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Seção 1.7 Cálculo de Áreas
A integral definida é a ferramenta fundamental para o cálculo de áreas de figuras planas. Dependendo da posição da curva em relação ao eixo \(x\) ou da interação entre duas curvas, dividimos o estudo em casos específicos.
Subseção 1.7.1 Cálculo da Área em Relação ao Eixo x
Caso 1: Função Positiva
Se \(f\) é contínua e \(f(x) \ge 0\) em \([a, b]\text{,}\) a área \(A\) sob o gráfico é dada por:
\begin{equation*}
A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
\end{equation*}
Exemplo 1.7.1 . Área sob parábola.
Encontre a área limitada pela curva \(y = 4 - x^2\) e o eixo \(x\text{.}\)
Solução .
A curva intercepta o eixo \(x\) em \(x = -2\) e \(x = 2\text{.}\) Como a função é positiva neste intervalo:
\begin{equation*}
A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left. 4x - \frac{x^3}{3} \right|_{-2}^{2} = \frac{32}{3} \text{ u.a.}
\end{equation*}
Caso 2: Função Negativa
Se \(f(x) \le 0\) em \([a, b]\text{,}\) a integral resultará em um valor negativo. Como área é sempre positiva, usamos o valor absoluto:
\begin{equation*}
A = -\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx
\end{equation*}
Exemplo 1.7.2 .
Determine a área da região limitada por \(y = \cos(3x)\) e o eixo \(x\text{,}\) no intervalo \([0, \pi/2]\text{.}\)
Solução .
Como a função assume valores positivos e negativos no intervalo, devemos calcular a área absoluta dividindo a integral no ponto de intersecção \(x = \pi/6\text{:}\)
\begin{equation*}
A = \int_{0}^{\pi/6} \cos(3x) \, dx + \left| \int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos(3x) \, dx \right|
\end{equation*}
Calculando a primitiva \(G(x) = \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x)\text{:}\)
Para o primeiro intervalo:
\begin{equation*}
\int_{0}^{\pi/6} \cos(3x) \, dx = \left. \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \right|_0^{\pi/6} = \frac{1}{3}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0 = \frac{1}{3}
\end{equation*}
Para o segundo intervalo:
\begin{align*}
\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2} \cos(3x) \, dx =\amp~ \left. \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x) \right|_{\pi/6}^{\pi/2} \\
=\amp~ \frac{1}{3}\operatorname{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{1}{3}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\\
=\amp~-\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\\
=\amp~-\frac{2}{3}
\end{align*}
A área total é a soma dos valores absolutos:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{3} + \left| -\frac{2}{3} \right| = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \text{ u.a.}
\end{equation*}
Subseção 1.7.2 Área entre Duas Curvas
Sejam \(f(x)\) e \(g(x)\) funções contínuas em \([a, b]\) tais que \(f(x) \ge g(x)\text{.}\) A área da região limitada pelos gráficos de \(f\) e \(g\) e pelas retas \(x = a\) e \(x = b\) é:
\begin{equation*}
A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx
\end{equation*}
Exemplo 1.7.3 . Área entre parábola e reta.
Determine a área da região limitada por \(y = x^2\) e \(y = x + 2\text{.}\)
Solução .
Igualando as funções \(x^2 = x + 2\text{,}\) encontramos os pontos de intersecção \(x = -1\) e \(x = 2\text{.}\) No intervalo \([-1, 2]\text{,}\) a reta \(x+2\) está acima da parábola \(x^2\text{.}\)
\begin{equation*}
A = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx = \left. \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{2} = \frac{9}{2} \text{ u.a.}
\end{equation*}
Exemplo 1.7.4 . Área com Inversão de Curvas.
Calcule a área da região delimitada por \(f(x) = x^3\) e \(g(x) = x\) entre \(x = -1\) e \(x = 1\text{.}\)
Solução .
Primeiro, determinamos os pontos de intersecção igualando as funções:
\begin{equation*}
x^3 = x \implies x^3 - x = 0 \implies x(x^2 - 1) = 0
\end{equation*}
As intersecções ocorrem em \(x = -1\text{,}\) \(x = 0\) e \(x = 1\text{.}\)
Devido à simetria e à inversão das funções no ponto médio, dividimos a área em duas partes:
No intervalo \([-1, 0]\text{,}\) temos \(x^3 \ge x\text{:}\)
\begin{equation*}
A_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left. \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right|_{-1}^{0}
\end{equation*}
\begin{equation*}
A_1 = 0 - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right) = - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4}
\end{equation*}
No intervalo \([0, 1]\text{,}\) temos \(x \ge x^3\text{:}\)
\begin{equation*}
A_2 = \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx = \left. \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
A_2 = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - 0 = \frac{1}{4}
\end{equation*}
A área total é a soma das áreas das duas regiões:
\begin{equation*}
A = A_1 + A_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \text{ u.a.}
\end{equation*}
Exercícios 1.7.3 Exercícios
Determine a área da região limitada pelas curvas dadas:
1.
\(y = 3x^2\text{,}\) eixo \(x\text{,}\) \(x = 1\) e \(x = 2\text{.}\)
2.
\(y = x^3\text{,}\) eixo \(x\text{,}\) \(x = -2\) e \(x = 1\text{.}\)
3.
\(y = \sqrt{x}\text{,}\) eixo \(x\) e \(x = 4\text{.}\)
4.
\(y = \ln x\text{,}\) eixo \(x\text{,}\) de \(x = 1\) a \(x = e\text{.}\)
5.
\(y = e^x\text{,}\) eixo \(x\text{,}\) \(x = -1\) e \(x = 1\text{.}\)
6.
\(y = x^2\) e \(y = \sqrt{x}\text{.}\)
7.
\(y = 4 - x^2\) e \(y = x + 2\text{.}\)
8.
\(y = \operatorname{sen} x\) e \(y = \cos x\text{,}\) de \(x = 0\) a \(x = \pi/4\text{.}\)
9.
\(x = y^2\) e \(x = 4\text{.}\)
10.
\(y = 1/x\text{,}\) \(x = 1\text{,}\) \(x = 2\) e \(y = 0\text{.}\)
11.
\(y = x^2 - 4x\) e o eixo \(x\text{.}\)
12.
\(y = x^2\) e \(y = -x^2 + 4x\text{.}\)
13.
\(y = 2^x\text{,}\) \(y = 2^{-x}\) e \(x = 1\text{.}\)
14.
\(y = |x|\) e \(y = x^2\text{.}\)
