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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 3.6 Derivação Implícita

Subseção 3.6.1 Derivada de \(y = f(x)\) definida por \(F(x,y) = 0\)

Muitas vezes, uma função \(y = f(x)\) não é dada explicitamente, mas sim definida de forma implícita por uma equação da forma \(F(x,y) = 0\text{.}\) Se substituirmos \(y\) por \(f(x)\) na equação, ela se torna uma identidade.
Supondo que \(F\) é diferenciável e que \(\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0\text{,}\) podemos encontrar a derivada \(\frac{dy}{dx}\) usando a regra da cadeia. Derivando a equação \(F(x,y) = 0\) em relação a \(x\text{,}\) obtemos:
\begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dx} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0\text{.} \end{equation*}
Como \(\frac{dx}{dx} = 1\text{,}\) isolando \(\frac{dy}{dx}\text{,}\) chegamos à fórmula fundamental:
\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.6.1. Cálculo da derivada implícita.

Sabendo que a função diferenciável \(y = f(x)\) é definida implicitamente pela equação \(x^2 + y^2 = 1\text{,}\) determine sua derivada \(\frac{dy}{dx}\text{.}\)
Solução.
Definimos \(F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0\text{.}\) Calculamos as derivadas parciais de \(F\text{:}\)
\begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial x} = 2x \quad \text{e} \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 2y\text{.} \end{equation*}
Aplicando a fórmula, temos:
\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = - \frac{2x}{2y} = - \frac{x}{y}, \quad y \neq 0\text{.} \end{equation*}

Subseção 3.6.2 Derivadas Parciais de \(z = f(x,y)\) definida por \(F(x,y,z) = 0\)

De maneira análoga, se uma função de duas variáveis \(z = f(x,y)\) é dada implicitamente pela equação \(F(x,y,z) = 0\text{,}\) podemos encontrar suas derivadas parciais.
Derivando a equação em relação a \(x\) (mantendo \(y\) constante) e usando a regra da cadeia:
\begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial x} \cdot 1 + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot 0 + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \implies \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\text{.} \end{equation*}
Seguindo o mesmo raciocínio para \(y\text{,}\) obtemos o par de fórmulas (válidas se \(\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0\)):
\begin{equation*} \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}} \quad \text{e} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.6.2. Superfície implícita.

Determine \(\frac{\partial z}{\partial x}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y}\) para a função \(z = f(x,y)\) definida por \(x^4y + y^3 + z^3 + z = 5\text{.}\)
Solução.
Definimos \(F(x,y,z) = x^4y + y^3 + z^3 + z - 5 = 0\text{.}\) As derivadas parciais de \(F\) são:
  • \(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} = 4x^3y\)
  • \(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} = x^4 + 3y^2\)
  • \(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial z} = 3z^2 + 1\)
Portanto, aplicando as fórmulas:
\begin{equation*} \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{4x^3y}{3z^2 + 1} \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{x^4 + 3y^2}{3z^2 + 1}\text{.} \end{equation*}

Subseção 3.6.3 Sistemas de Equações e Jacobianos

Quando temos duas equações definindo implicitamente duas variáveis, por exemplo, o sistema \(F(x,y,z) = 0\) e \(G(x,y,z) = 0\) definindo \(y = y(x)\) e \(z = z(x)\text{,}\) utilizamos a Regra de Cramer e determinantes chamados de Jacobianos.
O determinante Jacobiano de duas funções \(F\) e \(G\) em relação a duas variáveis, digamos \(y\) e \(z\text{,}\) é denotado e definido por:
\begin{equation*} \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)} = \det \begin{bmatrix} \frac{\partial F}{\partial y} \amp \frac{\partial F}{\partial z} \\ \frac{\partial G}{\partial y} \amp \frac{\partial G}{\partial z} \end{bmatrix}\text{.} \end{equation*}
Aplicando isso ao sistema, as derivadas são dadas por:
\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = - \frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}} \quad \text{e} \quad \frac{dz}{dx} = - \frac{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,x)}}{\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}}\text{.} \end{equation*}
Tudo isso é válido desde que o Jacobiano do denominador seja não nulo. As condições rigorosas para a existência dessas funções são garantidas pelo Teorema da Função Implícita.

