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\)
Seção 1.3 Método de Integração por Partes
Teorema 1.3.1 . Integração por Partes.
Sejam \(u = f(x)\) e \(v = g(x)\) funções deriváveis em um intervalo \(I\text{.}\) A integral do produto de uma função pela derivada de outra é dada por:
\begin{equation*}
\int u \, dv = uv - \int v \, du\text{.}
\end{equation*}
E também pode ser escrito como:
\begin{equation}
\int f(x) \cdot g'(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int g(x) \cdot f'(x) dx\text{.}\tag{1.3.1}
\end{equation}
Demonstração.
Pela regra do produto para derivação, temos:
\begin{equation*}
[f(x) \cdot g(x)]' = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)\text{.}
\end{equation*}
Isolando o termo \(f(x) \cdot g'(x)\text{,}\) obtemos:
\begin{equation*}
f(x) \cdot g'(x) = [f(x) \cdot g(x)]' - g(x) \cdot f'(x)\text{.}
\end{equation*}
Integrando ambos os lados dessa equação:
\begin{equation*}
\int f(x) \cdot g'(x) dx = \int [f(x) \cdot g(x)]' dx - \int g(x) \cdot f'(x) dx\text{.}
\end{equation*}
Como \(\int [f(x) \cdot g(x)]' dx = f(x) \cdot g(x)\) (omitindo a constante de integração momentaneamente), temos:
\begin{equation}
\int f(x) \cdot g'(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int g(x) \cdot f'(x) dx\text{.}\tag{1.3.2}
\end{equation}
Na prática, fazemos as substituições:
Substituindo em
(1.3.1) , obtemos a fórmula usual:
\begin{equation*}
\int u \, dv = uv - \int v \, du\text{.}
\end{equation*}
Subseção 1.3.1 Exemplos
Exemplo 1.3.2 .
Calcular \(\displaystyle\int x e^{-2x} dx\text{.}\)
Solução .
Escolhemos \(u = x\) e \(dv = e^{-2x} dx\text{.}\) Então \(du = dx\) e \(v = -\frac{1}{2}e^{-2x}\text{.}\) Aplicando a fórmula:
\begin{equation*}
\int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \int 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\cdot \operatorname{e}^{-2x} \right) dx\text{.}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + c\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.3.3 .
Calcular \(\displaystyle\int \ln x \, dx\text{.}\)
Solução .
Seja \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx\) e \(dv = dx \Rightarrow v = x\text{.}\) Resulta em
\begin{equation*}
x \ln x - x + c
\end{equation*}
Exemplo 1.3.4 .
Calcular \(\displaystyle\int x^2 \operatorname{sen} x dx\text{.}\)
Solução .
Neste exemplo, aplicamos o método duas vezes. Primeiro, seja
\begin{equation*}
u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx \text{ e } dv = \operatorname{sen} x dx \Rightarrow v = -\cos x\text{.}
\end{equation*}
Temos:
\begin{equation*}
\int x^2 \operatorname{sen} x dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx\text{.}
\end{equation*}
A nova integral \(\int x \cos x dx\) também é resolvida por partes, com
\begin{equation*}
u = x \text{ e } dv = \cos x dx\text{,}
\end{equation*}
resultando em:
\begin{equation*}
-x^2 \cos x + 2x \operatorname{sen} x + 2 \cos x + c\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.3.5 .
Calcular \(\displaystyle\int e^{2x} \operatorname{sen} x dx\text{.}\)
Solução .
Este exemplo ilustra um artifício onde a integral original reaparece no segundo membro. Após duas integrações por partes, obtemos:
\begin{equation*}
\int e^{2x} \operatorname{sen} x dx = -e^{2x} \cos x + 2e^{2x} \operatorname{sen} x - 4 \int e^{2x} \operatorname{sen} x dx\text{.}
\end{equation*}
Somando \(4 \int e^{2x} \operatorname{sen} x dx\) em ambos os lados:
\begin{equation*}
5 \int e^{2x} \operatorname{sen} x dx = 2e^{2x} \operatorname{sen} x - e^{2x} \cos x\text{.}
\end{equation*}
Logo: \(\int e^{2x} \operatorname{sen} x dx = \frac{1}{5}(2e^{2x} \operatorname{sen} x - e^{2x} \cos x) + c\text{.}\)
Exemplo 1.3.6 .
