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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 3.6 Derivada Direcional

Subseção 3.6.1 O Conceito de Derivada Direcional

Até o momento no estudo do cálculo de várias variáveis, utilizamos as derivadas parciais \(\frac{\partial f}{\partial x}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\) para medir a taxa de variação de uma função \(z = f(x,y)\) quando nos movemos paralelamente aos eixos \(x\) e \(y\text{,}\) respectivamente.
No entanto, em muitas aplicações práticas (como o fluxo de calor, a variação de pressão atmosférica ou a inclinação de um terreno), precisamos saber a taxa de variação da função em qualquer direção arbitrária, e não apenas nas direções dos eixos coordenados. Para isso, introduzimos o conceito de derivada direcional.

Definição 3.6.1. Derivada Direcional.

A derivada direcional de uma função \(f(x,y)\) no ponto \((x_0, y_0)\) na direção de um vetor unitário \(\vec{u} = (a,b)\) é denotada por \(D_{\vec{u}}f(x_0, y_0)\) e definida pelo limite:
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah, y_0 + bh) - f(x_0, y_0)}{h} \end{equation*}
Se o limite existir, ele nos dará a taxa de variação de \(f\) quando avançamos a partir de \((x_0, y_0)\) exatamente na direção e sentido apontados pelo vetor \(\vec{u}\text{.}\)

Exemplo 3.6.2.

Utilizando a definição por limite, calcule a derivada direcional da função \(f(x,y) = xy\) no ponto \((1, 2)\) na direção do vetor unitário \(\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\text{.}\)
Solução.
De acordo com a Definição 3.6.1, a derivada direcional é calculada pelo limite:
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah, y_0 + bh) - f(x_0, y_0)}{h} \end{equation*}
Primeiro, identificamos os elementos do nosso problema de acordo com a fórmula:
  • Ponto inicial: \(x_0 = 1\) e \(y_0 = 2\)
  • Componentes do vetor unitário: \(a = \frac{3}{5}\) e \(b = \frac{4}{5}\)
  • Função avaliada no ponto inicial: \(f(1, 2) = (1)(2) = 2\)
Agora, calculamos o valor da função no ponto deslocado \((x_0 + ah, y_0 + bh)\text{:}\)
\begin{align*} f\left(1 + \frac{3}{5}h, 2 + \frac{4}{5}h\right) \amp = \left(1 + \frac{3}{5}h\right)\left(2 + \frac{4}{5}h\right)\\ \amp = 2 + \frac{4}{5}h + \frac{6}{5}h + \frac{12}{25}h^2\\ \amp = 2 + \frac{10}{5}h + \frac{12}{25}h^2\\ \amp = 2 + 2h + \frac{12}{25}h^2 \end{align*}
Substituindo esses valores no limite:
\begin{align*} D_{\vec{u}}f(1, 2) \amp = \lim_{h \to 0} \frac{\left(2 + 2h + \frac{12}{25}h^2\right) - 2}{h}\\ \amp = \lim_{h \to 0} \frac{2h + \frac{12}{25}h^2}{h}\\ \amp = \lim_{h \to 0} \frac{h\left(2 + \frac{12}{25}h\right)}{h} \end{align*}
Cancelando o \(h\) do numerador e denominador (pois \(h \neq 0\) no cálculo do limite), obtemos:
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f(1, 2) = \lim_{h \to 0} \left(2 + \frac{12}{25}h\right) \end{equation*}
Quando \(h\) tende a zero, o termo que contém \(h\) desaparece, indicando a taxa de variação exata da função se avançarmos a partir do ponto inicial na direção de \(\vec{u}\text{:}\)
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f(1, 2) = 2 \end{equation*}

Subseção 3.6.2 A Relação com o Vetor Gradiente

Calcular a derivada direcional usando a definição por limite pode ser extremamente trabalhoso. Felizmente, se a função \(f\) for diferenciável, podemos usar o vetor gradiente para calcular essa taxa de variação de forma muito mais simples.
Lembrando que o gradiente de \(f(x,y)\text{,}\) denotado por \(\nabla f\text{,}\) é o vetor formado pelas derivadas parciais da função:
\begin{equation*} \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \end{equation*}
Nota essencial: O vetor \(\vec{u}\) na fórmula deve ser unitário (ter módulo igual a 1). Se o problema fornecer um vetor \(\vec{v}\) qualquer, você deve primeiro normalizá-lo: \(\vec{u} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\text{.}\)
Para funções de três ou mais variáveis, como \(w = f(x,y,z)\text{,}\) o raciocínio é idêntico. O gradiente passa a ter três componentes e o vetor unitário também:
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f(x,y,z) = \nabla f(x,y,z) \cdot \vec{u} \end{equation*}

Exemplo 3.6.4.

