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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 2.2 Curvas de Nível e Representação de Superfícies

A visualização de funções de duas variáveis \(z = f(x,y)\) no espaço tridimensional pode ser complexa. A técnica de curvas de nível permite representar essas superfícies em um plano bidimensional (\(\mathbb{R}^2\)), facilitando a interpretação de relevos, potenciais e campos.

Definição 2.2.1.

Dada uma função \(f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\text{,}\) o conjunto de pontos \((x,y)\) tais que
\begin{equation*} f(x,y) = k\text{,} \end{equation*}
onde \(k\) é uma constante no domínio da imagem, define uma curva de nível. O conjunto de várias curvas para diferentes valores de \(k\) compõe o gráfico de contorno.

Subseção 2.2.1 Exemplos de Modelagem

Exemplo 2.2.2. Superfície Plana (Família de Retas).

Seja \(f(x,y) = 2x + 4y\text{.}\) Determine as curvas de nível para \(k = -4, 0, 4\text{.}\)
Solução.
Fazendo \(2x + 4y = k\text{,}\) obtemos a equação da reta \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{4}\text{.}\)
  • Para \(k = -4\text{:}\) \(y = -\frac{1}{2}x - 1\text{.}\)
  • Para \(k = 0\text{:}\) \(y = -\frac{1}{2}x\) (reta pela origem).
  • Para \(k = 4\text{:}\) \(y = -\frac{1}{2}x + 1\text{.}\)
As curvas de nível são retas paralelas, indicando que a superfície é um plano inclinado.

Exemplo 2.2.3. Paraboloide Elíptico.

Analise as curvas de nível de \(z = x^2 + 4y^2\text{.}\)
Dica.
Solução.
A equação \(x^2 + 4y^2 = k\) define elipses para \(k > 0\text{.}\) Reescrevendo na forma padrão: \(\frac{x^2}{k} + \frac{y^2}{k/4} = 1\text{.}\) Os eixos da elipse crescem com \(\sqrt{k}\text{,}\) mostrando que a superfície "abre" à medida que subimos no eixo \(z\text{.}\) Para \(k=0\text{,}\) a curva degenera no ponto \((0,0)\text{.}\)

Exemplo 2.2.4. Hemisfério Superior.

Determine as curvas de nível de \(f(x,y) = \sqrt{25 - x^2 - y^2}\text{.}\)
Dica.
Solução.
Temos \(\sqrt{25 - x^2 - y^2} = k\text{,}\) o que implica \(x^2 + y^2 = 25 - k^2\text{.}\) Esta equação representa circunferências de raio \(r = \sqrt{25 - k^2}\text{.}\) Note que \(k\) deve estar no intervalo \([0, 5]\text{.}\) Quando \(k\) aumenta, o raio da circunferência diminui, convergindo para o ponto \((0,0)\) quando \(k=5\text{.}\)

Exemplo 2.2.5. Cone Circular.

Estude as curvas de nível de \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\text{.}\)
Dica.
Solução.
\(\sqrt{x^2 + y^2} = k \implies x^2 + y^2 = k^2\text{.}\) As curvas são circunferências concêntricas onde o raio \(r\) é exatamente igual à altura \(k\text{.}\) A distribuição uniforme das curvas (raios \(1, 2, 3...\) para \(k=1, 2, 3...\)) indica uma inclinação constante, característica de um cone.

Exemplo 2.2.6. Superfície de Sela (Hiperboloide).

Determine as curvas de nível para \(f(x,y) = x^2 - y^2\text{.}\)
Dica.
Solução.
\(x^2 - y^2 = k\text{.}\)
  • Para \(k > 0\text{:}\) Hipérboles com eixo focal no eixo \(x\text{.}\)
  • Para \(k \lt 0\text{:}\) Hipérboles com eixo focal no eixo \(y\text{.}\)
  • Para \(k = 0\text{:}\) \(x^2 - y^2 = 0 \implies (x-y)(x+y) = 0\text{,}\) resultando nas retas \(y=x\) e \(y=-x\text{.}\)
Este padrão em "X" na origem caracteriza um ponto de sela.

Exercícios 2.2.2 Lista de Exercícios: Curvas de Nível

Para cada função abaixo, determine a equação geral das curvas de nível e esboce o mapa de contorno para os valores de \(k\) sugeridos.

1.

\(f(x,y) = x + y\text{;}\) \(k = -1, 0, 1, 2\text{.}\)

2.

\(f(x,y) = y - 2x^2\text{;}\) \(k = -2, 0, 2\text{.}\)

3.

\(f(x,y) = x^2 + y^2\text{;}\) \(k = 1, 4, 9, 16\text{.}\)

4.

\(f(x,y) = xy\text{;}\) \(k = -2, -1, 1, 2\text{.}\)

5.

\(f(x,y) = \frac{x}{y}\text{;}\) \(k = -1, 1, 2\text{.}\)

6.

\(f(x,y) = 4x^2 + 9y^2\text{;}\) \(k = 36\text{.}\)

7.

\(f(x,y) = e^{x^2+y^2}\text{;}\) \(k = e, e^4\text{.}\)

8.

\(f(x,y) = \ln(x^2 + y^2)\text{;}\) \(k = 0\text{.}\)

9.

\(f(x,y) = \cos(x^2 + y^2)\text{;}\) \(k = 1\text{.}\)

10.

\(f(x,y) = \sqrt{x+y}\text{;}\) \(k = 1, 2, 3\text{.}\)

11.

\(f(x,y) = x^2 - y\text{;}\) \(k = 0, 1, 2\text{.}\)

12.

\(f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2}\text{;}\) \(k = 1, 1/4\text{.}\)

13.

\(f(x,y) = |x| + |y|\text{;}\) \(k = 1, 2\text{.}\)

14.

\(f(x,y) = \min(x, y)\text{;}\) \(k = 1, 2\text{.}\)

15.

\(f(x,y) = y - \sin(x)\text{;}\) \(k = 0, 1\text{.}\)

16.

\(f(x,y) = \frac{x^2}{y}\text{;}\) \(k = 1, -1\text{.}\)
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