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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 3.3 O Plano Tangente, O Vetor Gradiente e Interpretação Geométrica

Subseção 3.3.1 O Plano Tangente

A existência de derivadas parciais num ponto não garante que o gráfico de uma função admita um plano tangente nesse ponto. Funções que apresentam "bicos", pontos angulosos ou descontinuidades podem não possuir plano tangente, mesmo que as derivadas parciais existam na origem ou no ponto analisado. Para que o plano represente uma aproximação válida da superfície, a função precisa ser diferenciável.

Definição 3.3.1. Plano Tangente.

Seja \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) diferenciável no ponto \((x_0, y_0)\text{.}\) Chamamos de plano tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\) o plano dado pela equação:
\begin{equation*} z - f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0)\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.3.2. Plano tangente a um paraboloide.

Determine o plano tangente ao gráfico de \(z = x^2 + y^2\) no ponto \(P_2(1,1,2)\text{.}\)
Solução.
A função é diferenciável em todos os pontos do \(\mathbb{R}^2\text{.}\) Suas derivadas parciais são:
\begin{equation*} \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \quad \text{e} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y\text{.} \end{equation*}
No ponto \((1,1)\text{,}\) as derivadas valem \(2(1) = 2\) e \(2(1) = 2\text{,}\) respectivamente.
Substituindo na equação do plano tangente, obtemos:
\begin{equation*} z - 2 = 2(1)(x - 1) + 2(1)(y - 1) \implies 2x + 2y - z = 2\text{.} \end{equation*}
Essa é a equação do plano tangente no ponto \(P_2\text{.}\)

Exemplo 3.3.3. Inexistência de plano tangente.

Determine, se existir, o plano tangente a \(z = \sqrt{2x^2 + y^2}\) no ponto \(P_1(0,0,0)\text{.}\)
Solução.
A função dada não tem derivadas parciais em \((0,0)\text{.}\) Portanto, ela não é diferenciável nesse ponto e seu gráfico não admite plano tangente na origem.

Subseção 3.3.2 O Vetor Gradiente

Podemos reescrever a equação do plano tangente utilizando a notação de vetores.

Definição 3.3.4. Vetor Gradiente.

Seja \(z = f(x,y)\) uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem no ponto \((x_0, y_0)\text{.}\) O gradiente de \(f\) no ponto \((x_0, y_0)\text{,}\) denotado por \(\text{grad } f(x_0, y_0)\) ou \(\nabla f(x_0, y_0)\text{,}\) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de 1ª ordem de \(f\) nesse ponto:
\begin{equation*} \nabla f(x_0, y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \right)\text{.} \end{equation*}
Geometricamente, interpretamos o \(\nabla f(x_0, y_0)\) como um vetor aplicado no ponto \((x_0, y_0)\) do plano \(xy\text{.}\)
Para funções de três variáveis \(w = f(x,y,z)\text{,}\) o vetor gradiente é estendido de forma análoga:
\begin{equation*} \nabla w = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.3.5. Cálculo do vetor gradiente.

Determine o vetor gradiente da função \(f(x,y) = x^2 + \frac{1}{2}y^2\) no ponto \((1,3)\text{.}\)
Solução.
Calculamos as derivadas parciais para encontrar o vetor gradiente genérico:
\begin{equation*} \nabla f = (2x, y)\text{.} \end{equation*}
Avaliando no ponto \((1,3)\text{,}\) temos:
\begin{equation*} \nabla f(1,3) = (2(1), 3) = (2,3)\text{.} \end{equation*}

Subseção 3.3.3 Interpretação Geométrica do Gradiente

Uma das mais importantes propriedades do gradiente de \(f(x,y)\) é a sua relação com as curvas de nível da função.

Exemplo 3.3.7. Reta perpendicular a uma curva de nível.

Encontre a equação da reta perpendicular à curva \(x^2 + y^2 = 4\) no ponto \(P(1, \sqrt{3})\text{.}\)
Solução.
A curva dada é uma curva de nível da função \(f(x,y) = x^2 + y^2\) e passa pelo ponto \(P(1, \sqrt{3})\text{.}\) Pela propriedade geométrica, o vetor \(\nabla f\) é perpendicular à curva nesse ponto.
Calculando o gradiente:
\begin{equation*} \nabla f = (2x, 2y) \implies \nabla f(1, \sqrt{3}) = (2, 2\sqrt{3})\text{.} \end{equation*}
A inclinação da reta procurada coincide com o coeficiente angular do vetor \(\nabla f(1, \sqrt{3})\text{:}\)
\begin{equation*} k_2 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\text{.} \end{equation*}
Conhecendo a inclinação e sabendo que a reta passa pelo ponto \(P\text{,}\) a equação da reta é:
\begin{equation*} y - \sqrt{3} = \sqrt{3}(x - 1) \implies y = \sqrt{3}x\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.3.8. Reta tangente a uma curva de nível.

