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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 2.5 Continuidade

Uma função é contínua em um ponto se o seu limite nesse ponto existir e for exatamente igual ao valor da função calculada no ponto. O conceito de continuidade em várias variáveis garante que o gráfico da função não possua saltos, buracos ou quebras abruptas na vizinhança do ponto analisado.

Definição 2.5.1.

Sejam \(f: A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) e \((x_0, y_0)\) um ponto de acumulação de \(A\text{.}\) Dizemos que \(f\) é contínua em \((x_0, y_0)\) se:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = f(x_0, y_0)\text{.} \end{equation*}

Exemplo 2.5.2.

Verifique se a função a seguir é contínua na origem:
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \amp \text{para } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, \amp \text{para } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation*}
Solução.
Para que a função seja contínua em \((0,0)\text{,}\) precisamos provar que \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0)\text{.}\)
O enunciado define que \(f(0,0) = 0\text{.}\) Vamos calcular o limite usando coordenadas polares (\(x = r\cos\theta\text{,}\) \(y = r\sin\theta\)):
\begin{equation*} \lim_{r \to 0} \frac{2(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta}} \end{equation*}
\begin{equation*} = \lim_{r \to 0} \frac{2r^2\cos\theta\sin\theta}{r} = \lim_{r \to 0} 2r\cos\theta\sin\theta \end{equation*}
Como \(r \to 0\) e o termo \(\cos\theta\sin\theta\) é limitado, o limite é igual a \(0\text{.}\) Como \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)\text{,}\) concluímos que a função é contínua na origem.

Exemplo 2.5.3.

Verifique a continuidade de \(f(x,y)\) na origem:
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy}{x^2 + y^2}, \amp \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, \amp \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation*}
Solução.
Avaliamos o \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2xy}{x^2 + y^2}\) por caminhos diferentes.
Pelo eixo \(x\) (\(y=0\)):
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{2x(0)}{x^2 + 0^2} = 0 \end{equation*}
Pela reta \(y=x\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{2x(x)}{x^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{2x^2} = 1 \end{equation*}
Como os limites dependem do caminho (\(0 \neq 1\)), o limite não existe. Uma vez que o limite não existe, a função não é contínua em \((0,0)\text{,}\) apesar de \(f(0,0)\) estar definida.

Exemplo 2.5.4.

Discuta a continuidade da seguinte função definida por partes:
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} x^2 + y^2 + 1, \amp \text{se } x^2 + y^2 \le 4 \\ 0, \amp \text{se } x^2 + y^2 > 4 \end{cases} \end{equation*}
Solução.
Para pontos onde \(x^2 + y^2 \lt 4\) ou \(x^2 + y^2 \gt 4\text{,}\) a função é contínua pois é descrita por polinômios ou constantes. A quebra de continuidade pode ocorrer na fronteira, que é a circunferência \(x^2 + y^2 = 4\text{.}\)
Se nos aproximarmos de um ponto da fronteira a partir do interior do círculo (conjunto \(D_1\)), o limite será:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to \text{fronteira}^-} (x^2 + y^2 + 1) = 4 + 1 = 5\text{.} \end{equation*}
Se nos aproximarmos a partir do exterior do círculo (conjunto \(D_2\)), a função é nula:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to \text{fronteira}^+} 0 = 0\text{.} \end{equation*}
Como \(5 \neq 0\text{,}\) o limite não existe na borda do círculo. Logo, a função sofre uma descontinuidade de salto em todos os pontos onde \(x^2 + y^2 = 4\text{.}\)

Exemplo 2.5.5.

Mostrar que a função abaixo é contínua na origem:
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy}{\sqrt{2x^2 + 2y^2}}, \amp \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, \amp \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation*}
Solução.
Para que seja contínua, precisamos garantir que o limite quando \((x,y) \to (0,0)\) seja zero. Reescrevemos a fração separando as variáveis:
\begin{equation*} 2x \cdot \frac{y}{\sqrt{2x^2 + 2y^2}}\text{.} \end{equation*}
Sabemos que o primeiro termo \(2x\) tende a \(0\text{.}\) Analisamos o segundo termo convertendo para coordenadas polares:
\begin{equation*} \frac{r\sin\theta}{\sqrt{2r^2}} = \frac{r\sin\theta}{r\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta\text{.} \end{equation*}
Como \(|\sin\theta| \le 1\text{,}\) temos que \(\left| \frac{y}{\sqrt{2x^2 + 2y^2}} \right| \le \frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}\) A função é limitada.
Pela regra do "zero vezes limitada" (Proposição 3.3.6), o limite do produto é \(0\text{.}\) Como o limite coincide com \(f(0,0)\text{,}\) a função é contínua na origem.