Calcular \(\displaystyle\int \operatorname{sen}^3 x dx\text{.}\)
Solução .
Fazemos \(u = \operatorname{sen}^2 x \Rightarrow du = 2 \operatorname{sen} x \cos x dx\) e \(dv = \operatorname{sen} x dx \Rightarrow v = -\cos x\text{.}\) A integração resulta em:
\begin{equation*}
\int \operatorname{sen}^3 x dx = -\operatorname{sen}^2 x \cos x - \frac{2}{3} \cos^3 x + c\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.3.7 .
Calcular \(\displaystyle\int \operatorname{sen}^2 x dx\text{.}\)
Solução .
Utilizamos a técnica de integração por partes, escolhendo:
\(\displaystyle u = \operatorname{sen} x \implies du = \cos x \, dx\)
\(\displaystyle dv = \operatorname{sen} x \, dx \implies v = -\cos x\)
Aplicando a fórmula \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\text{:}\)
\begin{equation*}
\int \operatorname{sen}^2 x \, dx = -\operatorname{sen} x \cos x - \int (-\cos x)(\cos x) \, dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \operatorname{sen}^2 x \, dx = -\operatorname{sen} x \cos x + \int \cos^2 x \, dx
\end{equation*}
Usando a identidade \(\cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x\text{:}\)
\begin{equation*}
\int \operatorname{sen}^2 x \, dx = -\operatorname{sen} x \cos x + \int (1 - \operatorname{sen}^2 x) \, dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \operatorname{sen}^2 x \, dx = -\operatorname{sen} x \cos x + x - \int \operatorname{sen}^2 x \, dx
\end{equation*}
Somando \(\int \operatorname{sen}^2 x \, dx\) em ambos os lados (artifício de retorno à integral original):
\begin{equation*}
2 \int \operatorname{sen}^2 x \, dx = x - \operatorname{sen} x \cos x
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \operatorname{sen}^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \operatorname{sen} x \cos x) + c
\end{equation*}
Exercícios 1.3.2 Exercícios
Tecnologia 1.3.8 .
Use o Sage para calcular as integrais propostas nos exercícios e confira com as suas respostas.
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
1. \(\int x \operatorname{sen} (5x) dx\)
2. \(\int \ln(1-x) dx\)
3. \(\int t e^{4t} dt\)
4. \(\int (x+1) \cos (2x) dx\)
5. \(\int x \ln (3x) dx\)
6. \(\int \cos^3 (x) dx\)
7. \(\int e^x \cos \left(\frac{x}{2}\right) dx\)
8. \(\int \sqrt{x} \ln x dx\)
9. \(\int x^2 \cos ax dx\)
10. \(\int e^{ax} \operatorname{sen} bx dx\)
11. \(\int \frac{\ln(ax+b)}{\sqrt{ax+b}} dx\)
12. \(\int x^3 \sqrt{1-x^2} dx\)
13. \(\int \ln^3 2x dx\)
14. \(\int \operatorname{arc\,tg} ax dx\)
15. \(\int x^3 \operatorname{sen} 4x dx\)
16. \(\int (x-1) e^{-x} dx\)
17. \(\int x^2 \ln x dx\)
18. \(\int x^2 e^x dx\)
19. \(\int \operatorname{arc\,sen} \frac{x}{2} dx\)
20. \(\int (x-1) \sec^2 x dx\)
21. \(\int e^{3x} \cos 4x dx\)
22. \(\int x^n \ln x dx, n \in \mathbb{N}\)
23. \(\int \ln(x^2+1) dx\)
24. \(\int \ln(x + \sqrt{1+x^2}) dx\)
25. \(\int x \operatorname{arc\,tg} x dx\)
26. \(\int x^5 e^{x^2} dx\)
27. \(\int x \cos^2 x dx\)
28. \(\int (x+3)^2 e^x dx\)
29. \(\int x \sqrt{x+1} dx\)
30. \(\int \cos(\ln x) dx\)
31. \(\int \operatorname{arc\,cos} x dx\)
32. \(\int \sec^3 x dx\)
33. \(\int \frac{1}{x^3} e^{1/x} dx\)