Encontre a derivada direcional de \(f(x,y) = x^2 y^3 - 4y\) no ponto \(P(2,-1)\) na direção do vetor \(\vec{v} = (2,5)\text{.}\)
Solução.
1. Calcular o gradiente:
\begin{equation*} \nabla f = \left( 2xy^3, 3x^2y^2 - 4 \right) \end{equation*}
2. Avaliar o gradiente no ponto \((2,-1)\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla f(2,-1) = (2(2)(-1)^3, 3(2)^2(-1)^2 - 4) = (-4, 8) \end{equation*}
3. Normalizar o vetor direção: O vetor \(\vec{v} = (2,5)\) não é unitário. Seu módulo é \(\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}\text{.}\) O vetor unitário é \(\vec{u} = \left( \frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{5}{\sqrt{29}} \right)\text{.}\)
4. Calcular o produto escalar:
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f(2,-1) = \nabla f(2,-1) \cdot \vec{u} = (-4, 8) \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{29}}, \frac{5}{\sqrt{29}} \right) \end{equation*}
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f(2,-1) = \frac{-8}{\sqrt{29}} + \frac{40}{\sqrt{29}} = \frac{32}{\sqrt{29}} \end{equation*}

Exemplo 3.6.5.

Calcule a derivada direcional da função \(f(x,y) = x^2y + 3y^2\) no ponto \((1, 2)\) na direção do vetor unitário que forma um ângulo de \(\frac{\pi}{3}\) com o eixo \(x\) positivo.
Solução.
Primeiro, calculamos o vetor gradiente de \(f\text{.}\) As derivadas parciais são:
\begin{align*} f_x(x,y) \amp = 2xy\\ f_y(x,y) \amp = x^2 + 6y \end{align*}
Avaliando no ponto \((1, 2)\text{,}\) obtemos o gradiente:
\begin{equation*} \nabla f(1,2) = (2(1)(2), 1^2 + 6(2)) = (4, 13) \end{equation*}
O vetor unitário \(\vec{u}\) associado ao ângulo \(\theta = \frac{\pi}{3}\) é:
\begin{equation*} \vec{u} = \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right), \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{equation*}
Pelo Teorema 3.6.2, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente pelo vetor unitário:
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f(1,2) = \nabla f(1,2) \cdot \vec{u} = (4, 13) \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 + \frac{13\sqrt{3}}{2} \end{equation*}

Exemplo 3.6.6.

Determine a derivada direcional da função \(f(x,y) = e^x \sin(y)\) no ponto \((0, \frac{\pi}{4})\) na direção do vetor \(\vec{v} = (3, 4)\text{.}\)
Solução.
Como destacado na nota essencial, o vetor direção deve ser unitário. Primeiro, calculamos o módulo de \(\vec{v}\) e o normalizamos para encontrar \(\vec{u}\text{:}\)
\begin{align*} ||\vec{v}|| \amp = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\\ \vec{u} \amp = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \end{align*}
Em seguida, calculamos o vetor gradiente de \(f\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla f(x,y) = (e^x \sin(y), e^x \cos(y)) \end{equation*}
Avaliando o gradiente no ponto \((0, \frac{\pi}{4})\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla f\left(0, \frac{\pi}{4}\right) = \left(e^0 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right), e^0 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{equation*}
Por fim, calculamos a derivada direcional fazendo o produto escalar:
\begin{align*} D_{\vec{u}}f\left(0, \frac{\pi}{4}\right) =\amp \nabla f\left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cdot \vec{u}\\ =\amp \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)\\ =\amp \frac{3\sqrt{2}}{10} + \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{7\sqrt{2}}{10} \end{align*}

Exemplo 3.6.7.

Calcule a derivada direcional da função de três variáveis \(w = f(x,y,z) = xy^2z^3\) no ponto \(P(1, -1, 2)\) na direção do vetor \(\vec{v} = (1, 2, -2)\text{.}\)
Solução.
Como estamos trabalhando com três variáveis, o raciocínio é idêntico. Primeiro, precisamos normalizar o vetor \(\vec{v}\text{:}\)
\begin{align*} ||\vec{v}|| \amp = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\\ \vec{u} \amp = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right) \end{align*}
Agora, calculamos as derivadas parciais para encontrar o gradiente \(\nabla f(x,y,z)\text{:}\)
\begin{align*} f_x(x,y,z) \amp = y^2z^3\\ f_y(x,y,z) \amp = 2xyz^3\\ f_z(x,y,z) \amp = 3xy^2z^2 \end{align*}
Avaliando essas derivadas no ponto \((1, -1, 2)\text{:}\)
\begin{align*} f_x(1, -1, 2) \amp = (-1)^2(2)^3 = 8\\ f_y(1, -1, 2) \amp = 2(1)(-1)(2)^3 = -16\\ f_z(1, -1, 2) \amp = 3(1)(-1)^2(2)^2 = 12 \end{align*}
O gradiente no ponto é \(\nabla f(1, -1, 2) = (8, -16, 12)\text{.}\)
Finalmente, calculamos a derivada direcional efetuando o produto escalar:
\begin{align*} D_{\vec{u}}f(1, -1, 2) \amp = \nabla f(1, -1, 2) \cdot \vec{u}\\ \amp = (8, -16, 12) \cdot \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)\\ \amp = \frac{8}{3} - \frac{32}{3} - \frac{24}{3}\\ \amp = -\frac{48}{3} = -16 \end{align*}

