Teorema 1.6.1. Teorema Fundamental do Cálculo.
Se \(f\) for uma função contínua no intervalo \([a, b]\) e \(F\) for uma primitiva de \(f\) em \([a, b]\text{,}\) então:
\begin{equation*}
\int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)
\end{equation*}
Seção 1.6 O Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo é uma das ferramentas mais poderosas da matemática, pois estabelece a conexão entre a derivação e a integração. Ele permite que, ao conhecermos uma primitiva de uma função contínua \(f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\text{,}\) possamos calcular sua integral definida de forma simplificada.
Subseção 1.6.1 Exemplos
Calcular as integrais definidas:
Exemplo 1.6.2.
\(\displaystyle\int_1^2 x^2 \, dx\text{.}\)
Solução.
Uma primitiva de \(f(x) = x^2\) é \(G(x) = \frac{x^3}{3}\text{.}\) Assim:
\begin{equation*}
\int_1^2 x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{7}{3}\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.6.3.
\(\displaystyle\int_0^{\pi} \cos x \, dx\text{.}\)
Solução.
Uma primitiva de \(f(x) = \cos x\) é \(G(x) = \operatorname{sen} x\text{.}\) Temos:
\begin{equation*}
\int_0^{\pi} \cos x \, dx = \left. \operatorname{sen} x \right|_0^{\pi} = \operatorname{sen} \pi - \operatorname{sen} 0 = 0\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.6.4.
\(\displaystyle\int_0^1 e^x \, dx\text{.}\)
Solução.
Como \(G(x) = e^x\) é primitiva de \(f(x) = e^x\text{,}\) vem:
\begin{equation*}
\int_0^1 e^x \, dx = \left. e^x \right|_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.6.5.
\(\displaystyle\int_{-2}^4 (3x - 1) \, dx\text{.}\)
Solução.
Uma primitiva é \(G(x) = \frac{3x^2}{2} - x\text{.}\)
\begin{equation*}
\int_{-2}^4 (3x - 1) \, dx = \left[ \frac{3(4)^2}{2} - 4 \right] - \left[ \frac{3(-2)^2}{2} - (-2) \right] = (24 - 4) - (6 + 2) = 12\text{.}
\end{equation*}
Exemplo 1.6.6.
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \operatorname{sen} 2x \, dx\text{.}\)
Solução.
Fazendo a primitiva por substituição, obtemos \(G(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x\text{.}\)
\begin{equation*}
\int_0^{\pi/2} \operatorname{sen} 2x \, dx = \left. -\frac{1}{2}\cos 2x \right|_0^{\pi/2} = -\frac{1}{2}\cos \pi - (-\frac{1}{2}\cos 0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\text{.}
\end{equation*}
Exercícios 1.6.2 Exercícios
Tecnologia 1.6.7.
Use o Sage para calcular as integrais propostas nos exercícios e confira com as suas respostas.
Calcular as seguintes integrais definidas:
1.
\(\displaystyle\int_{-1}^{2} x^3 \, dx\)
2.
\(\displaystyle\int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 3) \, dx\)
3.
\(\displaystyle\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx\)
4.
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \sec^2 x \, dx\)
5.
\(\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{1}{w^2} \, dw\)
6.
\(\displaystyle\int_{0}^{1} (e^x + 1) \, dx\)
7.
\(\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{dt}{t}\)
8.
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x \, dx\)
9.
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} 5 \, dx\)
10.
\(\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{x^2 + 1}{x} \, dx\)
11.
\(\displaystyle\int_{0}^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)
12.
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2}\)
13.
\(\displaystyle\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 \, dx\)
14.
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos x) \, dx\)
15.
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{t}(t^2 + 1) \, dt\)
16.
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx\)
17.
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}^2 x \, dx\)
18.
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x}{(1 + \operatorname{sen} x)^5} \, dx\)
19.
\(\displaystyle\int_{0}^{4} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}\)
20.
\(\displaystyle\int_{0}^{2} \sqrt{2}x(\sqrt{x} + \sqrt{5}) \, dx\)
21.
\(\displaystyle\int_{1}^{2} \frac{5x^3 + 7x^2 - 5x + 2}{x^2} \, dx\)
22.
\(\displaystyle\int_{1}^{2} x \ln x \, dx\)
23.
\(\displaystyle\int_{-3}^{-2} (t - \frac{1}{t})^2 \, dt\)
24.
\(\displaystyle\int_{0}^{-1} \frac{x^3+8}{x+2} \, dx\)
