Ir ao conteúdo principal

Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 3.5 Regra da Cadeia

Subseção 3.5.1 Casos Específicos de Função Composta

No estudo de funções de uma variável, usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas. Para funções de várias variáveis, a ideia é semelhante, mas precisamos levar em conta todas as variáveis intermediárias envolvidas.
Caso I (Uma variável independente final): Seja \(z = f(x,y)\) uma função de duas variáveis e sejam \(x = x(t)\) e \(y = y(t)\) funções de uma variável \(t\text{.}\) A função composta \(h(t) = f(x(t), y(t))\) depende apenas de \(t\text{.}\)
Caso II (Duas ou mais variáveis independentes finais): Sejam \(z = f(u,v)\) e as variáveis intermediárias dadas por \(u = u(x,y)\) e \(v = v(x,y)\text{.}\) A função composta é \(h(x,y) = f(u(x,y), v(x,y))\text{.}\)
Essas regras matriciais generalizam-se para qualquer número de variáveis: a matriz Jacobiana da função composta é sempre o produto das matrizes Jacobianas das funções que a compõem.

Subseção 3.5.2 Exemplos Resolvidos

Exemplo 3.5.3. Aplicação Vetorial (Caso I).

Dada a função \(f(x,y) = x^2y + \ln(xy^2)\text{,}\) com \(x(t) = t^2\) e \(y(t) = t\text{,}\) encontre a derivada \(\frac{dh}{dt}\) para \(h(t) = f(x(t), y(t))\) utilizando notação matricial.
Solução.
As derivadas parciais de \(f\) formam o vetor (matriz \(1 \times 2\)):
\begin{equation*} \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \amp \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xy + \frac{1}{x} \amp x^2 + \frac{2}{y} \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
As derivadas de \(x(t)\) e \(y(t)\) formam o vetor coluna (matriz \(2 \times 1\)):
\begin{equation*} \begin{bmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2t \\ 1 \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Para obter o resultado apenas na variável independente \(t\text{,}\) avaliamos o vetor gradiente de \(f\) em \(x = t^2\) e \(y = t\text{:}\)
\begin{equation*} \begin{bmatrix} 2(t^2)(t) + \frac{1}{t^2} \amp (t^2)^2 + \frac{2}{t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2t^3 + \frac{1}{t^2} \amp t^4 + \frac{2}{t} \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Aplicando o produto matricial:
\begin{equation*} \frac{dh}{dt} = \begin{bmatrix} 2t^3 + \frac{1}{t^2} \amp t^4 + \frac{2}{t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2t \\ 1 \end{bmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{dh}{dt} = \left(2t^3 + \frac{1}{t^2}\right)(2t) + \left(t^4 + \frac{2}{t}\right)(1) = 5t^4 + \frac{4}{t}\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.5.4. Mudança para Coordenadas Polares (Matricial).

Dada a função \(f(x,y) = xy\text{,}\) com \(x = r \cos \theta\) e \(y = r \sin \theta\text{,}\) encontre as derivadas parciais \(\frac{\partial f}{\partial r}\) e \(\frac{\partial f}{\partial \theta}\) utilizando o produto da matriz Jacobiana.
Solução.
A matriz das derivadas parciais de \(f\) em relação a \(x\) e \(y\) é bem simples:
\begin{equation*} J_f = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \amp \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \amp x \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
A matriz Jacobiana da transformação para coordenadas polares é:
\begin{equation*} J_T = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} \amp \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} \amp \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta \amp -r \sin \theta \\ \sin \theta \amp r \cos \theta \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Pela Regra da Cadeia, \(J_{f(r,\theta)} = J_f \cdot J_T\text{:}\)
\begin{equation*} \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial r} \amp \frac{\partial f}{\partial \theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \amp x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta \amp -r \sin \theta \\ \sin \theta \amp r \cos \theta \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Realizando a multiplicação matriz linha por matriz coluna:
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial r} = y\cos \theta + x\sin \theta \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial \theta} = -yr\sin \theta + xr\cos \theta\text{.} \end{equation*}
Para obter o resultado final nas variáveis \(r\) e \(\theta\text{,}\) substituímos \(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\text{:}\)
\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial r} =\amp\, (r\sin\theta)\cos\theta + (r\cos\theta)\sin\theta\\ =\amp\, 2r\sin\theta\cos\theta = r\sin(2\theta)\text{.} \end{align*}
\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial \theta} =\amp\, -(r\sin\theta)r\sin\theta + (r\cos\theta)r\cos\theta\\ =\amp\, r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = r^2\cos(2\theta)\text{.} \end{align*}

Exemplo 3.5.5. Uma Variável Final, Três Intermediárias.