Subseção 3.6.3 A Taxa Máxima de Variação

A relação entre a derivada direcional e o gradiente revela a propriedade geométrica mais importante do vetor gradiente. Pela definição de produto escalar, sabemos que:
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f = \nabla f \cdot \vec{u} = \|\nabla f\| \|\vec{u}\| \cos \theta \end{equation*}
Como \(\vec{u}\) é unitário (\(\|\vec{u}\| = 1\)), a equação se reduz a:
\begin{equation*} D_{\vec{u}}f = \|\nabla f\| \cos \theta \end{equation*}
Onde \(\theta\) é o ângulo entre o gradiente e o vetor direção \(\vec{u}\text{.}\) Como o valor máximo do cosseno é 1 (quando \(\theta = 0\)), tiramos duas conclusões valiosas:
  1. Direção de maior crescimento: A taxa máxima de variação de \(f\) num ponto ocorre na mesma direção e sentido do vetor gradiente \(\nabla f\text{.}\)
  2. Valor máximo: O valor dessa taxa máxima de variação é exatamente o módulo do vetor gradiente, \(\|\nabla f\|\text{.}\)

Exemplo 3.6.8.

Seja a função \(f(x,y) = x^2 e^y\text{.}\) Determine a taxa máxima de variação de \(f\) no ponto \(P(2,0)\) e a direção em que ela ocorre.
Solução.
Primeiro, calculamos o vetor gradiente de \(f\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \left( 2xe^y, x^2e^y \right)\text{.} \end{equation*}
Avaliando o gradiente no ponto \(P(2,0)\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla f(2,0) = (2(2)e^0, 2^2e^0) = (4, 4)\text{.} \end{equation*}
Pelas propriedades da taxa máxima de variação, a direção de maior crescimento é apontada pelo próprio vetor gradiente \(\nabla f(2,0) = (4, 4)\text{.}\) Caso queiramos a direção descrita por um vetor unitário, basta dividi-lo pelo seu módulo: \(\vec{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\text{.}\)
O valor dessa taxa máxima de variação é o módulo do gradiente neste ponto:
\begin{equation*} \|\nabla f(2,0)\| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.6.9.

A temperatura em um ponto \((x,y,z)\) do espaço é modelada pela função \(T(x,y,z) = 20 - x^2 - y^2 - 2z^2\text{.}\) A partir do ponto \(P(1, -1, 2)\text{,}\) em qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é essa taxa máxima de aumento?
Solução.
A direção de aumento máximo da temperatura é dada pelo vetor gradiente \(\nabla T\) avaliado no ponto \(P\text{.}\)
Calculando o gradiente:
\begin{equation*} \nabla T(x,y,z) = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right) = (-2x, -2y, -4z)\text{.} \end{equation*}
Avaliando em \(P(1, -1, 2)\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla T(1, -1, 2) = (-2(1), -2(-1), -4(2)) = (-2, 2, -8)\text{.} \end{equation*}
Portanto, a temperatura aumenta mais rapidamente quando nos movemos a partir de \(P\) na direção do vetor \(\vec{v} = (-2, 2, -8)\text{.}\)
A taxa máxima de aumento é o módulo do gradiente nesse ponto:
\begin{equation*} \|\nabla T(1, -1, 2)\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\text{.} \end{equation*}
Isso significa que, na direção de maior aquecimento, a temperatura aumenta a uma taxa de \(6\sqrt{2}\) graus por unidade de distância percorrida.

Exemplo 3.6.10.

Dada a função \(f(x,y,z) = x \ln(yz)\text{,}\) determine a taxa máxima de variação no ponto \(P(1, 2, 1/2)\) e a direção em que ela ocorre.
Solução.
1. Calcular o gradiente:
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x} = \ln(yz) \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y} = x \left( \frac{1}{yz} \right) z = \frac{x}{y} \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial z} = x \left( \frac{1}{yz} \right) y = \frac{x}{z} \end{equation*}
\begin{equation*} \nabla f = \left( \ln(yz), \frac{x}{y}, \frac{x}{z} \right) \end{equation*}
2. Avaliar no ponto \((1, 2, 1/2)\text{:}\) Note que \(yz = 2(1/2) = 1\text{.}\) Como \(\ln(1) = 0\text{,}\) temos:
\begin{equation*} \nabla f(1, 2, 1/2) = \left( 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{1/2} \right) = \left( 0, \frac{1}{2}, 2 \right) \end{equation*}
3. Taxa máxima de variação: É o módulo do gradiente neste ponto.
\begin{equation*} \|\nabla f\| = \sqrt{0^2 + (1/2)^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 4} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \end{equation*}
4. Direção: Ocorre na direção do vetor gradiente \(\left( 0, \frac{1}{2}, 2 \right)\text{.}\)

Exercícios 3.6.4 Exercícios

Parte 1: Cálculo da Derivada Direcional.

