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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 2.4 Limite de Funções de Duas Variáveis: Definições e Propriedades

O estudo de limites para funções de várias variáveis é o alicerce para o cálculo diferencial no espaço. Diferente de funções de uma variável, onde a aproximação ocorre apenas por dois lados, no plano \(\mathbb{R}^2\) a aproximação pode ocorrer por infinitas trajetórias.

Subseção 2.4.1 Limite de uma Função de Duas Variáveis

Intuitivamente, dizemos que \(f(x,y)\) se aproxima de \(L\) quando \((x,y)\) se aproxima de \((x_0, y_0)\) se for possível tornar \(f(x,y)\) tão próximo de \(L\) quanto desejarmos, bastando para isso tomar pontos do domínio suficientemente próximos de \((x_0, y_0)\text{,}\) sem que o ponto precise coincidir com o alvo.

Definição 2.4.1. Definição Formal de Limite.

Sejam \(f: A \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) e \((x_0, y_0)\) um ponto de acumulação de \(A\text{.}\) O limite de \(f(x,y)\) quando \((x,y) \to (x_0, y_0)\) é o número real \(L\) se, para todo \(\epsilon > 0\text{,}\) existir um \(\delta > 0\) tal que:
\begin{equation*} |f(x,y) - L| \lt \epsilon \end{equation*}
sempre que \((x,y) \in A\) e \(0 \lt \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \lt \delta\text{.}\)
Um domínio no plano xy com um disco de raio delta e a correspondente projeção epsilon no eixo z.
Figura 2.4.2. Representação geométrica da definição de limite em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)

Exemplo 2.4.3.

Mostre que
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (1,2)} (3x + 2y) = 7\text{.} \end{equation*}
Solução.
Pela definição, buscamos \(\delta\) tal que \(|3x + 2y - 7| \lt \epsilon\text{.}\) Manipulando:
\begin{equation*} |3x - 3 + 2y - 4| = |3(x-1) + 2(y-2)| \le 3|x-1| + 2|y-2|\text{.} \end{equation*}
Como \(|x-1| \le \delta\) e \(|y-2| \le \delta\text{,}\) temos \(3\delta + 2\delta = 5\delta\text{.}\) Logo, tomando \(\delta = \epsilon/5\text{,}\) o limite é verificado.

Subseção 2.4.2 Inexistência de Limite e Dependência de Caminho

No cálculo de uma variável, o limite não existe se os limites laterais (pela esquerda e pela direita) forem diferentes. Em funções de várias variáveis, o conceito é análogo, mas as possibilidades de aproximação são infinitas.

Exemplo 2.4.5. Dependência entre Retas e Parábolas.

Verifique a existência do limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Para provar que o limite não existe, vamos testar a aproximação por duas famílias de curvas diferentes que passam pela origem \((0,0)\text{.}\)
Caminho 1: Aproximação por retas que passam pela origem (\(y = mx\)) Substituindo \(y = mx\) na função, o limite passa a depender apenas de \(x\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{x(mx)^2}{x^2 + (mx)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{m^2 x^3}{x^2 + m^4 x^4} \end{equation*}
Colocando \(x^2\) em evidência e simplificando:
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2(m^2 x)}{x^2(1 + m^4 x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{m^2 x}{1 + m^4 x^2} \end{equation*}
Aplicando o limite \(x \to 0\text{,}\) obtemos:
\begin{equation*} \frac{m^2(0)}{1 + m^4(0)} = \frac{0}{1} = 0 \end{equation*}
Por qualquer reta, a função parece tender a 0.
Caminho 2: Aproximação pela parábola (\(x = y^2\)) Vamos forçar os expoentes do denominador a se igualarem para ver se a função se comporta de maneira diferente. Substituindo \(x = y^2\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{y \to 0} \frac{(y^2)y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{y^4 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^4}{2y^4} \end{equation*}
Simplificando a fração (pois \(y \neq 0\)):
\begin{equation*} \lim_{y \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{equation*}
Conclusão: Como a aproximação por retas resulta em \(0\) e a aproximação pela parábola resulta em \(1/2\text{,}\) os valores divergem. Pela Proposição 2.4.4, o limite não existe.

