Se \(f\) é uma função de duas variáveis, então, em geral, suas derivadas parciais de 1ª ordem, \(\frac{\partial f}{\partial x}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\text{,}\) são também funções de duas variáveis. Se as derivadas parciais dessas novas funções existirem, elas são chamadas de derivadas parciais de 2ª ordem de \(f\text{.}\)
Para uma função \(z = f(x,y)\text{,}\) existem quatro derivadas parciais de 2ª ordem. A partir da derivada \(\frac{\partial f}{\partial x}\text{,}\) obtemos:
Atenção à ordem: Na notação de subíndice (\(f_{xy}\)), a ordem de derivação é lida da esquerda para a direita (primeiro em \(x\text{,}\) depois em \(y\)). Na notação de fração (\(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)), a ordem operacional é da direita para a esquerda (primeiro em \(x\text{,}\) depois em \(y\)).
Subseção3.7.2O Teorema de Schwartz (Clairaut)
As derivadas \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) e \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) são chamadas de derivadas parciais mistas. Na maioria das funções práticas, essas derivadas são iguais. Essa igualdade é garantida pelo Teorema de Schwartz.
Teorema3.7.1.Teorema de Schwartz.
Seja \(z = f(x,y)\) uma função com derivadas parciais de 2ª ordem contínuas em um conjunto aberto \(A \subset \mathbb{R}^2\text{.}\) Então, para todo \((x_0, y_0) \in A\text{:}\)
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x_0, y_0)\text{.}
\end{equation*}
O Teorema de Schwartz pode ser generalizado para derivadas de ordem mais alta (3ª ordem, 4ª ordem, etc.). Se todas as derivadas em questão forem contínuas, a ordem da derivação não altera o resultado final (exemplo: \(f_{xxy} = f_{xyx} = f_{yxx}\)).
Subseção3.7.3Exemplos Resolvidos
Exemplo3.7.2.Derivadas de 2ª ordem de um polinômio.
Dada a função \(f(x,y) = x^3y + x^2y^4\text{,}\) determine suas derivadas parciais de 2ª ordem.
Para a derivada mista \(\frac{\partial^3 f}{\partial y^2 \partial x}\text{,}\) derivamos a primeira parcial \(f_x\) duas vezes em relação a \(y\text{:}\)
Teorema de Schwartz e Derivadas Mistas Específicas.
5.
Dada a função \(z = x \cos(xy)\text{,}\) verifique que \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\text{.}\)
\(z_x = \cos(xy) - xy\sin(xy)\) e \(z_y = -x^2\sin(xy)\text{.}\)
Calculando a mista a partir de \(z_x\text{:}\)\(\frac{\partial}{\partial y}(z_x) = -x\sin(xy) - x\sin(xy) - x^2y\cos(xy) = -2x\sin(xy) - x^2y\cos(xy)\text{.}\)
Calculando a mista a partir de \(z_y\text{:}\)\(\frac{\partial}{\partial x}(z_y) = -2x\sin(xy) - x^2y\cos(xy)\text{.}\)
Como os resultados são iguais, o Teorema de Schwartz é verificado.
6.
Verifique o Teorema de Schwartz para a função \(f(x,y) = \frac{y}{x^2+y^2}\text{.}\)
Agora, derivamos \(z_{yy}\) em relação a \(x\text{:}\)\(\frac{\partial}{\partial x}(z_{yy}) = \frac{4x(x^2+y^2)^2 - (2x^2-2y^2)2(x^2+y^2)(2x)}{(x^2+y^2)^4}\text{.}\)
Seja \(z = f(x,y)\) uma função com derivadas de 2ª ordem contínuas. Ela é dita uma função harmônica se satisfaz a equação \(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0\text{.}\) Mostre que a função \(z = e^x \sin y\) é harmônica.