Seja \(w = x^2 + y^2 - z^2\text{,}\) onde \(x = t\text{,}\) \(y = \cos t\) e \(z = \sin t\text{.}\) Calcule \(\frac{dw}{dt}\) usando notação vetorial.
Solução.
O vetor gradiente de \(w\) é:
\begin{equation*} \nabla w = \begin{bmatrix} \frac{\partial w}{\partial x} \amp \frac{\partial w}{\partial y} \amp \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x \amp 2y \amp -2z \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
O vetor derivada das variáveis intermediárias em relação a \(t\) é:
\begin{equation*} \vec{r}'(t) = \begin{bmatrix} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \\ \frac{dz}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -\sin t \\ \cos t \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
A derivada total é o produto matricial:
\begin{equation*} \frac{dw}{dt} = \begin{bmatrix} 2x \amp 2y \amp -2z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -\sin t \\ \cos t \end{bmatrix} = 2x(1) + 2y(-\sin t) - 2z(\cos t)\text{.} \end{equation*}
Substituindo \(x, y, z\) em termos da variável independente \(t\) para a resposta final:
\begin{align*} \frac{dw}{dt} = \amp 2(t) - 2(\cos t)(\sin t) - 2(\sin t)(\cos t)\\ = \amp 2t - 4\sin t \cos t \\ = \amp 2t - 2\sin(2t)\text{.} \end{align*}

Exemplo 3.5.6. Múltiplas Variáveis Independentes Finais.

Considere \(z = e^u \cos v\text{,}\) com as variáveis intermediárias \(u = xy\) e \(v = \frac{x}{y}\text{.}\) Encontre as parciais \(z_x\) e \(z_y\) matricialmente, expressando-as em termos de \(x\) e \(y\text{.}\)
Solução.
Temos a relação matricial \(\begin{bmatrix} z_x \amp z_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_u \amp z_v \end{bmatrix} J_{u,v}\text{:}\)
\begin{equation*} \begin{bmatrix} z_x \amp z_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^u \cos v \amp -e^u \sin v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \amp \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \amp \frac{\partial v}{\partial y} \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Calculando a matriz Jacobiana das funções internas em relação a \(x\) e \(y\text{:}\)
\begin{equation*} J_{u,v} = \begin{bmatrix} y \amp x \\ \frac{1}{y} \amp -\frac{x}{y^2} \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Multiplicando as matrizes:
\begin{equation*} \begin{bmatrix} z_x \amp z_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^u \cos v \amp -e^u \sin v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y \amp x \\ \frac{1}{y} \amp -\frac{x}{y^2} \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Isso resulta no sistema parcial:
\begin{equation*} z_x = y e^u \cos v - \frac{1}{y} e^u \sin v \end{equation*}
\begin{equation*} z_y = x e^u \cos v + \frac{x}{y^2} e^u \sin v\text{.} \end{equation*}
Para finalizar, devemos substituir \(u\) e \(v\) para que a derivada dependa unicamente de \(x\) e \(y\text{:}\)
\begin{equation*} z_x = e^{xy} \left( y \cos\left(\frac{x}{y}\right) - \frac{1}{y} \sin\left(\frac{x}{y}\right) \right) \end{equation*}
\begin{equation*} z_y = e^{xy} \left( x \cos\left(\frac{x}{y}\right) + \frac{x}{y^2} \sin\left(\frac{x}{y}\right) \right)\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.5.7. Três Intermediárias e Duas Finais.

Determine \(w_u\) e \(w_v\) em termos exclusivos de \(u\) e \(v\) para a função \(w = xyz\text{,}\) sabendo que \(x = u+v\text{,}\) \(y = u-v\) e \(z = uv\text{.}\)
Solução.
A formulação matricial é \(J_{w(u,v)} = J_{w(x,y,z)} \cdot J_{(x,y,z)(u,v)}\text{:}\)
\begin{equation*} \begin{bmatrix} w_u \amp w_v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial w}{\partial x} \amp \frac{\partial w}{\partial y} \amp \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_u \amp x_v \\ y_u \amp y_v \\ z_u \amp z_v \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Calculando as derivadas:
\begin{equation*} \begin{bmatrix} w_u \amp w_v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} yz \amp xz \amp xy \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \amp 1 \\ 1 \amp -1 \\ v \amp u \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Efetuando a multiplicação da matriz \(1 \times 3\) pela matriz \(3 \times 2\text{:}\)
\begin{equation*} w_u = yz(1) + xz(1) + xy(v) = z(x+y) + xyv \end{equation*}
\begin{equation*} w_v = yz(1) + xz(-1) + xy(u) = z(y-x) + xyu\text{.} \end{equation*}
Agora, procedemos com a substituição para eliminar \(x\text{,}\) \(y\) e \(z\text{.}\) Observamos que: \(x+y = 2u\text{,}\) \(y-x = -2v\text{,}\) e \(xy = (u+v)(u-v) = u^2 - v^2\text{.}\) Substituindo:
\begin{align*} w_u =\amp\, (uv)(2u) + (u^2-v^2)v = 2u^2v + u^2v - v^3 = 3u^2v - v^3\\ w_v =\amp\, (uv)(-2v) + (u^2-v^2)u = -2uv^2 + u^3 - uv^2 = u^3 - 3uv^2\text{.} \end{align*}

Exercícios 3.5.3 Exercícios

Baseado nos conceitos da Regra da Cadeia e notação matricial, resolva os 20 exercícios a seguir.

