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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 3.4 Diferencial

Subseção 3.4.1 O Conceito de Diferencial

A diferencial de uma função de uma variável, \(y = f(x)\text{,}\) é aproximadamente igual ao acréscimo \(\Delta y\) da variável dependente \(y\text{.}\) De forma análoga, a diferencial de uma função de duas variáveis, \(z = f(x,y)\text{,}\) é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo \(\Delta z\) da variável dependente \(z\) nas proximidades de um ponto.
Geometricamente, enquanto o plano tangente à superfície \(z = f(x,y)\) em \((x_0, y_0)\) nos fornece a "melhor aproximação" plana da superfície perto desse ponto, a diferencial quantifica exatamente a variação de altura (no eixo z) sobre esse plano tangente quando nos deslocamos de \((x_0, y_0)\) para um ponto próximo \((x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)\text{.}\)

Definição 3.4.1. Diferencial Total.

Seja \(z = f(x,y)\) uma função diferenciável no ponto \((x_0, y_0)\text{.}\) Em uma notação clássica, definimos as diferenciais das variáveis independentes \(x\) e \(y\) como seus próprios acréscimos, isto é, \(dx = \Delta x\) e \(dy = \Delta y\text{.}\)
A diferencial de \(f\) em \((x,y)\text{,}\) relativa aos acréscimos \(dx\) e \(dy\text{,}\) é denotada por \(dz\) (ou \(df\)) e é definida por:
\begin{equation*} dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) dy\text{.} \end{equation*}

Subseção 3.4.2 Aproximações e Erros

O acréscimo exato da variável dependente, denotado por \(\Delta z\text{,}\) é a diferença de altura real na superfície:
\begin{equation*} \Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x,y)\text{.} \end{equation*}
Para valores pequenos de \(\Delta x\) e \(\Delta y\text{,}\) a diferencial total \(dz\) aproxima muito bem a variação exata \(\Delta z\text{.}\) Portanto, temos a fórmula de aproximação linear:
\begin{equation*} \Delta z \approx dz \implies f(x + \Delta x, y + \Delta y) \approx f(x,y) + dz\text{.} \end{equation*}
Essa propriedade torna a diferencial uma ferramenta poderosa para calcular propagações de erros e valores numéricos aproximados de expressões complexas.

Subseção 3.4.3 Extensão para Três ou Mais Variáveis

A definição pode ser estendida naturalmente para funções de três ou mais variáveis. Para uma função de três variáveis \(w = f(x,y,z)\text{,}\) a diferencial total é dada por:
\begin{equation*} dw = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) dx + \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) dy + \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) dz\text{.} \end{equation*}

Subseção 3.4.4 Exemplos Resolvidos

Exemplo 3.4.2. Cálculo da Diferencial e do Acréscimo.

Dada a função \(z = x^2 + y^2 - xy\text{:}\)
a) Determinar um valor aproximado para o acréscimo da variável dependente quando \((x,y)\) passa de \((1, 1)\) para \((1.001, 1.02)\text{.}\)
b) Calcular o acréscimo exato \(\Delta z\) para a mesma variação.
Solução.
Solução (a): O valor aproximado do acréscimo é a diferencial \(dz\text{.}\)
As derivadas parciais são \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y\) e \(\frac{\partial f}{\partial y} = 2y - x\text{.}\)
Avaliando no ponto \((1,1)\text{,}\) temos \(\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) = 1\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,1) = 1\text{.}\)
As variações são \(dx = 1.001 - 1 = 0.001\) e \(dy = 1.02 - 1 = 0.02\text{.}\)
Logo, \(dz = (1)(0.001) + (1)(0.02) = 0.021\text{.}\)
Solução (b): O valor exato é \(\Delta z = f(1.001, 1.02) - f(1, 1)\text{.}\)
\(f(1.001, 1.02) = (1.001)^2 + (1.02)^2 - (1.001)(1.02) = 1.021381\text{.}\)
\(f(1, 1) = 1^2 + 1^2 - (1)(1) = 1\text{.}\)
\(\Delta z = 1.021381 - 1 = 0.021381\text{.}\) Note como o erro de aproximação é pequeno (apenas \(0.000381\)).

Exemplo 3.4.3. Aplicação Geométrica (Variação de Área).