Subseção 2.5.1 Propriedades de Continuidade

Para evitar o uso exaustivo da definição formal de limite em cada problema, utilizamos as propriedades algébricas das funções contínuas.

Propriedades de Continuidade.

  • Se \(f\) e \(g\) são contínuas, então \(f + g\text{,}\) \(f - g\) e \(f \cdot g\) também são contínuas.
  • O quociente \(f/g\) é contínuo desde que \(g(x_0, y_0) \neq 0\text{.}\)
  • Funções polinomiais são contínuas em todo o \(\mathbb{R}^2\) e funções racionais são contínuas em todo o seu domínio.
  • A composição de funções contínuas \((f \circ g)\) resulta em uma função contínua.

Exemplo 2.5.6.

Determine o conjunto de pontos onde a função
\begin{equation*} f(x,y) = 4x^3y^2 - 5x + 7y - 1 \end{equation*}
é contínua.
Solução.
Passo 1: Identificar as componentes básicas. As funções \(h_1(x,y) = x\) e \(h_2(x,y) = y\) são contínuas em todo o plano.
Passo 2: Aplicar a propriedade do produto. Como o produto de funções contínuas é contínuo, termos como \(x^3\text{,}\) \(y^2\) e o produto \(4x^3y^2\) são contínuos em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Passo 3: Aplicar a propriedade da soma/diferença. A função \(f(x,y)\) é construída somando e subtraindo esses termos contínuos. Além disso, por se tratar de uma soma de monômios, \(f(x,y)\) é uma função polinomial.
Conclusão: De acordo com as propriedades, funções polinomiais são contínuas em todo o \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

Exemplo 2.5.7.

Determine a região de continuidade da função
\begin{equation*} h(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 1}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Passo 1: Analisar numerador e denominador. O numerador \(f(x,y) = x^2 - y^2\) e o denominador \(g(x,y) = x^2 + y^2 - 1\) são polinômios. Logo, ambos são contínuos em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Passo 2: Aplicar a propriedade do quociente. O quociente \(f/g\) (que caracteriza uma função racional) será contínuo em todos os pontos onde o denominador não se anula, ou seja, em todo o seu domínio.
Passo 3: Determinar a restrição. O denominador é zero quando:
\begin{equation*} x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1 \end{equation*}
Conclusão: A função \(h\) é contínua em todo o \(\mathbb{R}^2\text{,}\) exceto sobre os pontos da circunferência de centro na origem e raio 1.

Exemplo 2.5.8.

Analise a continuidade da função
\begin{equation*} p(x,y) = \cos(3xy^2 + \pi)\text{.} \end{equation*}
Solução.
Para resolver este caso, utilizamos a propriedade da composição de funções contínuas \((f \circ g)\text{.}\)
Passo 1: Identificar as funções compostas. A função "interna" é o polinômio \(g(x,y) = 3xy^2 + \pi\text{.}\) Por ser um polinômio, \(g\) é contínua em todo o \(\mathbb{R}^2\text{.}\) A função "externa" é \(f(u) = \cos(u)\text{,}\) que é sabidamente contínua para qualquer número real \(u \in \mathbb{R}\text{.}\)
Conclusão: Como \(g\) é contínua em \(\mathbb{R}^2\) e a imagem de \(g\) cai no domínio onde \(f\) é contínua, a composição \(p(x,y) = f(g(x,y))\) resulta em uma função contínua em todo o plano \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

Exemplo 2.5.9.