Exemplo 2.4.6. Dependência Apenas entre Retas.

Mostre que o limite não existe:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2xy}{x^2 + y^2}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Caminho 1: Pelo eixo \(x\) (\(y = 0\)) Substituindo \(y = 0\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{2x(0)}{x^2 + 0^2} = \lim_{x \to 0} \frac{0}{x^2} = \lim_{x \to 0} 0 = 0 \end{equation*}
Pelo eixo \(x\text{,}\) o limite é 0.
Caminho 2: Pela reta bissetriz (\(y = x\)) Substituindo \(y = x\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{2x(x)}{x^2 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{2x^2} \end{equation*}
Simplificando os termos comuns:
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} 1 = 1 \end{equation*}
Conclusão: Como \(0 \neq 1\text{,}\) provamos que, dependendo da direção da reta escolhida, o valor final muda. Logo, o limite não existe.

Exemplo 2.4.7. Aproximação por Curva Cúbica.

Prove que o limite a seguir não existe:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Caminho 1: Pela reta (\(y = x\))
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{x^3(x)}{x^6 + x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4}{x^2(x^4 + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4 + 1} \end{equation*}
Avaliando o limite, temos \(\frac{0}{1} = 0\text{.}\)
Caminho 2: Pela curva cúbica (\(y = x^3\)) Para evidenciar a divergência, igualamos o grau dos termos do denominador substituindo \(y = x^3\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{x^3(x^3)}{x^6 + (x^3)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^6}{x^6 + x^6} = \lim_{x \to 0} \frac{x^6}{2x^6} \end{equation*}
Cancelando \(x^6\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{equation*}
Conclusão: Como \(0 \neq 1/2\text{,}\) os caminhos levam a resultados diferentes, comprovando a inexistência do limite.

Subseção 2.4.3 Propriedades dos Limites

Assim como no cálculo de uma variável, o cálculo de limites de funções de várias variáveis é grandemente simplificado pelas propriedades algébricas dos limites. Quando sabemos que os limites das funções componentes existem, podemos operá-los diretamente.

Exemplo 2.4.10. Aplicação em Polinômios (Soma, Produto e Potência).

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (1,2)} (4x^2 y^3 - 5xy + 3)\text{.} \end{equation*}
Solução.
Utilizando as propriedades da soma/diferença, podemos separar o limite em três partes. Em seguida, aplicamos as propriedades do produto e da potência:
\begin{equation*} \lim (4x^2 y^3) - \lim (5xy) + \lim (3) \end{equation*}
\begin{equation*} = 4(\lim x)^2 (\lim y)^3 - 5(\lim x)(\lim y) + 3 \end{equation*}
Substituindo os valores \(x \to 1\) e \(y \to 2\text{:}\)
\begin{equation*} = 4(1)^2(2)^3 - 5(1)(2) + 3 \end{equation*}
\begin{equation*} = 4(1)(8) - 10 + 3 = 32 - 10 + 3 = 25 \end{equation*}

Exemplo 2.4.11. Aplicação da Regra do Quociente.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (-1, 3)} \frac{2x + 3y}{xy - 1}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Primeiro, devemos verificar se o limite do denominador é diferente de zero:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (-1, 3)} (xy - 1) = (-1)(3) - 1 = -3 - 1 = -4 \end{equation*}
Como \(-4 \neq 0\text{,}\) a propriedade do quociente é válida. Calculamos o numerador:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (-1, 3)} (2x + 3y) = 2(-1) + 3(3) = -2 + 9 = 7 \end{equation*}
Aplicando a propriedade do quociente:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (-1, 3)} \frac{2x + 3y}{xy - 1} = \frac{7}{-4} = -\frac{7}{4} \end{equation*}