Exercícios 3.6.4 Exercícios

Com base na Seção 4.7 de Derivação Implícita, resolva os seguintes exercícios.

Derivada Ordinária Implícita.

Supondo que a função diferenciável \(y = y(x)\) seja definida implicitamente pelas equações abaixo, determine \(\frac{dy}{dx}\text{.}\)
1.
\(9x^2 + 4y^2 = 36\)
Solução.
Defina \(F(x,y) = 9x^2 + 4y^2 - 36 = 0\text{.}\)
\(\frac{\partial F}{\partial x} = 18x\) e \(\frac{\partial F}{\partial y} = 8y\text{.}\)
\(\frac{dy}{dx} = - \frac{18x}{8y} = - \frac{9x}{4y}\) (para \(y \neq 0\)).
2.
\(2x^3 - 3y^2 - 5xy = 0\)
Solução.
Defina \(F(x,y) = 2x^3 - 3y^2 - 5xy = 0\text{.}\)
\(\frac{\partial F}{\partial x} = 6x^2 - 5y\) e \(\frac{\partial F}{\partial y} = -6y - 5x\text{.}\)
\(\frac{dy}{dx} = - \frac{6x^2 - 5y}{-6y - 5x} = \frac{6x^2 - 5y}{6y + 5x}\text{.}\)

Derivadas Parciais Implícitas.

Supondo que a função diferenciável \(z = f(x,y)\) é definida pela equação dada, determine \(\frac{\partial z}{\partial x}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y}\text{.}\)
3.
\(x^3y^2 + x^3 + z^3 - z = 1\)
Solução.
Seja \(F(x,y,z) = x^3y^2 + x^3 + z^3 - z - 1 = 0\text{.}\)
\(F_x = 3x^2y^2 + 3x^2\text{.}\)
\(F_y = 2x^3y\text{.}\)
\(F_z = 3z^2 - 1\text{.}\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{3x^2(y^2 + 1)}{3z^2 - 1}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{2x^3y}{3z^2 - 1}\text{.}\)
4.
\(x^2 + y^2 - z^2 - xy = 0\)
Solução.
Seja \(F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2 - xy = 0\text{.}\)
\(F_x = 2x - y\text{,}\) \(F_y = 2y - x\text{,}\) \(F_z = -2z\text{.}\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{2x - y}{-2z} = \frac{2x - y}{2z}\text{.}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{2y - x}{-2z} = \frac{2y - x}{2z}\text{.}\)
5.
\(xyz - x - y + z^2 = 3\)
Solução.
Seja \(F(x,y,z) = xyz - x - y + z^2 - 3 = 0\text{.}\)
\(F_x = yz - 1\text{,}\) \(F_y = xz - 1\text{,}\) \(F_z = xy + 2z\text{.}\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{yz - 1}{xy + 2z}\) e \(\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{xz - 1}{xy + 2z}\text{.}\)
6.
\(e^{xyz} + x^2y - z\ln(y) = 2\)
Solução.
Seja \(F(x,y,z) = e^{xyz} + x^2y - z\ln(y) - 2 = 0\text{.}\)
\(F_x = yz e^{xyz} + 2xy\text{.}\)
\(F_y = xz e^{xyz} + x^2 - \frac{z}{y}\text{.}\)
\(F_z = xy e^{xyz} - \ln(y)\text{.}\)
\(\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{yz e^{xyz} + 2xy}{xy e^{xyz} - \ln(y)}\text{.}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{xz e^{xyz} + x^2 - \frac{z}{y}}{xy e^{xyz} - \ln(y)}\text{.}\)

Derivação Implícita em Sistemas (Jacobianos).

