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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 4.2 Identificação e Classificação de Extremos

Subseção 4.2.1 Pontos Críticos

O primeiro passo para encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função diferenciável \(f(x,y)\) é localizar seus pontos candidatos, chamados de pontos críticos.

Definição 4.2.1.

Seja \(f\) definida em um conjunto aberto \(U \subset \mathbb{R}^2\text{.}\) Um ponto \((x_0, y_0) \in U\) é chamado de ponto crítico de \(f\) se:
  1. \(\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0}\text{,}\) ou seja, \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0\text{.}\)
  2. Ou se \(f\) não é diferenciável em \((x_0, y_0)\text{.}\)
Geometricamente, nos pontos críticos onde o gradiente se anula, o plano tangente à superfície é horizontal. Já nos casos em que a função não é diferenciável, o gráfico pode apresentar um "bico" ou quina, não admitindo um plano tangente definido naquele ponto.

Exemplo 4.2.2. Ponto Crítico com Plano Tangente Horizontal.

Verifique o ponto crítico da função \(f(x,y) = x^2 + y^2\text{.}\)
Solução.
Calculamos as derivadas parciais:
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \quad \text{e} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y\text{.} \end{equation*}
Igualando ambas a zero para encontrar onde o gradiente se anula:
\begin{equation*} \begin{cases} 2x = 0 \\ 2y = 0 \end{cases} \implies x = 0, y = 0\text{.} \end{equation*}
Portanto, o ponto \((0,0)\) é um ponto crítico. Como o gráfico é um paraboloide voltado para cima, a superfície possui um plano tangente horizontal em \((0,0,0)\text{,}\) correspondendo a um mínimo global.

Exemplo 4.2.3. Ponto Crítico por Não Diferenciabilidade.

Analise o ponto crítico da função \(f(x,y) = \sqrt{2x^2 + y^2}\text{.}\)
Solução.
Nesta função, as derivadas parciais não existem na origem. O gráfico representa uma superfície cônica com vértice em \((0,0,0)\text{,}\) apresentando uma quina onde a função não é diferenciável. Por essa razão, \((0,0)\) é classificado como um ponto crítico.

Exemplo 4.2.4. Ponto Crítico do Tipo Sela.

Determine o ponto crítico de \(f(x,y) = x^2 - y^2\text{.}\)
Solução.
As derivadas parciais são dadas por:
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \quad \text{e} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = -2y\text{.} \end{equation*}
O único ponto onde o gradiente é nulo é \((0,0)\text{.}\) Embora o plano tangente seja horizontal, este ponto não é de máximo nem de mínimo, sendo conhecido como ponto de sela.

Subseção 4.2.2 Classificação de Extremos Locais (O Teste da Segunda Derivada)

Nem todo ponto crítico é um máximo ou mínimo local; ele pode ser um ponto de sela. Para classificar um ponto crítico \((x_0, y_0)\) de uma função cujas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas em um conjunto aberto, utilizamos o determinante da matriz Hessiana:
\begin{equation*} H(x_0, y_0) = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) \amp \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0, y_0) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0) \amp \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) \end{vmatrix} \end{equation*}
As regras de decisão para a classificação do ponto crítico \((x_0, y_0)\) são as seguintes:
  • Se \(H(x_0, y_0) > 0\) e \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) > 0\text{,}\) então \((x_0, y_0)\) é um mínimo local.
  • Se \(H(x_0, y_0) > 0\) e \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) < 0\text{,}\) então \((x_0, y_0)\) é um máximo local.
  • Se \(H(x_0, y_0) < 0\text{,}\) então \((x_0, y_0)\) é um ponto de sela.
  • Se \(H(x_0, y_0) = 0\text{,}\) o teste é inconclusivo e nada se pode afirmar.

Exemplo 4.2.5. Classificação em Função Polinomial.