Utilize o vetor gradiente para encontrar a equação da reta tangente à curva \(x^2 - y^2 = 3\) no ponto \(P(2, 1)\text{.}\)
Solução.
A curva dada é uma curva de nível da função \(f(x,y) = x^2 - y^2\) associada ao valor \(k = 3\text{.}\) Sabemos pela Proposição de Ortogonalidade que o gradiente \(\nabla f(2, 1)\) é um vetor normal (perpendicular) à curva de nível e, consequentemente, é perpendicular à reta tangente nesse ponto.
Primeiro, calculamos o vetor gradiente de \(f\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla f(x,y) = (2x, -2y)\text{.} \end{equation*}
Avaliando o gradiente no ponto \(P(2, 1)\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla f(2, 1) = (2(2), -2(1)) = (4, -2)\text{.} \end{equation*}
A equação da reta tangente que passa por \((x_0, y_0)\) com vetor normal \(\vec{n} = (a, b)\) é dada por \(a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0\text{.}\) Substituindo \(\vec{n} = (4, -2)\) e \(P(2, 1)\text{:}\)
\begin{equation*} 4(x - 2) - 2(y - 1) = 0\text{.} \end{equation*}
Simplificando a equação, obtemos:
\begin{equation*} 4x - 8 - 2y + 2 = 0 \implies 4x - 2y = 6 \implies 2x - y = 3\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.3.9. Reta normal a uma elipse.

Encontre a equação da reta normal (perpendicular) à elipse \(4x^2 + y^2 = 8\) no ponto \(P(1, 2)\text{.}\)
Solução.
A reta normal a uma curva de nível num ponto é a reta que tem a mesma direção do vetor gradiente nesse ponto. Seja \(f(x,y) = 4x^2 + y^2\text{.}\) A elipse é a curva de nível \(f(x,y) = 8\text{.}\)
Calculamos o vetor gradiente:
\begin{equation*} \nabla f(x,y) = (8x, 2y)\text{.} \end{equation*}
Avaliando no ponto \(P(1, 2)\text{:}\)
\begin{equation*} \nabla f(1, 2) = (8(1), 2(2)) = (8, 4)\text{.} \end{equation*}
O vetor \((8, 4)\) fornece a direção da reta normal. Para facilitar, podemos usar um vetor paralelo mais simples, dividindo suas componentes por 4: \(\vec{v} = (2, 1)\text{.}\)
A equação paramétrica da reta que passa por \(P(1, 2)\) com direção \(\vec{v} = (2, 1)\) é:
\begin{equation*} \begin{cases} x(t) = 1 + 2t \\ y(t) = 2 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}\text{.} \end{equation*}
Se for solicitada a equação geral, podemos isolar o parâmetro \(t\) em ambas as equações e igualá-las:
\begin{equation*} \frac{x - 1}{2} = y - 2 \implies x - 1 = 2y - 4 \implies x - 2y = -3\text{.} \end{equation*}

Exercícios 3.3.4 Exercícios

Com base nos conceitos da Seção de Planos Tangentes e Vetores Gradientes, resolva os exercícios abaixo.

Parte 1: Planos Tangentes.

Determine, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas nos pontos indicados:
1.
\(f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\text{;}\) no ponto \(P_1(0, 0, 1)\text{.}\)
2.
\(f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\text{;}\) no ponto \(P_2\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\text{.}\)
3.
\(f(x,y) = xy\text{;}\) nos pontos \(P_1(0,0,0)\) e \(P_2(1,1,1)\text{.}\)
4.
\(z = 2x^2 - 3y^2\text{;}\) nos pontos \(P_1(0,0,0)\) e \(P_2(1,1,-1)\text{.}\)

Parte 2: Vetor Gradiente em um Ponto.

Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:
5.
\(z = x\sqrt{x^2+y^2}\text{;}\) no ponto \(P(1,1)\text{.}\)
6.
\(z = x^2y + 3xy + y^2\text{;}\) no ponto \(P(0,3)\text{.}\)
7.
\(z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\text{;}\) no ponto \(P(0,0)\text{.}\)
8.
\(f(u,v,w) = u^2 + v^2 - w^2 + uw\text{;}\) no ponto \(P(0,1,0)\text{.}\)

Parte 3: Propriedades Geométricas.

9.
Encontrar a equação da reta perpendicular à curva \(y = \frac{1}{x}\) nos pontos \(P_0(1,1)\) e \(P_1\left(2, \frac{1}{2}\right)\text{.}\)
10.
Determinar o plano que contém os pontos \((1,1,0)\) e \((2,1,4)\) e que seja tangente ao gráfico de \(f(x,y) = x^2 + y^2\text{.}\)
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