Exemplo 2.4.12. Aplicação da Regra da Raiz.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (4, 3)} \sqrt{x^2 + y^2}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Pela propriedade da raiz, podemos "passar" o limite para dentro do radical, desde que o resultado interno seja positivo (pois é uma raiz quadrada):
\begin{equation*} \sqrt{ \lim_{(x,y) \to (4, 3)} (x^2 + y^2) } \end{equation*}
Calculando o limite interno (soma e potência):
\begin{equation*} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \end{equation*}

Exemplo 2.4.13. Combinação de Propriedades com Fatoração.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (2, 2)} \frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Se tentarmos aplicar a propriedade do quociente diretamente, o denominador resulta em \(2^2 - 2^2 = 0\text{,}\) o que invalida a regra. Precisamos usar álgebra para simplificar a expressão antes de aplicar as propriedades dos limites. Fatorando o numerador (diferença de cubos) e o denominador (diferença de quadrados):
\begin{equation*} \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x + y)} \end{equation*}
Como no limite \((x,y) \to (2,2)\) não atingimos o ponto exato onde \(x = y\text{,}\) podemos cancelar o termo \((x - y)\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (2, 2)} \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y} \end{equation*}
Agora, o limite do denominador é \(2 + 2 = 4 \neq 0\text{.}\) Podemos aplicar as propriedades da soma, produto e quociente diretamente:
\begin{equation*} \frac{2^2 + (2)(2) + 2^2}{2 + 2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3 \end{equation*}

Subseção 2.4.4 Limite de Função Composta

A composição de funções em várias variáveis ocorre quando o valor real gerado por uma função interna \(g(x,y)\) serve de entrada para uma função externa de uma variável \(f(u)\text{.}\) O cálculo do limite dessa estrutura, \((f \circ g)(x,y)\text{,}\) depende diretamente do conceito de continuidade: se a função interna \(g\) tende a um limite \(a\) quando \((x,y) \to (x_0, y_0)\text{,}\) e a função externa \(f\) é contínua nesse ponto \(a\text{,}\) o limite da composição é obtido de forma direta calculando \(f(a)\text{.}\) Esta propriedade permite "transportar" o limite para o interior da função externa, simplificando rigorosamente a resolução de problemas envolvendo logaritmos, exponenciais e funções trigonométricas.

Exemplo 2.4.16. Composição com Função Logarítmica.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (1,2)} \ln(x^2 + xy - 1)\text{.} \end{equation*}
Solução.
Identificamos a função "interna" como \(g(x,y) = x^2 + xy - 1\) e a função "externa" como \(f(u) = \ln(u)\text{.}\)
Passo 1: Calculamos o limite da função interna \(g(x,y)\) quando \((x,y) \to (1,2)\text{.}\) Como \(g\) é um polinômio, fazemos a substituição direta:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (1,2)} (x^2 + xy - 1) = 1^2 + (1)(2) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2 \end{equation*}
Temos, portanto, que \(a = 2\text{.}\)
Passo 2: Verificamos a continuidade da função externa \(f(u)\) no ponto \(a = 2\text{.}\) A função logarítmica \(f(u) = \ln(u)\) é contínua para todo \(u > 0\text{.}\) Logo, ela é contínua em \(u = 2\text{.}\)
Passo 3: Aplicamos a Proposição 2.4.14:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (1,2)} \ln(x^2 + xy - 1) = \ln\left( \lim_{(x,y) \to (1,2)} (x^2 + xy - 1) \right) = \ln(2) \end{equation*}

