UFRPE-DM O Conceito de Área sob uma Curva

Seção 1.4 O Conceito de Área sob uma Curva

O problema central consiste em definir a área de uma região plana \(S\text{,}\) limitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa \(f\text{,}\) pelo eixo \(x\) e pelas retas verticais \(x=a\) e \(x=b\text{.}\)

Para quantificar essa área de maneira rigorosa, aplicamos o seguinte processo de discretização:

Construção da Partição e Amostragem.

Partição do Intervalo: Dividimos o intervalo \([a, b]\) em \(n\) subintervalos, escolhendo pontos tais que \(a = x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_i \dots \lt x_n = b\text{.}\)
Largura das Bases: Cada subintervalo possui um comprimento definido por \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\text{.}\)
Escolha das Alturas: Em cada subintervalo \([x_{i-1}, x_i]\text{,}\) selecionamos um ponto arbitrário \(c_i\text{.}\) A altura do retângulo correspondente será dada pelo valor da função nesse ponto, \(f(c_i)\text{.}\)

Tecnologia 1.4.1.

Partição e área aproximada.

Figura 1.4.2. Os termos máximo e mínimo.

Definição 1.4.3. Soma de Riemann.

A soma das áreas dos \(n\) retângulos resultantes é denominada Soma de Riemann da função \(f(x)\text{:}\)

\begin{equation*} S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i \end{equation*}

À medida que refinamos a partição (aumentando o valor de \(n\) e fazendo com que a largura de cada \(\Delta x_i\) tenda a zero), a soma dessas áreas retangulares converge para o valor intuitivo da área total da região \(S\text{.}\)

Definição 1.4.4. Área como Limite.

A área \(A\) sob a curva de \(a\) até \(b\) é definida formalmente pelo limite:

\begin{equation*} A = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i \end{equation*}

Nota 1.4.5.

É importante notar que, para funções contínuas, este limite sempre existe e resulta em um número não negativo.

Cálculo NII: notas de aula