Classifique os pontos críticos da função \(f(x,y) = 3xy^2 + x^3 - 3x\text{.}\)
Solução.
As derivadas parciais de primeira ordem são \(\frac{\partial f}{\partial x} = 3y^2 + 3x^2 - 3\) e \(\frac{\partial f}{\partial y} = 6xy\text{.}\) Os pontos críticos encontrados ao resolver o sistema \(\nabla f = \vec{0}\) são \((0, 1), (0, -1), (1, 0)\) e \((-1, 0)\text{.}\)
Calculamos as derivadas de segunda ordem: \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x\text{,}\) \(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6x\) e \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 6y\text{.}\) Para o ponto \((1, 0)\text{,}\) temos \(H = \begin{vmatrix} 6 \amp 0 \\ 0 \amp 6 \end{vmatrix} = 36 > 0\text{.}\) Como \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,0) = 6 > 0\text{,}\) o ponto é um mínimo local. Para o ponto \((-1, 0)\text{,}\) \(H = \begin{vmatrix} -6 \amp 0 \\ 0 \amp -6 \end{vmatrix} = 36 > 0\text{.}\) Como \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(-1,0) = -6 < 0\text{,}\) o ponto é um máximo local. Para os pontos \((0, \pm 1)\text{,}\) \(H = -36 < 0\text{,}\) classificando-os como pontos de sela.

Exemplo 4.2.6. Ponto de Mínimo em Função com Termos Racionais.

Verifique a natureza do ponto crítico \((1,1)\) para \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2 + \frac{3}{x} + \frac{3}{y} + 5\text{.}\)
Solução.
As derivadas de primeira ordem são \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - \frac{3}{x^2}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y - \frac{3}{y^2}\text{,}\) que se anulam em \((1, 1)\text{.}\) As segundas derivadas são \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 + \frac{6}{x^3}\text{,}\) \(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 + \frac{6}{y^3}\) e \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1\text{.}\) No ponto \((1, 1)\text{,}\) o determinante hessiano é \(H = \begin{vmatrix} 8 \amp 1 \\ 1 \amp 8 \end{vmatrix} = 63 > 0\text{.}\) Como \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) = 8 > 0\text{,}\) o ponto é um mínimo local.

Exemplo 4.2.7. Análise de Múltiplos Pontos Críticos.

Analise os pontos críticos de \(f(x,y) = 2x^3 + 2y^3 - 6x - 6y\text{.}\)
Solução.
As derivadas parciais são \(\frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 - 6\) e \(\frac{\partial f}{\partial y} = 6y^2 - 6\text{,}\) resultando nos pontos críticos \((1, 1), (1, -1), (-1, 1)\) e \((-1, -1)\text{.}\) O hessiano geral é \(H(x,y) = \begin{vmatrix} 12x \amp 0 \\ 0 \amp 12y \end{vmatrix} = 144xy\text{.}\) Para \((1, 1)\text{,}\) \(H = 144 > 0\) e \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12 > 0\text{,}\) logo é um mínimo local. Para \((-1, -1)\text{,}\) \(H = 144 > 0\) e \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -12 < 0\text{,}\) logo é um máximo local. Para \((1, -1)\) e \((-1, 1)\text{,}\) \(H = -144 < 0\text{,}\) caracterizando pontos de sela.

Exercícios 4.2.3 Exercícios Propostos

Identificação e Classificação de Extremos Locais.

Determine os pontos críticos das funções dadas e classifique-os (como máximo local, mínimo local ou ponto de sela), utilizando o critério da segunda derivada quando aplicável.
1.
Determine e classifique os pontos críticos da função \(f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy + 1\text{.}\)
2.
Encontre os pontos críticos de \(f(x,y) = (x^2 + y^2)e^{-x}\text{.}\)
3.
Seja \(f(x,y) = 3x - x^3 - 3xy^2\text{.}\) Verifique que os pontos críticos são \((1,0)\text{,}\) \((-1,0)\text{,}\) \((0,1)\) e \((0,-1)\) e classifique-os.
4.
Encontre e classifique os pontos críticos de \(f(x,y) = 2x^2 + y^2 - 5\text{.}\)
5.
Classifique os pontos críticos da função polinomial \(f(x,y) = x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y\text{.}\)
6.
Determine e classifique os pontos críticos de \(f(x,y) = 4xy - x^4 - 2y^2\text{.}\)
7.
Analise a natureza dos pontos críticos da função \(f(x,y) = 4x^2 + 3xy + y^2 + 12x + 2y + 1\text{.}\)
8.
Encontre os pontos críticos de \(f(x,y) = y^2 - 3x^2y + 3y\) e determine se são pontos de máximo, mínimo ou sela.
9.
Classifique os pontos críticos de \(f(x,y) = 2y^3 - 3x^4 - 6x^2y + 5\text{.}\)
10.
Encontre e classifique os pontos críticos da função racional \(f(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2+4}\text{.}\)
11.
Determine os extremos locais da função exponencial \(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\text{.}\)
12.
Verifique e classifique os pontos críticos de \(f(x,y) = x e^{-x^2-y^2}\text{.}\)
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