denotado simplesmente por \(xy\text{,}\) a soma \(x+(-y)\) será denotada por \(x-y\) e é chamada a diferença entre \(x\) e \(y\text{.}\) Além disso, se \(y\neq 0\text{,}\) o produto \(x\cdot y^{-1}\) será denotado por \(\frac{x}{y}\) e é chamado o quociente de \(x\) por \(y\text{.}\)
As seguintes propriedades são básicas na Teoria dos Anéis. Por motivo de brevidade, omitiremos algumas demonstrações que podem ser encontradas em [8.2]
A seguinte propriedade é básica para a resolução de equações.
Proposição 2.2.1.
Para quaisquer \(a,b,c\in\mathbb{R}:\)
- se \(a=b\text{,}\) então \(a+c=b+c\text{;}\)
- se \(a=b\text{,}\) então \(a\cdot c=b\cdot c\text{.}\)
A seguinte proposição é chamada Lei do corte, no item (i) para a soma e no item (ii) para o produto.
Proposição 2.2.2.
Para quaisquer \(a,b,c\in \mathbb{R}:\)
- se \(a+b=a+c\text{,}\) então \(b=c\text{;}\)
- se \(a\cdot b=a\cdot c\) e \(a\neq 0\text{,}\) então \(b=c\text{.}\)
Demonstração.
item i. Suponha que \(a+b = a+c\text{,}\) pelo item 3 do Definição 2.1.1, existe um inverso aditivo \(-a\text{.}\) Pela proposição anterior,
Pela associatividade da soma, obtemos
item ii. Suponha que \(a\cdot b = a\cdot c\) e que \(a\neq 0\text{.}\) Como \(a\neq 0\text{,}\) pelo Definição 2.1.3, existe um inverso multiplicativo \(a^{-1}\) de \(a\text{.}\) Então
Proposição 2.2.3.
O número \(0\) é o único elemento de \(\mathbb{R}\) que não possui inverso multiplicativo, isto é, não existe \(a\in\mathbb{R}\) tal que \(0\cdot a=1\text{.}\)
Demonstração.
Suponha que o número \(0\) possui um inverso multiplicativo, ou seja,
Seja \(a\in \mathbb{R}\text{,}\) pelo item 2 do Definição 2.1.1, temos
logo,
Chegamos em um absurdo, pois o item 7 do Definição 2.1.1 diz que \(1\neq 0\text{.}\)
Observação 2.2.4.
Segundo a proposição anterior, o número \(0\) não possui inverso multiplicativo. Sendo assim, não faz sentido dividir por 0, pois isso significaria multiplicar pelo inverso multiplicativo de \(0\text{,}\) que não existe.
O seguinte resultado mostra que o produto do número 0 por qualquer número real é 0.
Proposição 2.2.5.
Para qualquer \(a\in\mathbb{R}\text{,}\)
Demonstração.
Suponha que \(0\cdot a = b\text{,}\) com \(b\neq 0\text{.}\) Então, existe \(b^{-1}\) tal que
Usando a associatividade, obtemos
Chegamos em um absurdo, pois o elemento \(0\) não possui inverso multiplicativo. Portanto, \(0\cdot a=0\) para qualquer \(a\in \mathbb{R}\text{.}\)
O próximo resultado nos mostra que quando multiplicamos \(-1\text{,}\) que é o inverso aditivo de \(1\text{,}\) por um número real \(a\text{,}\) o resultado é \(-a\text{,}\) que é o inverso aditivo de \(a\text{.}\)
Proposição 2.2.6.
Para qualquer \(a\in\mathbb{R}\text{,}\)
Demonstração.
Pela distributividade
Logo, o inverso aditivo de \(a\) é \((-1)\cdot a\text{,}\) ou seja,
Demonstraremos agora as bem conhecidas regras dos sinais.
Proposição 2.2.7.
As seguintes propriedades são válidas para quaisquer \(a,b\in\mathbb{R}\text{:}\)
- \(-(-a)=a\text{;}\)
- \((-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)\text{;}\)
- \((-a)\cdot(-b)=a\cdot b\text{.}\)
Demonstração.
item 1. Pelo item 3 do Definição 2.1.1, o inverso aditivo é único. Como \((-a)\) é o inverso aditivo de \(a\text{,}\) por simetria, \(a\) é o inverso aditivo de \((-a)\text{.}\) Portanto, basta mostrarmos que \(-(-a)\) é o inverso aditivo de \((-a)\text{.}\)
item 2. Vamos verificar que ao somar \((-a)\cdot b\) ou \(a\cdot (-b)\) com \(a\cdot b\text{,}\) obtemos o elemento neutro da adição.
Logo, tanto \((-a)\cdot b\) como \(a\cdot (-b)\) são inversos aditivos de \(a\cdot b\text{.}\) Portanto,
item 3. Pelo item 2 temos
Mais uma vez, pelo item 2 temos
Agora, pelo item 1 obtemos
Portanto,
O próximo resultado é muito importante, basicamente ele mostra que \(\mathbb{R}\) é um Domínio de Integridade, isto é, se o produto de dois números reais é \(0\text{,}\) então um desses dois números é \(0\text{.}\)
Proposição 2.2.8.