Exemplo 2.4.17. Composição com Função Trigonométrica.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (\pi/2, 0)} \sin(x + y)\text{.} \end{equation*}
Solução.
A função interna é \(g(x,y) = x + y\) e a função externa é \(f(u) = \sin(u)\text{.}\)
Calculando o limite da função interna:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (\pi/2, 0)} (x + y) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2} \end{equation*}
A função \(f(u) = \sin(u)\) é contínua em toda a reta real, em particular em \(u = \pi/2\text{.}\) Aplicando a propriedade:
\begin{equation*} \sin\left( \lim_{(x,y) \to (\pi/2, 0)} (x + y) \right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \end{equation*}

Exemplo 2.4.18. Composição com Função Exponencial.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (2,1)} e^{x^2 - 4y}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Temos a função interna \(g(x,y) = x^2 - 4y\) e a função externa \(f(u) = e^u\text{.}\)
Calculamos o limite do expoente (função interna) por substituição direta:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (2,1)} (x^2 - 4y) = 2^2 - 4(1) = 4 - 4 = 0 \end{equation*}
A função exponencial \(e^u\) é contínua para todo \(u \in \mathbb{R}\text{.}\) Inserindo o limite na função externa:
\begin{equation*} e^{\left( \lim_{(x,y) \to (2,1)} (x^2 - 4y) \right)} = e^0 = 1 \end{equation*}

Exemplo 2.4.19. Composição com Função Raiz.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (3,4)} \sqrt{x^2 + y^2}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Definimos a função interna como o radicando \(g(x,y) = x^2 + y^2\) e a função externa como \(f(u) = \sqrt{u}\text{.}\)
Avaliamos o limite de \(g\) no ponto dado:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (3,4)} (x^2 + y^2) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \end{equation*}
A função raiz quadrada \(f(u) = \sqrt{u}\) é contínua para todo \(u > 0\text{.}\) Como o limite interno resultou em \(25\) (que é estritamente positivo), a condição de continuidade é satisfeita.
Aplicando o teorema:
\begin{equation*} \sqrt{ \lim_{(x,y) \to (3,4)} (x^2 + y^2) } = \sqrt{25} = 5 \end{equation*}

Subseção 2.4.5 Teorema do Anulamento (Zero vezes Limitada)

Exemplo 2.4.21. Exemplo 2.4.16 Expandido: Limitada por Polares.

Mostrar que
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0\text{.} \end{equation*}
Solução.
Para aplicar o Teorema do Anulamento, precisamos separar a função original em um produto de duas funções: uma que tenda a zero e outra que seja limitada.
Passo 1: Separação Podemos reescrever a expressão como:
\begin{equation*} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = x \cdot \left( \frac{xy}{x^2 + y^2} \right) \end{equation*}
Definimos \(f(x,y) = x\) e \(g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}\text{.}\)
Passo 2: Análise de \(f(x,y)\) É evidente que \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} x = 0\text{.}\) Logo, a primeira condição do teorema está satisfeita.
Passo 3: Análise de \(g(x,y)\) (Limitada) Para mostrar que \(g\) é limitada, podemos converter para coordenadas polares (\(x = r\cos\theta\) e \(y = r\sin\theta\)):
\begin{equation*} g(r,\theta) = \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} \end{equation*}
Como \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) e podemos simplificar \(r^2\) (pois \(r \neq 0\) perto da origem):
\begin{equation*} g(r,\theta) = \cos\theta \sin\theta \end{equation*}
Sabemos da trigonometria básica que o valor máximo de seno ou cosseno é 1. Portanto, \(|g(x,y)| = |\cos\theta \sin\theta| \le 1 \cdot 1 = 1\text{.}\) A função é estritamente limitada.
Conclusão: Como \(f(x,y) \to 0\) e \(g(x,y)\) é limitada, pela Proposição 2.4.20, o limite do produto é zero.

