Seção 4.3 Extremos em Conjuntos Compactos
Para funções de várias variáveis, a busca por máximos e mínimos absolutos em regiões que incluem a fronteira é fundamentada pelo seguinte teorema:
Teorema 4.3.1. Teorema de Weierstrass.
Seja \(f: A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) uma função contínua no conjunto fechado e limitado (compacto) \(A\text{.}\) Então existem pontos \(P_1, P_2 \in A\) tais que \(f(P_1) \le f(P) \le f(P_2)\) para qualquer ponto \(P \in A\text{.}\)
Em termos práticos, o teorema garante que a função atingirá seu valor máximo e mínimo absoluto se o domínio for "comportado". O roteiro para determinação desses valores consiste em:
Localizar os pontos críticos no interior do conjunto \(A\) e calcular o valor da função nesses pontos.
Determinar os valores extremantes de \(f\) sobre a fronteira do conjunto \(A\text{.}\)
Comparar todos os valores obtidos: o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto no conjunto.
Exemplo 4.3.2. Extremos em uma Região Triangular.
Determine o valor máximo e o valor mínimo de \(f(x,y) = 2x^3 + 2y^3 - 6x - 6y\) no conjunto \(B\) delimitado pelo triângulo de vértices \((0,0)\text{,}\) \((3,0)\) e \((0,3)\text{.}\)
Solução.
1. Análise do Interior: Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 - 6 = 0 \implies x = 1
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial y} = 6y^2 - 6 = 0 \implies y = 1
\end{equation*}
O único ponto crítico no interior de \(B\) é \((1,1)\text{,}\) onde \(f(1,1) = -8\text{.}\)
2. Análise da Fronteira: A fronteira é composta por três segmentos:
No eixo x (\(y=0, 0 \le x \le 3\)): \(f(x,0) = 2x^3 - 6x\text{.}\) O mínimo ocorre em \(x=1\) com \(f(1,0)=-4\text{,}\) e o máximo em \(x=3\) com \(f(3,0)=36\text{.}\)
No eixo y (\(x=0, 0 \le y \le 3\)): Analogamente, o mínimo é \(f(0,1)=-4\) e o máximo \(f(0,3)=36\text{.}\)
Na hipotenusa (\(x+y=3\)): A análise revela um valor mínimo de \(f(1.5, 1.5) = -4.5\text{.}\)
3. Conclusão: Comparando os valores obtidos (\(-8, -4, 36, -4.5\)), o valor máximo absoluto é \(36\) e o valor mínimo absoluto é \(-8\text{.}\)
Exemplo 4.3.3. Extremos em um Disco Fechado.
Encontre a temperatura máxima e mínima em um disco \(x^2 + y^2 \le 1\text{,}\) onde a temperatura é dada por \(T(x,y) = 3y^2 + x^2 - x\text{.}\)
Solução.
1. Interior: \(\frac{\partial T}{\partial x} = 2x - 1 = 0 \implies x = 1/2\) e \(\frac{\partial T}{\partial y} = 6y = 0 \implies y = 0\text{.}\) No ponto crítico \((1/2, 0)\text{,}\) temos \(T(1/2, 0) = -1/4\text{.}\)
2. Fronteira (\(x^2 + y^2 = 1\)): Substituindo \(y^2 = 1 - x^2\) na função, obtemos uma função de uma variável: \(g(x) = 3(1-x^2) + x^2 - x = -2x^2 - x + 3\) para \(-1 \le x \le 1\text{.}\) O máximo dessa parábola ocorre em \(x = -1/4\text{,}\) resultando nos pontos \((-1/4, \pm\sqrt{15}/4)\) com temperatura \(25/8\text{.}\)
3. Conclusão: A temperatura máxima é \(25/8\) e a mínima é \(-1/4\text{.}\)
Exemplo 4.3.4. Extremos em um Retângulo.
Determine o máximo e o mínimo de \(f(x,y) = x + 2y\) na região retangular \(-1 \le x \le 1\) e \(-2 \le y \le 2\text{.}\)
Solução.
Como as derivadas parciais são \(\frac{\partial f}{\partial x} = 1\) e \(\frac{\partial f}{\partial y} = 2\text{,}\) nunca se anulam, não há pontos críticos no interior.
Analisando a fronteira (os quatro lados do retângulo):
O valor máximo ocorre no vértice onde ambos \(x\) e \(y\) são máximos: \(f(1,2) = 1 + 2(2) = 5\text{.}\)
O valor mínimo ocorre no vértice oposto: \(f(-1,-2) = -1 + 2(-2) = -5\text{.}\)
Exercícios Exercícios
Determine os valores máximos e mínimos absolutos das funções dadas nas regiões restritas (fechadas e limitadas) indicadas.
1.
Determine o máximo e o mínimo absolutos de \(f(x,y) = xy - x - y + 3\) na região triangular fechada com vértices \((0,0)\text{,}\) \((2,0)\) e \((0,4)\text{.}\)
2.
A densidade de uma placa metálica quadrada \([0,1] \times [0,1]\) é dada por \(\sigma(x,y) = x^2 + 2y^2 - x\text{.}\) Onde a placa é mais densa e onde é menos densa?
3.
Encontre o valor máximo e o valor mínimo absolutos de \(f(x,y) = x + 2y\) no retângulo de vértices \((1,-2)\text{,}\) \((1,2)\text{,}\) \((-1,2)\) e \((-1,-2)\text{.}\)
4.
Encontre os extremos absolutos de \(f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y\) no triângulo fechado de vértices \((0,0)\text{,}\) \((3,0)\) e \((0,3)\text{.}\)
5.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de \(f(x,y) = xy\) no disco fechado restrito por \(x^2 + y^2 \le 1\text{.}\)
6.
Encontre o máximo e mínimo absolutos de \(f(x,y) = x^2 + y^2 - 3xy\) no domínio retangular definido por \(0 \le x \le 3\) e \(-1 \le y \le 3\text{.}\)
7.
Um disco tem a forma do círculo \(x^2 + y^2 \le 1\text{.}\) Supondo que a temperatura nos pontos do disco seja dada por \(T(x,y) = x^2 - x + 2y^2\text{,}\) determine as coordenadas dos pontos mais quentes e mais frios do disco.
8.
Encontre os valores extremos da função \(f(x,y) = 2 + x + 3y\) na região do primeiro quadrante delimitada pelas inequações \(x \ge 0\text{,}\) \(y \ge 0\) e \(x + y \le 1\text{.}\)