Sejam \(a,b\in \mathbb{R}\text{,}\) então
Demonstração.
Suponha que \(a\neq 0\text{.}\) Multiplicando a igualdade
pelo inverso multiplicativo de \(a\text{,}\) obtemos
Usando o mesmo argumento, apenas trocando a suposição de que \(a\neq 0\) por \(b\neq 0\text{,}\) obtemos que \(a=0\text{.}\) Portanto,
Observação 2.2.9.
Segue direto da Proposição 2.2.5 que a recíproca da Proposição 2.2.8 também é verdadeira. Isto é,
Essa sentença é equivalente a sua contrapositiva, que é:
Observação 2.2.10.
Da Proposição 2.2.8 e da Observação 2.2.9, podemos concluir que dados \(a,b\in\mathbb{R}\)
equivalentemente,
Uma aplicação da Proposição 2.2.8 é vista no ensino básico quando resolvemos algumas equações polinomiais.
Exemplo 2.2.11.
Determine todas as soluções reais das equações polinomiais. Explique porque de fato pode afirma que determinou todas as soluções reais.
- \(\displaystyle 2x^2+3x=0\)
- \(\displaystyle (x+2)\cdot(2x-3)\cdot x=0\)
item a. Pela Proposição 2.2.8,
se e somente se, \(x=0\) ou \((2x+3)=0\text{.}\) Portanto, para que \(2x^2+3x=0\text{,}\) precisamos que
O conjunto de todas as soluções é dado por
item b. Pela Proposição 2.2.8,
se e somente se, \((x+2)=0\) ou \((2x-3)=0\) ou \(x\text{.}\) Portanto, para que \((x+2)\cdot(2x-3)\cdot x=0\text{,}\) precisamos que
O conjunto de todas as soluções é dado por
Exemplo 2.2.12.
Para quaisquer \(a,b\in\mathbb{R}\text{,}\) mostre que:
- \(\displaystyle -(a+b)=-a-b;\)
- \(\displaystyle (a-b)(a+b)=a^2-b^2;\)
- \(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\)
Uma consequência importante da Proposição 2.2.8 é a conhecida Fórmula de Bhaskara, que será demonstrada quando definirmos raiz quadrada. Porém, já podemos demonstrar uma parte dessa fórmula.
Proposição 2.2.13.
(Fórmula de Bhaskara com \(\Delta=0\)) Sejam \(a,b,c\in \mathbb{R}\) com \(a\neq 0\text{.}\) Se \(\Delta=b^2-4ac=0\text{,}\) então a única solução para a equação polinomial
é
Demonstração.
Como \(a\neq 0\) e
Substituindo a igualdade (2.2.2) em \((\bigstar)\text{,}\) obtemos
como \(-b^2 + 4ac=0\text{,}\) ficamos com
Ou seja, a única solução é
Exemplo 2.2.14.
Determine todas as soluções reais da equação polinomial
Explique porque de fato pode afirma que determinou todas as soluções reais.
SoluçãoSe, e somente se, \(x=0\) ou \(x=2\text{,}\) pois \(-8\neq 0\text{.}\)
Exemplo 2.2.15.
Se \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\) em \(\mathbb{R}\text{,}\) prove que:
- \((a^{-1})^{-1}=a\text{;}\)
- \((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\text{;}\)
- \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a}\text{.}\)
O seguinte resultado nos mostra algumas operações com o quociente.
Proposição 2.2.16.
Sejam \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) não nulos, então:
- \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}\text{;}\)
- \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}\text{;}\)
- \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\text{;}\)
- \(\dfrac{a\cdot d}{b\cdot d}=\dfrac{a}{b}\text{;}\)
- \(\left(\dfrac{a}{b}\right)\bigg/\left(\dfrac{c}{d}\right)=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}\text{.}\)
Demonstração.
item 1. Como \(\frac{a}{b} = a\cdot b^{-1}\text{,}\) então
item 2.
item 3.
item 4.
item 5.
Observação 2.2.17.
Em outras palavras, as propriedades da Proposição 2.2.16 nos diz que:
- Quando somamos frações com o mesmo denominador, somamos os numeradores. Por exemplo, \(\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{7}\text{.}\)
- Quando somamos frações com denominadores diferentes, encontramos um denominador comum. Então somamos os numeradores. Por exemplo, \(\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{2\cdot5+3\cdot 7}{5\cdot7}=\dfrac{31}{35}\text{.}\)
- Quando multiplicamos frações, multiplicamos numeradores e denominadores. Por exemplo, \(\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{2\cdot 3}{7\cdot 5}=\dfrac{6}{35}\text{.}\)
- Cancelamos números que são fatores comuns no numerador e no denominador. Por exemplo, \(\dfrac{6}{15}=\dfrac{2\cdot 3}{5\cdot 3}=\dfrac{2}{5}\text{.}\)
- Quando dividimos frações, invertemos o divisor e multiplicamos. Por exemplo, \(\dfrac{2}{7}\bigg/ \dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{21}\text{.}\)