Calcular um valor aproximado para a variação da área de um retângulo quando os lados são modificados de \(4\text{ cm}\) e \(2\text{ cm}\) para \(4.01\text{ cm}\) e \(2.001\text{ cm}\text{,}\) respectivamente.
Solução.
A área de um retângulo é dada pela função de duas variáveis \(A(x,y) = xy\text{.}\)
A diferencial da área é \(dA = \frac{\partial A}{\partial x} dx + \frac{\partial A}{\partial y} dy = y \, dx + x \, dy\text{.}\)
Substituindo os valores iniciais \(x = 4\text{,}\) \(y = 2\text{,}\) e as variações \(dx = 0.01\text{,}\) \(dy = 0.001\text{:}\)
\(dA = (2)(0.01) + (4)(0.001) = 0.02 + 0.004 = 0.024\text{ cm}^2\text{.}\)
A área sofre um acréscimo de aproximadamente \(0.024\text{ cm}^2\text{.}\)

Exemplo 3.4.4. Aproximação Numérica.

Encontrar um valor aproximado para a expressão \((1.001)^{3.02}\) usando diferencial.
Solução.
Consideramos a função \(f(x,y) = x^y\text{.}\)
O ponto "fácil" mais próximo de \((1.001, 3.02)\) é \((x,y) = (1, 3)\text{.}\)
As variações são \(dx = 0.001\) e \(dy = 0.02\text{.}\)
Calculamos as derivadas parciais e as avaliamos no ponto \((1, 3)\text{:}\)
\(\frac{\partial f}{\partial x} = y x^{y-1} \implies \frac{\partial f}{\partial x}(1,3) = 3(1^2) = 3\text{.}\)
\(\frac{\partial f}{\partial y} = x^y \ln x \implies \frac{\partial f}{\partial y}(1,3) = 1^3 \ln(1) = 0\text{.}\)
A diferencial total é \(df = 3(0.001) + 0(0.02) = 0.003\text{.}\)
Sabemos que \(f(1.001, 3.02) \approx f(1,3) + df\text{.}\)
Como \(f(1,3) = 1^3 = 1\text{,}\) temos que \((1.001)^{3.02} \approx 1 + 0.003 = 1.003\text{.}\)

Exercícios 3.4.5 Exercícios

Parte 1: Cálculo da Diferencial Total.

Calcule a diferencial total (\(dz\) ou \(dw\)) das seguintes funções:
1.
\(z = x^3 y^2 + \sin(xy)\)
Solução.
\(\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)\)
\(\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^3y + x\cos(xy)\)
\(dz = [3x^2y^2 + y\cos(xy)]dx + [2x^3y + x\cos(xy)]dy\)
2.
\(z = e^{x^2 + y^2}\)
Solução.
\(\frac{\partial z}{\partial x} = 2x e^{x^2 + y^2}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y} = 2y e^{x^2 + y^2}\)
\(dz = 2e^{x^2 + y^2}(x \, dx + y \, dy)\)
3.
\(w = x^2 y z^3\)
Solução.
\(dw = \frac{\partial w}{\partial x}dx + \frac{\partial w}{\partial y}dy + \frac{\partial w}{\partial z}dz\)
\(dw = 2xy z^3 \, dx + x^2 z^3 \, dy + 3x^2 y z^2 \, dz\)
4.
\(w = \ln(x^2 + y^2 + z^2)\)
Solução.
\(dw = \frac{2x}{x^2+y^2+z^2}dx + \frac{2y}{x^2+y^2+z^2}dy + \frac{2z}{x^2+y^2+z^2}dz\)

Parte 2: Propagação de Erros e Variações Aproximadas.