Exemplo 2.4.22. Limitada por Desigualdade Algébrica.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3}{x^2 + y^2}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Passo 1: Separação Reescrevemos a função isolando o termo que zera no numerador:
\begin{equation*} \frac{x^3}{x^2 + y^2} = x \cdot \left( \frac{x^2}{x^2 + y^2} \right) \end{equation*}
Seja \(f(x,y) = x\) e \(g(x,y) = \frac{x^2}{x^2 + y^2}\text{.}\)
Passo 2: Análise de \(f\) e \(g\) Claramente, \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} x = 0\text{.}\) Para mostrar que \(g(x,y)\) é limitada sem usar polares, analisamos a natureza dos quadrados. Sabemos que, para quaisquer números reais, \(y^2 \ge 0\text{.}\) Se adicionarmos \(x^2\) em ambos os lados:
\begin{equation*} x^2 \le x^2 + y^2 \end{equation*}
Dividindo ambos os lados por \((x^2 + y^2)\) (que é positivo fora da origem):
\begin{equation*} 0 \le \frac{x^2}{x^2 + y^2} \le 1 \end{equation*}
A fração \(g(x,y)\) nunca será maior que 1 nem menor que 0. Ela é limitada.
Conclusão: Pelo Teorema do Anulamento (zero vezes limitada), o limite é \(0\text{.}\)

Exemplo 2.4.23. Limitada com Seno/Cosseno Oscilante.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} y^2 \sin\left(\frac{1}{x^2 + y^2}\right)\text{.} \end{equation*}
Solução.
A substituição direta no argumento do seno geraria uma divisão por zero (\(1/0\)), criando uma oscilação infinita perto da origem. No entanto, o Teorema do Anulamento resolve isso facilmente.
Passo 1: Separação Definimos:
\begin{equation*} f(x,y) = y^2 \quad \text{e} \quad g(x,y) = \sin\left(\frac{1}{x^2 + y^2}\right) \end{equation*}
Passo 2: Análise O limite de \(f(x,y)\) é \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} y^2 = 0\text{.}\) A função \(g(x,y)\) é o seno de um arco. A propriedade fundamental da função seno garante que, independentemente do valor do ângulo lá dentro, seu resultado está sempre contido no intervalo fechado \([-1, 1]\text{.}\)
\begin{equation*} \left| \sin\left(\frac{1}{x^2 + y^2}\right) \right| \le 1 \end{equation*}
Logo, \(g\) é limitada.
Conclusão: Zero vezes uma função limitada resulta em \(0\text{.}\)

Exemplo 2.4.24. Separação Estratégica.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^2}\text{.} \end{equation*}
Solução.
Passo 1: Separação Estratégica Como o numerador tem grau 3 (\(x^1 \cdot y^2\)) e o denominador tem grau 2, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar o \(y\text{:}\)
\begin{equation*} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = y \cdot \left( \frac{xy}{x^2 + y^2} \right) \end{equation*}
Seja \(f(x,y) = y\) e \(g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}\text{.}\)
Passo 2: Análise Sabemos que \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} y = 0\text{.}\) Para a função \(g(x,y)\text{,}\) usamos uma desigualdade clássica: \((x \pm y)^2 \ge 0\text{,}\) que se expande para \(x^2 + y^2 \ge 2|xy|\text{.}\) Rearranjando os termos, obtemos:
\begin{equation*} \frac{|xy|}{x^2 + y^2} \le \frac{1}{2} \end{equation*}
Isso prova de forma puramente algébrica que \(g(x,y)\) está limitada entre \(-1/2\) e \(1/2\text{.}\)
Conclusão: Pela Proposição 2.4.20, como \(y \to 0\) e a fração não escapa do intervalo \([-0.5, 0.5]\text{,}\) o limite do produto é \(0\text{.}\)

Subseção 2.4.6 Cálculo de Limites Envolvendo Indeterminações

Quando calculamos o limite de um quociente \(f(x,y)/g(x,y)\) e tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero (\(0/0\)), estamos diante de uma indeterminação. A priori, nada podemos afirmar sobre o resultado: o limite pode existir e assumir qualquer valor real, ou pode simplesmente não existir. Nesses casos, utilizamos técnicas algébricas como fatoração e racionalização.