1.
Determine a derivada direcional de \(f(x,y) = 1 + 2x\sqrt{y}\) no ponto \((3, 4)\) na direção do vetor \(\vec{v} = (4, -3)\text{.}\)
2.
Calcule a derivada direcional de \(g(x,y) = e^x \cos y\) no ponto \((0, \pi/4)\) na direção que forma um ângulo de \(\theta = \pi/6\) com o eixo \(x\) positivo. (Dica: o vetor unitário é \(\vec{u} = (\cos\theta, \sin\theta)\)).
3.
Encontre a derivada direcional de \(h(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) no ponto \((1, 2, -2)\) na direção do vetor \(\vec{v} = (-6, 2, -3)\text{.}\)
4.
Calcule a derivada direcional de \(f(x,y) = \ln(x^2 + y^2)\) no ponto \((1, 1)\) na direção do vetor que aponta desse ponto para a origem \((0,0)\text{.}\)
5.
Encontre a derivada direcional de \(w(x,y,z) = x^2y + y^2z\) no ponto \((1, 2, 3)\) na direção do vetor \(\vec{v} = 2\vec{i} - \vec{j} + 2\vec{k}\text{.}\)
6.
Determine a derivada direcional de \(f(x,y) = x \sin(xy)\) no ponto \((2, 0)\) na direção que forma um ângulo de \(\theta = \pi/3\) com o eixo \(x\) positivo.

Parte 2: Taxa Máxima de Variação.

7.
Dada a função \(f(x,y) = y e^{-x} + x e^{-y}\text{,}\) encontre a taxa máxima de variação no ponto \((0, 0)\) e a direção em que ela ocorre.
8.
A temperatura num ponto \((x, y, z)\) de uma sala é dada por \(T(x,y,z) = 200e^{-x^2-3y^2-9z^2}\text{.}\) Em qual direção a temperatura aumenta mais rapidamente a partir do ponto \((2, -1, 2)\text{?}\) Qual é a taxa máxima de aumento?
9.
Para a função \(f(x,y) = \sin(xy)\text{,}\) determine a direção de maior crescimento no ponto \((1, \pi/2)\) e calcule o valor dessa taxa máxima.
10.
O relevo de uma montanha é modelado pela função \(h(x,y) = 5000 - 0.01x^2 - 0.02y^2\text{.}\) Se um alpinista está localizado no ponto \((10, 10)\text{,}\) em que direção (dada por um vetor unitário) ele deve caminhar para subir o mais rapidamente possível?
11.
Considere \(f(x,y,z) = \frac{x+y}{z}\text{.}\) Encontre a taxa máxima de variação no ponto \((1, 1, -1)\) e a direção em que ela ocorre.

Parte 3: Análise Geométrica e Propriedades.

12.
Suponha que o vetor gradiente de uma função \(f\) no ponto \(P\) seja \(\nabla f(P) = (3, 4)\text{.}\)
  1. Existe alguma direção \(\vec{u}\) na qual a derivada direcional \(D_{\vec{u}}f(P)\) seja igual a 6? Justifique.
  2. Determine uma direção (um vetor unitário) na qual a taxa de variação de \(f\) seja zero.
13.
Se uma função \(f(x,y)\) tem sua taxa máxima de variação igual a 5 no ponto \((1,2)\) ocorrendo exatamente na direção do vetor \((3,4)\text{,}\) qual é o vetor gradiente \(\nabla f(1,2)\text{?}\)
14.
Sabendo que a derivada direcional de \(f(x,y)\) no ponto \(P(0,0)\) na direção do vetor \(\vec{v}_1 = (1,1)\) é \(2\sqrt{2}\) e na direção do vetor \(\vec{v}_2 = (1,-1)\) é \(-3\sqrt{2}\text{,}\) determine o vetor gradiente \(\nabla f(0,0)\text{.}\)
15.
Seja \(f(x,y)\) uma função diferenciável. Prove ou dê um contraexemplo: Se a derivada direcional \(D_{\vec{u}}f(P) = 0\) para todos os vetores unitários \(\vec{u}\text{,}\) então obrigatoriamente \(\nabla f(P) = \vec{0}\text{.}\)
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