Utilize o conceito de diferencial para resolver os problemas aplicados:
5.
As dimensões de uma caixa retangular fechada mudam de um comprimento de \(10\text{ cm}\text{,}\) largura de \(8\text{ cm}\) e altura de \(5\text{ cm}\) para \(10.1\text{ cm}\text{,}\) \(7.8\text{ cm}\) e \(5.05\text{ cm}\text{.}\) Use diferenciais para aproximar a variação no volume da caixa.
Solução.
A função volume é \(V = xyz\text{.}\) A diferencial é \(dV = yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz\text{.}\)
Ponto base: \((10, 8, 5)\text{.}\) Variações: \(dx = 0.1\text{,}\) \(dy = -0.2\text{,}\) \(dz = 0.05\text{.}\)
\(dV = (8)(5)(0.1) + (10)(5)(-0.2) + (10)(8)(0.05)\)
\(dV = 4 - 10 + 4 = -2\text{ cm}^3\text{.}\) O volume diminui aproximadamente \(2\text{ cm}^3\text{.}\)
6.
A energia consumida em um resistor elétrico é dada por \(P = \frac{V^2}{R}\text{.}\) Se \(V\) diminui de \(120\text{ volts}\) para \(119\text{ volts}\) e \(R\) aumenta de \(10\text{ ohms}\) para \(10.2\text{ ohms}\text{,}\) use diferenciais para estimar a variação na potência \(P\) consumida.
Solução.
\(dP = \frac{\partial P}{\partial V} dV + \frac{\partial P}{\partial R} dR = \frac{2V}{R} dV - \frac{V^2}{R^2} dR\text{.}\)
Ponto base: \(V = 120\text{,}\) \(R = 10\text{.}\) Variações: \(dV = -1\text{,}\) \(dR = 0.2\text{.}\)
\(dP = \frac{240}{10}(-1) - \frac{14400}{100}(0.2) = 24(-1) - 144(0.2) = -24 - 28.8 = -52.8\text{ watts}\text{.}\)
7.
Um terreno tem forma retangular. Estima-se que seus lados medem \(1200\text{ m}\) e \(1800\text{ m}\text{,}\) com um erro máximo de medição de \(10\text{ m}\) e \(15\text{ m}\text{,}\) respectivamente. Determine o possível erro máximo no cálculo da área do terreno.
Solução.
Área \(A = xy\text{.}\) Diferencial \(dA = y \, dx + x \, dy\text{.}\)
Valores: \(x = 1200\text{,}\) \(y = 1800\text{.}\) Erros: \(dx = 10\text{,}\) \(dy = 15\) (consideramos positivos para obter o erro máximo).
\(dA = 1800(10) + 1200(15) = 18000 + 18000 = 36000\text{ m}^2\text{.}\)

Parte 3: Aproximações Numéricas.

Use a diferencial total para encontrar um valor numérico aproximado para as expressões dadas:
8.
\((2.01)^2 \cdot (3.02)^3\)
Solução.
Função: \(f(x,y) = x^2 y^3\text{.}\) Ponto base: \((2,3)\text{.}\) \(dx = 0.01\text{,}\) \(dy = 0.02\text{.}\)
\(f(2,3) = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108\text{.}\)
\(df = 2x y^3 \, dx + 3x^2 y^2 \, dy = 2(2)(27)(0.01) + 3(4)(9)(0.02) = 108(0.01) + 108(0.02) = 1.08 + 2.16 = 3.24\text{.}\)
Valor aproximado: \(108 + 3.24 = 111.24\text{.}\)
9.
\(\sqrt{(3.01)^2 + (3.98)^2}\)
Solução.
Função: \(f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}\text{.}\) Ponto base: \((3,4)\text{.}\) \(dx = 0.01\text{,}\) \(dy = -0.02\text{.}\)
\(f(3,4) = \sqrt{9+16} = 5\text{.}\)
\(df = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}dx + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}dy = \frac{3}{5}(0.01) + \frac{4}{5}(-0.02) = 0.006 - 0.016 = -0.01\text{.}\)
Valor aproximado: \(5 - 0.01 = 4.99\text{.}\)
10.
\(e^{0.02} \ln(1.05)\)
Solução.
Função: \(f(x,y) = e^x \ln y\text{.}\) Ponto base: \((0, 1)\text{.}\) \(dx = 0.02\text{,}\) \(dy = 0.05\text{.}\)
\(f(0,1) = e^0 \ln(1) = 0\text{.}\)
\(df = (e^x \ln y)dx + (\frac{e^x}{y})dy = (1 \cdot 0)(0.02) + (\frac{1}{1})(0.05) = 0.05\text{.}\)
Valor aproximado: \(0 + 0.05 = 0.05\text{.}\)
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