Seção2.1Funções de Várias Variáveis: Domínio e Imagem
Assim como no cálculo de uma variável, uma função de várias variáveis é frequentemente definida apenas pela sua regra algébrica. O domínio dessa função é o conjunto de todos os pontos no espaço (como o \(\mathbb{R}^2\) ou \(\mathbb{R}^3\)) que não geram indefinições matemáticas. A imagem é o conjunto de todos os valores reais resultantes da aplicação da função.
Subseção2.1.1Restrições com Radicais
Quando uma função envolve uma raiz de índice par (como a raiz quadrada), o radicando deve ser maior ou igual a zero.
Exemplo2.1.1.Função de Duas Variáveis com Raiz.
Considere a função que modela a espessura de uma lente circular:
Domínio: Para que \(z\) seja um número real, precisamos que \(9 - x^2 - y^2 \ge 0\text{,}\) o que equivale a \(x^2 + y^2 \le 9\text{.}\) Geometricamente, o domínio é um disco fechado de raio 3 centrado na origem do plano \(xy\text{.}\)
Imagem: O valor máximo do radicando é 9 (quando \(x=0, y=0\)) e o mínimo é 0 (na borda do disco). Logo, os valores de \(z\) variam de 0 a 3.
\begin{equation*}
Im(f) = [0, 3]
\end{equation*}
Exemplo2.1.3.Função de Três Variáveis com Raiz.
Seja \(g(x,y,z) = \sqrt{25 - x^2 - y^2 - z^2}\text{.}\) A restrição \(25 - x^2 - y^2 - z^2 \ge 0\) implica que \(x^2 + y^2 + z^2 \le 25\text{.}\) O domínio é uma esfera maciça de raio 5 no espaço \(\mathbb{R}^3\text{.}\)
Subseção2.1.2Restrições com Logaritmos e Denominadores
Logaritmos exigem argumentos estritamente positivos, e frações exigem denominadores diferentes de zero.
Exemplo2.1.4.Domínio com Logaritmo.
Encontre o domínio de \(h(x,y) = \ln(y - x^2)\text{.}\)
Solução: O argumento do logaritmo natural deve ser maior que zero: \(y - x^2 > 0 \implies y > x^2\text{.}\) Geometricamente, o domínio é a região estritamente "dentro" (acima) da parábola \(y = x^2\text{.}\) A fronteira (a própria parábola) não faz parte do domínio.
Figura2.1.5.
Exemplo2.1.6.Domínio com Denominador e Raiz.
Determine o domínio de \(w(x,y) = \frac{x + y}{\sqrt{y^2 - x^2}}\text{.}\)
Solução: O termo dentro da raiz deve ser positivo e não pode ser nulo (pois está no denominador). Portanto, \(y^2 - x^2 > 0\text{.}\) Fatorando, temos \((y - x)(y + x) > 0\text{.}\) Isso representa as regiões do plano onde \(|y| > |x|\text{,}\) parecendo duas "fatias de pizza" infinitas centradas no eixo \(y\text{.}\)
Figura2.1.7.
Subseção2.1.3Funções N-Dimensionais e Limitações Práticas
Para funções com mais de três variáveis independentes, perdemos a capacidade de representação gráfica visual, mas a análise algébrica permanece a mesma.
Exemplo2.1.8.Função Custo (4 Variáveis).
Um algoritmo calcula o fator de penalidade de uma rede neural através da função:
Domínio Físico/Prático: Como custos computacionais não podem ser negativos, a restrição real imposta pelo problema é \(C_i \ge 0\) e pelo menos um \(C_i > 0\text{.}\)
Subseção2.1.4Funções Derivadas de Equações Implícitas
Muitas vezes, uma superfície é dada por uma equação da qual podemos extrair múltiplas funções isolando variáveis específicas.
Exemplo2.1.9.Hemisférios de um Elipsoide.
Considere a equação do elipsoide: \(x^2 + \frac{y^2}{4} + z^2 = 1\text{.}\)
Isolando o \(z\text{,}\) obtemos duas funções distintas de duas variáveis:
A calota superior: \(z_1 = \sqrt{1 - x^2 - \frac{y^2}{4}}\)
A calota inferior: \(z_2 = -\sqrt{1 - x^2 - \frac{y^2}{4}}\)
Ambas as funções compartilham o mesmo domínio projetado no plano \(xy\text{:}\) a região elíptica \(x^2 + \frac{y^2}{4} \le 1\text{.}\)
Figura2.1.10.
Exercícios2.1.5Exercícios
1.
Encontre o domínio e a imagem da função \(f(x,y) = \sqrt{36 - x^2 - y^2}\text{.}\) Descreva geometricamente o domínio.
2.
Determine o domínio da função \(g(x,y) = \ln(y - x - 1)\) e descreva a região do plano que o representa.
3.
Determine o domínio da função de três variáveis \(h(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{z - x^2 - y^2}}\text{.}\)
4.
Dada a função \(w(x,y) = \frac{x^2 - y^2}{x - y}\text{,}\) determine o seu domínio e simplifique a expressão da função para os pontos que pertencem a este domínio.
5.
Determine o domínio de \(f(x,y) = \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{9 - y^2}\text{.}\)
6.
Seja \(f(x,y) = \frac{|x| + |y|}{xy}\text{.}\) Calcule \(f(a, -a)\) para uma constante \(a > 0\text{.}\)
7.
Determine o domínio da função \(f(x,y) = \ln(4 - x^2 - y^2)\) e esboce a região resultante.
8.
Compare o domínio das funções \(f(x,y) = \sqrt{x+y}\) e \(g(x,y) = \sqrt[3]{x+y}\text{.}\)
9.
Determine o domínio de \(f(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}\text{.}\)
10.
Ache o domínio de \(g(x,y) = \sqrt{x} + \sqrt{y}\text{.}\)
11.
Determine o domínio de \(f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{y}}\text{.}\)
12.
Encontre o domínio de \(f(x,y) = \sqrt{1 - x^2} + \sqrt{1 - y^2}\text{.}\)
13.
Ache o domínio de \(f(x,y) = \ln(xy)\text{.}\)
14.
Determine o domínio e a imagem de \(f(x,y) = 5 + e^{-(x^2+y^2)}\text{.}\)
15.
Determine o domínio de \(f(x,y) = \sqrt{\frac{x-y}{x+y}}\text{.}\)
