UFRPE-DM A Integral Definida

Seção 1.5 A Integral Definida

A integral definida é o alicerce matemático que formaliza a transição de aproximações finitas para valores exatos. Ela surge historicamente para resolver o problema de determinar áreas sob curvas e grandezas físicas acumuladas, como o deslocamento de um corpo com velocidade variável.

Definição 1.5.1. Integral Definida como Limite.

Seja \(f\) uma função definida em um intervalo fechado \([a, b]\) e \(P\) uma partição desse intervalo. A integral definida de \(f\) de \(a\) até \(b\) é denotada por:

\begin{equation*} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \end{equation*}

e definida pelo limite das somas de Riemann:

\begin{equation*} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i \end{equation*}

contanto que este limite exista. Nesse caso, dizemos que a função \(f\) é integrável em \([a, b]\text{.}\)

Os valores \(a\) e \(b\) são conhecidos como os limites de integração, representando os pontos de início (inferior) e fim (superior) do intervalo. Uma característica importante desta notação é que a variável \(x\) é "muda", podendo ser substituída por qualquer outro símbolo sem alterar o valor da integral.

Subseção 1.5.1 Propriedades Fundamentais

Para funções integráveis, valem as seguintes convenções e propriedades operacionais:

Convenções de Limites.

Inversão: \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\text{.}\)
Intervalo Nulo: Se \(a = b\text{,}\) então \(\displaystyle\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0\text{.}\)

Além disso, a integral definida satisfaz propriedades de linearidade e aditividade:

Proposição 1.5.2. Linearidade.

Se \(f\) e \(g\) são integráveis e \(k\) é uma constante real:

\(\displaystyle\int_{a}^{b} k f(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx\text{.}\)
\(\displaystyle\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \pm \int_{a}^{b} g(x) \, dx\text{.}\)

Proposição 1.5.3. Aditividade de Intervalo.

Se \(f\) é integrável em um intervalo que contém \(a, b\) e \(c\text{,}\) então:

\begin{equation*} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx\text{.} \end{equation*}

Subseção 1.5.2 Teoremas de Comparação e Valor Médio

A integral definida preserva desigualdades e possui uma interpretação de valor médio para funções contínuas:

Preservação de Sinal: Se \(f(x) \ge 0\) em \([a, b]\text{,}\) então \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx \ge 0\text{.}\)
Comparação: Se \(f(x) \ge g(x)\) em \([a, b]\text{,}\) então \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx \ge \int_{a}^{b} g(x) \, dx\text{.}\)
Desigualdade Triangular: \(\displaystyle\left|\int_{a}^{b} f(x) \, dx\right| \le \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx\text{.}\)

Teorema 1.5.4. Teorema do Valor Médio para Integrais.

Se \(f\) é contínua em \([a, b]\text{,}\) existe pelo menos um ponto \(c \in [a, b]\) tal que:

\begin{equation*} \int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c)(b - a)\text{.} \end{equation*}

Geometricamente, se \(f(x) \ge 0\text{,}\) isso indica que a área sob a curva é igual à área de um retângulo de base \(b-a\) e altura \(f(c)\text{.}\)

Cálculo NII: notas de aula

[search-results-heading]: