UFRPE-DM Regra da Cadeia

Seção 3.5 Regra da Cadeia

Subseção 3.5.1 Casos Específicos de Função Composta

No estudo de funções de uma variável, usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas. Para funções de várias variáveis, a ideia é semelhante, mas precisamos levar em conta todas as variáveis intermediárias envolvidas.

Caso I (Uma variável independente final): Seja \(z = f(x,y)\) uma função de duas variáveis e sejam \(x = x(t)\) e \(y = y(t)\) funções de uma variável \(t\text{.}\) A função composta \(h(t) = f(x(t), y(t))\) depende apenas de \(t\text{.}\)

Teorema 3.5.1. Regra da Cadeia - Caso I.

Se \(f\) tem derivadas parciais contínuas e \(x(t)\text{,}\) \(y(t)\) são diferenciáveis, então \(h(t)\) é diferenciável e sua derivada é dada por:

\begin{equation*} \frac{dh}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}\text{.} \end{equation*}

Podemos reescrever essa expressão usando o vetor gradiente:

\begin{equation*} \frac{dh}{dt} = \nabla f(\vec{g}(t)) \cdot \vec{g}'(t), \end{equation*}

na qual \(\vec{g}(t) = (x(t), y(t))\) e, consequentemente, \(\vec{g}'(t) = (x'(t), y'(t))\text{.}\)

Caso II (Duas ou mais variáveis independentes finais): Sejam \(z = f(u,v)\) e as variáveis intermediárias dadas por \(u = u(x,y)\) e \(v = v(x,y)\text{.}\) A função composta é \(h(x,y) = f(u(x,y), v(x,y))\text{.}\)

Teorema 3.5.2. Regra da Cadeia - Caso II.

Sob as devidas condições de diferenciabilidade, as derivadas parciais da função composta \(h(x,y)\) são:

\begin{equation*} \frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{\partial h}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\text{.} \end{equation*}

Essas equações podem ser reescritas de forma compacta em uma forma matricial:

\begin{equation*} \begin{bmatrix} \frac{\partial h}{\partial x} \amp \frac{\partial h}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial u} \amp \frac{\partial f}{\partial v} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \amp \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \amp \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}

Essas regras podem ser generalizadas naturalmente para qualquer número de variáveis intermediárias e finais, bastando somar os produtos das derivadas ao longo de todos os "caminhos" que ligam a variável dependente à variável independente em questão.

Subseção 3.5.2 Exemplos Resolvidos

Exemplo 3.5.3. Aplicação do Caso I.

Dada a função \(f(x,y) = x^2y + \ln(xy^2)\text{,}\) com \(x(t) = t^2\) e \(y(t) = t\text{,}\) encontre a derivada \(\frac{dh}{dt}\) para \(h(t) = f(x(t), y(t))\text{.}\)

Solução.

Usando a regra da cadeia do Caso I:

\begin{equation*} \frac{dh}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}\text{.} \end{equation*}

Calculando as derivadas:

\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + \frac{y^2}{xy^2} = 2xy + \frac{1}{x}\)
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + \frac{2xy}{xy^2} = x^2 + \frac{2}{y}\)
\(\frac{dx}{dt} = 2t\) e \(\frac{dy}{dt} = 1\)

Substituindo \(x = t^2\) e \(y = t\text{:}\)

\begin{equation*} \frac{dh}{dt} = \left(2(t^2)(t) + \frac{1}{t^2}\right)(2t) + \left((t^2)^2 + \frac{2}{t}\right)(1) \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{dh}{dt} = \left(2t^3 + \frac{1}{t^2}\right)2t + t^4 + \frac{2}{t} = 4t^4 + \frac{2}{t} + t^4 + \frac{2}{t} = 5t^4 + \frac{4}{t}\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.5.4. Mudança para Coordenadas Polares (Caso II).

Dada \(f(x,y) = x^2y - x^2 + y^2\text{,}\) com \(x = r \cos \theta\) e \(y = r \sin \theta\text{,}\) encontre as derivadas parciais \(\frac{\partial f}{\partial r}\) e \(\frac{\partial f}{\partial \theta}\text{.}\)

Solução.

