Teorema 1.3.1. Integração por Partes.
Sejam \(u = f(x)\) e \(v = g(x)\) funções deriváveis em um intervalo \(I\text{.}\) A integral do produto de uma função pela derivada de outra é dada por:
\begin{equation*}
\int u \, dv = uv - \int v \, du\text{.}
\end{equation*}
E também pode ser escrito como:
\begin{equation}
\int f(x) \cdot g'(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int g(x) \cdot f'(x) dx\text{.}\tag{1.3.1}
\end{equation}
Exercícios 1.3.2 Exercícios
Tecnologia 1.3.8.
Use o Sage para calcular as integrais propostas nos exercícios e confira com as suas respostas.
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
1.
\(\displaystyle\int x \operatorname{sen} (5x) dx\)
2.
\(\displaystyle\int \ln(1-x) dx\)
3.
\(\displaystyle\int t e^{4t} dt\)
4.
\(\displaystyle\int (x+1) \cos (2x) dx\)
5.
\(\displaystyle\int x \ln (3x) dx\)
6.
\(\displaystyle\int \cos^3 (x) dx\)
7.
\(\displaystyle\int e^x \cos \left(\frac{x}{2}\right) dx\)
8.
\(\displaystyle\int \sqrt{x} \ln x dx\)
9.
\(\displaystyle\int x^2 \cos ax dx\)
10.
\(\displaystyle\int e^{ax} \operatorname{sen} bx dx\)
11.
\(\displaystyle\int \frac{\ln(ax+b)}{\sqrt{ax+b}} dx\)
12.
\(\displaystyle\int x^3 \sqrt{1-x^2} dx\)
13.
\(\displaystyle\int \ln^3 2x dx\)
14.
\(\displaystyle\int \operatorname{arc\,tg} ax dx\)
15.
\(\displaystyle\int x^3 \operatorname{sen} 4x dx\)
16.
\(\displaystyle\int (x-1) e^{-x} dx\)
17.
\(\displaystyle\int x^2 \ln x dx\)
18.
\(\displaystyle\int x^2 e^x dx\)
19.
\(\displaystyle\int \operatorname{arc\,sen} \frac{x}{2} dx\)
20.
\(\displaystyle\int (x-1) \sec^2 x dx\)
21.
\(\displaystyle\int e^{3x} \cos 4x dx\)
22.
\(\displaystyle\int x^n \ln x dx, n \in \mathbb{N}\)
23.
\(\displaystyle\int \ln(x^2+1) dx\)
24.
\(\displaystyle\int \ln(x + \sqrt{1+x^2}) dx\)
25.
\(\displaystyle\int x \operatorname{arc\,tg} x dx\)
26.
\(\displaystyle\int x^5 e^{x^2} dx\)
27.
\(\displaystyle\int x \cos^2 x dx\)
28.
\(\displaystyle\int (x+3)^2 e^x dx\)
29.
\(\displaystyle\int x \sqrt{x+1} dx\)
30.
\(\displaystyle\int \cos(\ln x) dx\)
31.
\(\displaystyle\int \operatorname{arc\,cos} x dx\)
32.
\(\displaystyle\int \sec^3 x dx\)
33.
\(\displaystyle\int \frac{1}{x^3} e^{1/x} dx\)