Derivadas de Funções de Uma Variável Independente Final (Caso I).

Determine a derivada total (\(\frac{dz}{dt}\) ou \(\frac{dw}{dt}\)) usando a regra da cadeia:
1.
\(z = \operatorname{tg}(x^2 + y)\text{,}\) onde \(x = 2t\) e \(y = t^2\text{.}\)
2.
\(z = x \cos y\text{,}\) onde \(x = \sin t\) e \(y = t\text{.}\)
3.
\(z = e^x(\cos x + \cos y)\text{,}\) onde \(x = t^3\) e \(y = t^2\text{.}\)
4.
\(z = \frac{x}{y}\text{,}\) onde \(x = e^{-t}\) e \(y = \ln t\text{.}\)
5.
\(z = \ln(x^2 + y^2 + 1)\text{,}\) onde \(x = \cos t\) e \(y = \sin t\text{.}\)
6.
\(w = x e^{yz}\text{,}\) onde \(x = t\text{,}\) \(y = t^2\) e \(z = t^3\text{.}\)

Derivadas Parciais de Funções Compostas (Múltiplas Variáveis Finais).

Determine as derivadas parciais solicitadas formando as matrizes Jacobianas:
7.
Seja \(z = u^2 - v^2\text{,}\) com \(u = x + y\) e \(v = xy\text{.}\) Calcule \(\frac{\partial z}{\partial x}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y}\text{.}\)
8.
Determine \(\frac{\partial z}{\partial u}\) e \(\frac{\partial z}{\partial v}\) para \(z = x^2 - y^2\text{,}\) com \(x = u - 3v\) e \(y = u + 2v\text{.}\)
9.
Dada a função \(f(x,y) = \frac{x}{y} + x^2 + y^2\) com \(x = r \cos \theta\) e \(y = r \sin \theta\text{,}\) encontre \(\frac{\partial f}{\partial r}\) e \(\frac{\partial f}{\partial \theta}\text{.}\)
10.
Determine \(\frac{\partial z}{\partial x}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y}\) para \(z = u^2 + v^2\text{,}\) com \(u = x^2 - y^2\) e \(v = e^{xy}\text{.}\)
11.
Determine as derivadas parciais \(\frac{\partial w}{\partial u}\) e \(\frac{\partial w}{\partial v}\) para \(w = x^2 + 2y^2 - z^2\text{,}\) onde \(x = 2uv\text{,}\) \(y = u+v\) e \(z = (u-v)^2\text{.}\)
12.
Calcule \(z_x\) e \(z_y\) se \(z = \sin(u+v)\text{,}\) sendo \(u = x^2y\) e \(v = xy^2\text{.}\)
13.
Determine \(\frac{\partial z}{\partial r}\) e \(\frac{\partial z}{\partial \theta}\) se \(z = e^{x+y}\text{,}\) sabendo que \(x = r^2\theta\) e \(y = r\theta^2\text{.}\)
14.
Seja \(w = \ln(x^2+y^2+z^2)\text{,}\) com \(x=u\cos v\text{,}\) \(y=u\sin v\) e \(z=u\text{.}\) Encontre \(w_u\) e \(w_v\text{.}\)
15.
Dada \(z = x^2 + y^2\text{,}\) onde \(x = u^2 - v^2\) e \(y = 2uv\text{.}\) Mostre usando matrizes que \(z_u = 4u(u^2+v^2)\) e \(z_v = 4v(u^2+v^2)\text{.}\)
16.
Calcule \(w_s\) e \(w_t\) sabendo que \(w = xyz\text{,}\) com \(x = s+t\text{,}\) \(y = s-t\) e \(z = s^2+t^2\text{.}\)

Aplicações Teóricas e Demonstrações.

17.
Dada \(z = f(x^2 + y^2)\text{,}\) onde \(f\) é uma função diferenciável arbitrária de uma variável, mostre usando a regra da cadeia que a equação \(y \frac{\partial z}{\partial x} - x \frac{\partial z}{\partial y} = 0\) é satisfeita.
Dica.
Chame a variável interna de \(u = x^2 + y^2\) e aplique a formulação em bloco matricial.
18.
Seja \(z = f(ax+by)\text{,}\) onde \(f\) é diferenciável e \(a,b\) são constantes. Prove que \(b \frac{\partial z}{\partial x} - a \frac{\partial z}{\partial y} = 0\text{.}\)
19.
Se \(z = f\left(\frac{x}{y}\right)\text{,}\) demonstre que \(x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0\text{.}\)
20.
Suponha que \(w = f(x-y, y-z, z-x)\text{.}\) Fazendo as substituições \(u = x-y\text{,}\) \(v = y-z\text{,}\) \(t = z-x\text{,}\) aplique a regra da cadeia para provar que \(\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0\text{.}\)
<Anterior^TopPróximo>
Feito com PreTeXt
Powered by Runestone