Exemplo 2.4.25. Resolução por Fatoração.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (2,1)} \frac{x^3 + x^2y - 2xy - 2x^2 - 2x + 4}{xy + x - 2y - 2}\text{.} \end{equation*}
Solução.
A substituição direta de \(x=2\) e \(y=1\) no numerador e no denominador resulta em \(0/0\text{.}\) Para contornar isso, fatoramos as expressões agrupando os termos:
No numerador:
\begin{equation*} x(x^2 + xy - 2) - 2(x^2 + xy - 2) = (x - 2)(x^2 + xy - 2)\text{.} \end{equation*}
No denominador:
\begin{equation*} x(y + 1) - 2(y + 1) = (x - 2)(y + 1)\text{.} \end{equation*}
Substituindo na fração e simplificando o termo comum \((x - 2)\text{:}\)
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (2,1)} \frac{(x - 2)(x^2 + xy - 2)}{(x - 2)(y + 1)} = \lim_{(x,y) \to (2,1)} \frac{x^2 + xy - 2}{y + 1}\text{.} \end{equation*}
Agora, a substituição direta não gera mais indeterminação:
\begin{equation*} \frac{2^2 + (2)(1) - 2}{1 + 1} = \frac{4 + 2 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\text{.} \end{equation*}

Exemplo 2.4.26. Resolução por Racionalização.

Calcule o limite:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0^+, 1^-)} \frac{x + y - 1}{\sqrt{x} - \sqrt{1 - y}}\text{.} \end{equation*}
Solução.
A substituição direta gera \(0/0\text{.}\) Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é \((\sqrt{x} + \sqrt{1 - y})\text{:}\)
\begin{equation*} \frac{(x + y - 1)(\sqrt{x} + \sqrt{1 - y})}{(\sqrt{x} - \sqrt{1 - y})(\sqrt{x} + \sqrt{1 - y})}\text{.} \end{equation*}
O denominador torna-se uma diferença de quadrados:
\begin{equation*} (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{1 - y})^2 = x - (1 - y) = x + y - 1\text{.} \end{equation*}
Cancelando o termo \((x + y - 1)\) no numerador e denominador:
\begin{equation*} \lim_{(x,y) \to (0^+, 1^-)} (\sqrt{x} + \sqrt{1 - y}) = \sqrt{0} + \sqrt{1 - 1} = 0\text{.} \end{equation*}

Exercícios 2.4.7 Exercícios

Esta lista aborda o cálculo direto, simplificação algébrica, inexistência de limites através da Proposição 2.4.4 e o uso do Teorema do Anulamento (Proposição 2.4.20).

1.

Calcule os limites ou mostre que não existem.
  1. \(\displaystyle \displaystyle\lim_{(x,y) \to (0, \ln 2)} e^{x-y}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle\lim_{(x,y) \to (1,2)} (3x^2y - 5y + 1)\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle\lim_{(x,y) \to (2,1)} \frac{x^2 - y}{x + y}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (\pi/2, 2)} y \sin(xy)\)
  5. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (1,1)} \frac{x^2 - y^2}{x - y}\)
  6. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (2,0)} \frac{xy - 2y}{x^2 - 4}\)
  7. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\)
  8. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2 + 1} - 1}\)
  9. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}\)
  10. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}\)
  11. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 y}{x^6 + y^2}\)
  12. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x y^3}{x^2 + y^6}\)
  13. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3}{x^2 + y^2}\)
  14. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} y^2 \cos\left(\frac{1}{xy}\right)\)
  15. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}\)
  16. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} x \sin\left(\frac{1}{x^2 + y^2}\right)\)
  17. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x y^3}{x^2 + y^2}\)
  18. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\)
  19. \(\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \ln(1 + x^2 + y^2)\)
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