Seção4.4Otimização com Restrições: Multiplicadores de Lagrange
Subseção4.4.1Fundamentação Teórica e Geométrica
Diferentemente da otimização livre, onde procuramos extremos em todo o domínio de uma função, a otimização condicionada busca o maior ou menor valor de uma função \(f(x,y,z)\) sobre um subconjunto restrito por uma ou mais equações denominadas vínculos.
Geometricamente, para uma função de duas variáveis sujeita a uma restrição \(g(x,y)=0\text{,}\) o valor extremo ocorre no ponto \(P_0\) onde a curva de nível da função objetivo é tangente à curva da restrição. Nesse ponto de tangência, os vetores gradientes \(\nabla f\) e \(\nabla g\) são paralelos.
Proposição4.4.1.Condição Necessária para Extremante Condicionado (Uma Restrição).
Seja \(f(x,y)\) uma função diferenciável e \(g(x,y)\) uma função com derivadas parciais contínuas tal que \(\nabla g(x,y) \neq \vec{0}\) sobre a curva \(V = \{(x,y) \mid g(x,y)=0\}\text{.}\) Uma condição necessária para que \((x_0, y_0)\) seja um extremante local de \(f\) sujeita a \(g(x,y)=0\) é que exista um número real \(\lambda\) tal que:
Proposição4.4.3.Condição Necessária para Extremante Condicionado (Duas Restrições).
Seja \(f(x,y,z)\) diferenciável e sujeita às restrições \(g(x,y,z)=0\) e \(h(x,y,z)=0\text{,}\) com gradientes \(\nabla g\) e \(\nabla h\) linearmente independentes. Se \(P_0\) é um ponto extremante, então existem números reais \(\lambda\) e \(\mu\) tais que:
Objetivo: Max \(A(x,y) = xy\) sujeito a \(x + 2y - 20 = 0\text{.}\) A lagrangeana é \(L(x,y,\lambda) = xy - \lambda(x + 2y - 20)\text{.}\) O sistema gerado por \(\nabla L = \vec{0}\) é:
\begin{equation*}
\begin{cases}
y - \lambda = 0 \implies y = \lambda \\
x - 2\lambda = 0 \implies x = 2\lambda \\
x + 2y = 20
\end{cases}\text{.}
\end{equation*}
Substituindo, temos \(2\lambda + 2\lambda = 20 \implies \lambda = 5\text{.}\) Assim, \(x = 10\) e \(y = 5\text{,}\) resultando em uma área máxima de \(50\text{ m}^2\text{.}\)
Exemplo4.4.5.Ponto mais Próximo do Plano à Origem.
Determine o ponto do plano \(2x + y + 3z = 6\) que minimiza a distância à origem.
Minimizamos \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) sujeita às duas restrições. A função lagrangeana é:
\begin{equation*}
L = x^2 + y^2 + z^2 - \lambda(x + y + z - 2) - \mu(x + 3y + 2z - 12)\text{.}
\end{equation*}
Derivando e igualando a zero, formamos um sistema linear de 5 equações. A solução do sistema nos fornece os multiplicadores \(\lambda = -44/3\) e \(\mu = 8\text{.}\) O ponto correspondente à distância mínima é \((-10/3, 14/3, 2/3)\text{.}\)
Exemplo4.4.7.Distância de um Ponto a uma Curva.
Determinar o ponto da curva \(y^2 = 4x\text{,}\) no primeiro quadrante, cuja distância até o ponto \(Q(4,0)\) seja mínima.
Minimizamos o quadrado da distância \(f(x,y) = (x-4)^2 + y^2\) com a restrição \(g(x,y) = y^2 - 4x = 0\text{.}\) A lagrangeana é \(L(x,y,\lambda) = (x-4)^2 + y^2 - \lambda(y^2 - 4x)\text{.}\) Igualando as derivadas a zero:
Da segunda equação, temos \(y=0\) ou \(\lambda=1\text{.}\) Se \(y=0\text{,}\) então \(x=0\text{,}\) o que nos dá a distância ao quadrado igual a 16. Se \(\lambda=1\text{,}\) a primeira equação resulta em \(2(x-4) + 4 = 0 \implies x=2\text{.}\) Assim, \(y^2 = 8 \implies y = \pm 2\sqrt{2}\text{.}\) Para \((2, 2\sqrt{2})\text{,}\) a distância ao quadrado é 12. Como 12 < 16, a distância mínima ocorre no ponto \((2, 2\sqrt{2})\text{.}\)
Exemplo4.4.8.Minimização de Custo de Material (Embalagem).