Determine a região onde a função
\begin{equation*} q(x,y) = \ln(y - x) \end{equation*}
é contínua.
Solução.
Passo 1: Analisar as partes. A função interna é \(g(x,y) = y - x\text{,}\) um polinômio contínuo em \(\mathbb{R}^2\text{.}\) A função externa é \(f(u) = \ln(u)\text{.}\)
Passo 2: Analisar o domínio da externa. A função logaritmo natural \(f(u)\) só é definida e contínua para valores estritamente positivos (\(u > 0\)).
Passo 3: Aplicar a regra da composição. A composição \((f \circ g)\) será contínua nos pontos onde \(g(x,y)\) fornece valores para os quais \(f\) é contínua. Portanto, precisamos que:
\begin{equation*} g(x,y) > 0 \implies y - x > 0 \implies y > x \end{equation*}
Conclusão: A função \(q(x,y)\) é contínua no semiplano aberto localizado acima da reta \(y = x\text{.}\)

Exercícios 2.5.2 Exercícios

Parte 1: Continuidade em um Ponto (Foco na Origem).

Utilize a Definição para analisar o limite e a continuidade no ponto de acumulação indicado.
1.
Verifique se a função a seguir é contínua na origem:
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2 + y^2}, \amp \text{para } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, \amp \text{para } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation*}
2.
Analise a continuidade da função \(f(x,y)\) no ponto \((0,0)\text{:}\)
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 y^2}{x^4 + y^4}, \amp \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, \amp \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation*}
3.
Determine se a função possui limite na origem e se é contínua nesse ponto:
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{|x| + |y|}, \amp \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, \amp \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation*}
4.
Qual deve ser o valor de \(L\) para que a função abaixo seja contínua em todo o \(\mathbb{R}^2\text{?}\)
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^4 - y^4}{x^2 + y^2}, \amp \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ L, \amp \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation*}

Parte 2: Funções Definidas por Partes em Regiões.

Explore a continuidade nas fronteiras das regiões definidas.
5.
Discuta a continuidade da seguinte função na circunferência \(x^2 + y^2 = 9\text{:}\)
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} 3, \amp \text{se } x^2 + y^2 \le 9 \\ x^2 + y^2 - 6, \amp \text{se } x^2 + y^2 > 9 \end{cases} \end{equation*}
6.
Determine todos os pontos de descontinuidade da função:
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} x + y, \amp \text{se } x \ge 0 \\ x - y, \amp \text{se } x \lt 0 \end{cases} \end{equation*}
7.
A função a seguir modela uma placa com duas temperaturas diferentes. Existe quebra de continuidade na fronteira \(y = x\text{?}\)
\begin{equation*} T(x,y) = \begin{cases} x^2, \amp \text{se } y \ge x \\ 2x - 1, \amp \text{se } y \lt x \end{cases} \end{equation*}

Parte 3: Propriedades de Continuidade (Polinômios e Racionais).

Aplique as propriedades listadas (somas, produtos, quocientes de funções contínuas).
8.
Justifique por que a função \(P(x,y) = 8x^5y^3 - \sqrt{2}x^2y + \pi\) é contínua em todo o plano \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
9.
Determine o conjunto de pontos onde a função racional \(h(x,y) = \frac{3x - y}{x^2 + y^2 - 4}\) é contínua.
10.
Encontre a região de continuidade da função \(g(x,y) = \frac{xy^2}{x - y^2}\) e descreva essa região geometricamente.
11.
Dê um exemplo de uma função racional (quociente de polinômios com graus \(\ge 1\)) que seja estritamente contínua em todo o \(\mathbb{R}^2\) e prove sua continuidade.

Parte 4: Composição de Funções Contínuas.

Analise o domínio gerado pelas restrições na composição de funções \((f \circ g)\text{.}\)
12.
Analise a região de continuidade da função trigonométrica composta \(p(x,y) = \sin\left(\frac{1}{x^2 + y^2}\right)\text{.}\)
13.
Determine o conjunto de pontos do domínio onde a função \(q(x,y) = \ln(1 - x^2 - y^2)\) é contínua.
14.
Onde a função \(w(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 - 16}\) é contínua?
15.
Avalie a continuidade da função mista composta:
\begin{equation*} f(x,y) = e^{\frac{1}{x - y}} + \ln(x + y) \end{equation*}
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