Ir ao conteúdo principal ☰ Sumário You! < Anterior ^ Acima Próximo > \(\newcommand{\identity}{\mathrm{id}}
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\)
Seção 1.8 Integrais Impróprias
Até agora, estudamos integrais definidas em intervalos fechados \([a, b]\) para funções contínuas. No entanto, em diversas aplicações (como na Estatística), precisamos calcular a área de regiões que se estendem indefinidamente. Essas são as chamadas Integrais Impróprias .
Subseção 1.8.1 Intervalos de Integração Infinitos
Dizemos que uma integral é imprópria quando pelo menos um dos limites de integração é infinito. O cálculo é feito utilizando o conceito de limite:
Se \(f\) é contínua em \([a, +\infty)\text{,}\) então:
\begin{equation*}
\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
\end{equation*}
Se \(f\) é contínua em \((-\infty, b]\text{,}\) então:
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{b} f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
\end{equation*}
Dizemos que a integral converge se o limite existe e é um número finito. Caso contrário, a integral diverge .
Exemplo 1.8.1 . Convergência da função exponencial.
Investigue a integral
\begin{equation*}
\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx\text{.}
\end{equation*}
Solução .
\begin{equation*}
\lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-x} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -e^{-x} \right]_0^b
\end{equation*}
\begin{equation*}
= \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b} + e^0) = 0 + 1 = 1
\end{equation*}
Como o limite é 1, a integral converge .
Subseção 1.8.2 Integrandos com Descontinuidades Infinitas
Outro caso de integral imprópria ocorre quando a função \(f(x)\) tende ao infinito em algum ponto do intervalo de integração \([a, b]\text{.}\)
Veja os dois casos:
Se \(f\) é contínua em \([a, b)\) e \(\lim_{x \to b^-} f(x) = \pm\infty\text{,}\) então:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{s \to b^-} \int_{a}^{s} f(x) \, dx
\end{equation*}
Se \(f\) é contínua em \((a, b]\) e \(\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty\text{,}\) então:
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{s \to a^+} \int_{s}^{b} f(x) \, dx
\end{equation*}
Exemplo 1.8.2 . Função com assíntota vertical.
Calcule
\begin{equation*}
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\text{.}
\end{equation*}
Note que \(\lim_{x\to 0^+ } f(x) = +\infty\text{.}\)
Solução .
\begin{equation*}
\lim_{s \to 0^+} \int_{s}^{1} x^{-1/2} \, dx = \lim_{s \to 0^+} \left[ 2\sqrt{x} \right]_{s}^1
\end{equation*}
\begin{equation*}
= \lim_{s \to 0^+} (2\sqrt{1} - 2\sqrt{s}) = 2 - 0 = 2
\end{equation*}
A integral converge para 2.
Exercícios 1.8.3 Exercícios Propostos
Determine se as seguintes integrais impróprias convergem ou divergem. Se convergirem, calcule seu valor.
1. \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\)
2. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} e^x \, dx\)
3. \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \ln x \, dx\)
4. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{9+x^2}\)
5. \(\displaystyle\int_{e}^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^2}\)
6. \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\)
7. \(\displaystyle\int_{0}^{3} \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}\)
8. \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(x-1)^3}\)
9. Um poço de petróleo produz óleo a uma taxa de \(P(t) = 80e^{-0,04t} - 80e^{-0,1t}\) mil barris/mês. Determine o potencial total de produção do poço (integre de 0 a \(+\infty\) ).
10. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} x e^{-x^2} \, dx\)