Um fabricante deve produzir caixas retangulares de volume \(V = 64\text{ cm}^3\text{.}\) Determine as dimensões da caixa que minimizem a área superficial, garantindo o menor custo de material.
A área superficial é dada por \(A(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz\text{,}\) ou minimizando sua metade, podemos usar a função custo \(C(x,y,z) = xy + xz + yz\) sujeita à restrição de volume \(xyz - 64 = 0\text{.}\) A função lagrangeana é \(L = xy + xz + yz - \lambda(xyz - 64)\text{.}\) Igualando as derivadas a zero:
Multiplicando as equações apropriadamente e igualando-as, concluímos que \(x = y = z\text{.}\) Substituindo na restrição de volume, obtemos \(x^3 = 64 \implies x = 4\text{.}\) As dimensões ideais da embalagem são \(4 \times 4 \times 4\text{ cm}\text{.}\)
Exemplo4.4.9.Problema Numérico de Otimização.
Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja a menor possível.
Queremos minimizar \(f(x,y,z) = x + y + z\) sujeita a \(g(x,y,z) = xyz - 100 = 0\) (com \(x,y,z > 0\)). \(L = x + y + z - \lambda(xyz - 100)\text{.}\) Temos \(1 - \lambda yz = 0\text{,}\)\(1 - \lambda xz = 0\text{,}\) e \(1 - \lambda xy = 0\text{.}\) Isso implica que \(\lambda yz = \lambda xz = \lambda xy = 1\text{.}\) Como \(\lambda \neq 0\text{,}\) dividindo as equações deduzimos que \(x = y = z\text{.}\) Substituindo na restrição: \(x^3 = 100 \implies x = y = z = \sqrt[3]{100}\text{.}\) Os três números procurados são idênticos e iguais à raiz cúbica de 100.
Exercícios4.4.4Exercícios Propostos
Otimização com uma Restrição (Duas Variáveis).
Determine os pontos de máximo e/ou mínimo condicionados usando os multiplicadores de Lagrange.
1.
Maximize e minimize \(z = 4 - 2x - 3y\) sujeito a \(x^2 + y^2 = 1\text{.}\)
2.
Encontre os extremos de \(z = 2x + y\) sobre a circunferência \(x^2 + y^2 = 4\text{.}\)
3.
Determine os valores extremos de \(z = x^2 + y^2\) sujeitos à restrição linear \(x + y = 1\text{.}\)
4.
Encontre os máximos e mínimos de \(z = xy\) sujeito à elipse \(2x^2 + y^2 = 16\text{.}\)
5.
Determine os valores extremos de \(z = 2xy\) com a restrição \(x + y = 2\text{.}\)
Otimização com Múltiplas Variáveis ou Restrições.
Determine os pontos que otimizam as funções abaixo dadas as restrições indicadas.
6.
Encontre o mínimo da função \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) no plano \(x + y + z = 9\text{.}\)
7.
Determine o ponto do plano \(3x + 2y + 4z = 12\) para o qual a função \(f(x,y,z) = x^2 + 4y^2 + 5z^2\) seja mínima.
8.
Determine o ponto no plano \(x + y - z = 1\) cuja distância exata ao ponto \((1,1,1)\) seja a menor possível.
9.
A reta \(r\) é dada pela intersecção dos planos \(x + y + z = 1\) e \(2x + 3y + z = 6\text{.}\) Determine o ponto de \(r\) mais próximo da origem.
10.
Determine três números positivos cuja soma seja 120 e cujo produto seja o máximo possível.
Aplicações Práticas e Modelagem Geométrica.
Para os problemas abaixo, construa a função objetivo e as funções de restrição antes de aplicar o método de Lagrange.
11.
Determinar a distância mínima absoluta entre o ponto \((0,1)\) e a parábola descrita por \(x^2 = 4y\text{.}\)
12.
Uma firma de embalagem fabrica caixas retangulares com volume de \(64\text{ cm}^3\text{.}\) O material lateral custa a metade do material da tampa e do fundo. Determine as dimensões que minimizam este custo.
13.
Calcule as dimensões analíticas de um retângulo de área máxima que pode ser inscrito em uma semicircunferência de raio \(R = 2\text{.}\)
14.
Mostre matematicamente que o paralelepípedo retângulo de maior volume que pode ser inscrito perfeitamente dentro de uma esfera qualquer tem a forma de um cubo.
15.
Determine as dimensões do paralelepípedo de maior volume que pode ser inscrito no tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano \(x + \frac{1}{3}y + \frac{1}{2}z = 1\text{.}\)