Supondo que as funções diferenciáveis \(y = y(x)\) e \(z = z(x)\) sejam definidas implicitamente pelo sistema dado, determine \(\frac{dy}{dx}\) e \(\frac{dz}{dx}\text{.}\)
7.
\(\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 4 \\ x + y + z = 2 \end{cases}\)
Solução.
Sejam \(F = x^2 + y^2 + z^2 - 4\) e \(G = x + y + z - 2\text{.}\)
Calculamos os Jacobianos:
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)} = \det \begin{bmatrix} 2y \amp 2z \\ 1 \amp 1 \end{bmatrix} = 2y - 2z\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)} = \det \begin{bmatrix} 2x \amp 2z \\ 1 \amp 1 \end{bmatrix} = 2x - 2z\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,x)} = \det \begin{bmatrix} 2y \amp 2x \\ 1 \amp 1 \end{bmatrix} = 2y - 2x\text{.}\)
\(\frac{dy}{dx} = - \frac{2x - 2z}{2y - 2z} = - \frac{x - z}{y - z}\text{.}\)
\(\frac{dz}{dx} = - \frac{2y - 2x}{2y - 2z} = - \frac{y - x}{y - z}\text{.}\)
8.
\(\begin{cases} 2x^2 - y^2 = z \\ x + y = 2 \end{cases}\)
Solução.
Sejam \(F = 2x^2 - y^2 - z\) e \(G = x + y - 2\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)} = \det \begin{bmatrix} -2y \amp -1 \\ 1 \amp 0 \end{bmatrix} = (0) - (-1) = 1\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)} = \det \begin{bmatrix} 4x \amp -1 \\ 1 \amp 0 \end{bmatrix} = (0) - (-1) = 1\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,x)} = \det \begin{bmatrix} -2y \amp 4x \\ 1 \amp 1 \end{bmatrix} = -2y - 4x\text{.}\)
\(\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{1} = -1\text{.}\)
\(\frac{dz}{dx} = - \frac{-2y - 4x}{1} = 4x + 2y\text{.}\)

Sistemas Definindo Duas Variáveis (Funções de Duas Variáveis).

Determine as derivadas parciais de 1ª ordem das funções \(x = x(u,v)\) e \(y = y(u,v)\) definidas implicitamente pelo sistema dado.
9.
\(\begin{cases} x^3 + u^2 + y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 + v^2 = 0 \end{cases}\)
Solução.
Sejam \(F = x^3 + u^2 + y^2\) e \(G = x^2 + y^2 + v^2\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} = \det \begin{bmatrix} 3x^2 \amp 2y \\ 2x \amp 2y \end{bmatrix} = 6x^2y - 4xy\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)} = \det \begin{bmatrix} 2u \amp 2y \\ 0 \amp 2y \end{bmatrix} = 4uy\text{.}\)
\(\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{4uy}{6x^2y - 4xy} = - \frac{4u}{6x^2 - 4x}\) (se \(y \neq 0\)).
(As outras derivadas seguem o mesmo padrão: \(\frac{\partial x}{\partial v}\text{,}\) \(\frac{\partial y}{\partial u}\text{,}\) \(\frac{\partial y}{\partial v}\)).
10.
\(\begin{cases} x + u - v = 3 \\ y - 3uv + x^2 = 0 \end{cases}\)
Solução.
Sejam \(F = x + u - v - 3\) e \(G = y - 3uv + x^2\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} = \det \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \\ 2x \amp 1 \end{bmatrix} = 1\text{.}\)
\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)} = \det \begin{bmatrix} 1 \amp 0 \\ -3v \amp 1 \end{bmatrix} = 1\text{.}\)
\(\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{1}{1} = -1\text{.}\)
Podemos confirmar facilmente derivando diretamente \(x = 3 - u + v\text{,}\) o que dá \(\frac{\partial x}{\partial u} = -1\text{.}\)
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