Usando a regra da cadeia (Caso II):

\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r}\text{.} \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial r} = (2xy - 2x)(\cos \theta) + (x^2 + 2y)(\sin \theta)\text{.} \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \theta}\text{.} \end{equation*}

\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial \theta} = (2xy - 2x)(-r \sin \theta) + (x^2 + 2y)(r \cos \theta)\text{.} \end{equation*}

Exercícios 3.5.3 Exercícios

Baseado nos conceitos da Regra da Cadeia, resolva os exercícios a seguir.

Derivadas de Funções de Uma Variável Independente (Caso I).

Determine \(\frac{dz}{dt}\) usando a regra da cadeia:

1.

\(z = \operatorname{tg}(x^2 + y)\text{,}\) onde \(x = 2t\) e \(y = t^2\text{.}\)

2.

\(z = x \cos y\text{,}\) onde \(x = \sin t\) e \(y = t\text{.}\)

3.

\(z = e^x(\cos x + \cos y)\text{,}\) onde \(x = t^3\) e \(y = t^2\text{.}\)

4.

\(z = \frac{x}{y}\text{,}\) onde \(x = e^{-t}\) e \(y = \ln t\text{.}\)

Derivadas Parciais de Funções Compostas (Caso II e Generalizações).

Determine as derivadas parciais solicitadas usando a regra da cadeia:

5.

Seja \(z = u^2 - v^2\text{,}\) com \(u = x + y\) e \(v = xy\text{.}\) Calcule \(\frac{\partial z}{\partial x}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y}\text{.}\)

6.

Determine \(\frac{\partial z}{\partial u}\) e \(\frac{\partial z}{\partial v}\) para \(z = x^2 - y^2\text{,}\) com \(x = u - 3v\) e \(y = u + 2v\text{.}\)

7.

Dada a função \(f(x,y) = \frac{x}{y} + x^2 + y^2\) com \(x = r \cos \theta\) e \(y = r \sin \theta\text{,}\) encontre \(\frac{\partial f}{\partial r}\) e \(\frac{\partial f}{\partial \theta}\text{.}\)

8.

Determine \(\frac{\partial z}{\partial x}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y}\) para \(z = u^2 + v^2\text{,}\) com \(u = x^2 - y^2\) e \(v = e^{xy}\text{.}\)

9.

Determine as derivadas parciais \(\frac{\partial w}{\partial u}\) e \(\frac{\partial w}{\partial v}\) para \(w = x^2 + 2y^2 - z^2\text{,}\) onde \(x = 2uv\text{,}\) \(y = u+v\) e \(z = (u-v)^2\text{.}\)

Aplicações Teóricas.

10.

Dada \(z = f(x^2 + y^2)\text{,}\) onde \(f\) é uma função diferenciável arbitrária de uma variável, mostre usando a regra da cadeia que a equação \(y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = 0\) é satisfeita.

Dica.

Chame a variável interna de \(u = x^2 + y^2\) e calcule \(\frac{\partial z}{\partial x} = f'(u) \cdot 2x\) e \(\frac{\partial z}{\partial y} = f'(u) \cdot 2y\text{.}\) Depois substitua na equação fornecida.

Cálculo NII: notas de aula

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Seção 3.5 Regra da Cadeia

Subseção 3.5.1 Casos Específicos de Função Composta

Teorema 3.5.1. Regra da Cadeia - Caso I.

Teorema 3.5.2. Regra da Cadeia - Caso II.

Subseção 3.5.2 Exemplos Resolvidos

Exemplo 3.5.3. Aplicação do Caso I.

Exemplo 3.5.4. Mudança para Coordenadas Polares (Caso II).

Exercícios 3.5.3 Exercícios

Derivadas de Funções de Uma Variável Independente (Caso I).

1.

2.

3.

4.

Derivadas Parciais de Funções Compostas (Caso II e Generalizações).

5.

6.

7.

8.

9.

Aplicações Teóricas.

10.