Seção 3.2 O Conceito de Diferenciabilidade
Para uma função de uma variável ser derivável, seu gráfico deve ser uma curva suave, sem pontos angulosos, possuindo uma única reta tangente em cada ponto. A ideia de diferenciabilidade para uma função de duas variáveis, \(f(x,y)\text{,}\) estende esse conceito: buscamos caracterizar a "suavidade" de seu gráfico.
Essa suavidade é traduzida pela existência de um único plano tangente em cada ponto \((x_0, y_0, f(x_0, y_0))\text{,}\) que funciona como uma "boa aproximação" da função nas proximidades de \((x_0, y_0)\text{.}\)
Relembrando o caso de uma variável, se \(f\) é derivável em \(x_0\text{,}\) a equação da reta tangente é \(y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\text{.}\) A definição de derivada pode ser reescrita como:
\begin{equation*}
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - [f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)]}{x - x_0} = 0\text{.}
\end{equation*}
Isso indica que, à medida que \(x\) se aproxima de \(x_0\text{,}\) a diferença entre a função \(f(x)\) e a reta tangente \(y\) aproxima-se de zero de uma forma mais rápida.
Para funções de duas variáveis, a mera existência das derivadas parciais não assegura a existência de um plano tangente. Se o plano tangente existir, ele será dado pela equação:
\begin{equation*}
h(x,y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)[x - x_0] + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)[y - y_0]\text{.}
\end{equation*}
Definição 3.2.1. Definição Formal.
Dizemos que a função \(f(x,y)\) é diferenciável no ponto \((x_0, y_0)\) se as derivadas parciais \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\) existem e se:
\begin{equation*}
\small
\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y) - \left[ f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)[x - x_0] + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)[y - y_0] \right]}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}} = 0\text{.}
\end{equation*}
A expressão no denominador, \(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}\text{,}\) representa a distância de \((x,y)\) a \((x_0, y_0)\text{.}\)
Teorema 3.2.2. Diferenciabilidade implica Continuidade.
Se \(f(x,y)\) é diferenciável no ponto \((x_0, y_0)\text{,}\) então \(f\) é contínua nesse ponto.
Exemplo 3.2.3. Diferenciabilidade de polinômios simples.
Prove que \(f(x,y) = x^2 + y^2\) é diferenciável em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Solução.
As derivadas parciais existem e são dadas por \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 2x_0\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 2y_0\text{.}\)
Substituindo no limite da definição, obtemos:
\begin{equation*}
\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{x^2 + y^2 - [x_0^2 + y_0^2 + 2x_0(x - x_0) + 2y_0(y - y_0)]}{\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}}\text{.}
\end{equation*}
O numerador se simplifica exatamente para \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2\text{.}\)
O limite torna-se \(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = 0\text{,}\) o que prova que a função é diferenciável em todo o \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Exemplo 3.2.4. Ponto anguloso na origem.
Verifique se \(f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}\) é diferenciável na origem.
Solução.
Calculando a derivada parcial em relação a \(x\) na origem pela definição:
\begin{equation*}
\lim_{x \to 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2}}{x}\text{.}
\end{equation*}
Os limites laterais são diferentes (\(1\) pela direita e \(-1\) pela esquerda), logo o limite não existe.
Como \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) não existe, a função não é diferenciável na origem.
Exemplo 3.2.5. Falta de continuidade.
Analise a função \(f(x,y) = \frac{x^2}{x^2+y^2}\) se \((x,y) \neq (0,0)\) e \(0\) se \((x,y) = (0,0)\text{.}\)
Solução.
Se \(x \to 0\) pelo eixo \(y\text{,}\) o limite é \(0\text{.}\) Se \(x \to 0\) pelo eixo \(x\text{,}\) o limite é \(1\text{.}\)
Como não existe o limite de \(f(x,y)\) quando \((x,y) \to (0,0)\text{,}\) a função não é contínua nesse ponto.
Pelo teorema estabelecido, como não é contínua, ela não é diferenciável na origem.
Exemplo 3.2.6. Derivadas parciais existem, mas não é diferenciável.
Analise a função \(f(x,y) = \frac{2y^3}{x^2+y^2}\) se \((x,y) \neq (0,0)\) e \(0\) na origem.
Solução.
As derivadas parciais na origem existem e valem \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 2\text{.}\)
Ao montar o limite da definição de diferenciabilidade, obtemos:
\begin{equation*}
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{2y^3}{x^2+y^2} - [0 + 0(x) + 2(y)]}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{-2x^2y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\text{.}
\end{equation*}
Aproximando-se pela reta \(y=x\text{,}\) o limite dá \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}\) Pelo eixo \(x\text{,}\) o limite é \(0\text{.}\)
Como o limite não existe, a função não é diferenciável na origem.
Subseção 3.2.1 Condição Suficiente para Diferenciabilidade
Como utilizar a definição com limites pode ser muito trabalhoso, utilizamos um critério prático.
Teorema 3.2.7. Condição Suficiente.
Se \(f(x,y)\) possui derivadas parciais \(\frac{\partial f}{\partial x}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\) em um conjunto aberto \(A\) que contém \((x_0, y_0)\) e se essas derivadas parciais são contínuas em \((x_0, y_0)\text{,}\) então \(f\) é diferenciável em \((x_0, y_0)\text{.}\)
Exemplo 3.2.8. Funções Polinomiais.
Verifique que \(f(x,y) = 3xy^2 + 4x^2y + 2xy\) é diferenciável em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Solução.As derivadas parciais são funções polinomiais e, portanto, são contínuas em todo o \(\mathbb{R}^2\text{.}\) Pela proposição, concluímos que funções polinomiais são diferenciáveis em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Exemplo 3.2.9. Funções Trigonométricas Compostas.
Verifique que \(f(x,y) = \sin(xy^2)\) é diferenciável em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Solução.As derivadas parciais são \(\frac{\partial f}{\partial x} = y^2 \cos(xy^2)\) e \(\frac{\partial f}{\partial y} = 2xy \cos(xy^2)\text{.}\) Como essas derivadas são contínuas em \(\mathbb{R}^2\text{,}\) a função \(f\) é diferenciável em todo o \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Exemplo 3.2.10. Funções Racionais.
Verifique onde \(f(x,y) = \frac{x}{x^2+y^2}\) é diferenciável.
Solução.As derivadas parciais são \(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}\text{.}\) Ambas são contínuas em todos os pontos do \(\mathbb{R}^2\text{,}\) exceto na origem. Logo, a função é diferenciável em \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\text{.}\)
Exercícios 3.2.2 Exercícios
Parte 1: Uso da Definição Formal.
Resolva utilizando a definição formal de diferenciabilidade.
1.
Usando a definição, verificar que a função \(f(x,y) = 2x^2 - y^2\) é diferenciável em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
2.
Usando a definição, verificar que a função \(f(x,y) = 2xy\) é diferenciável em \(\mathbb{R}^2\text{.}\)
Parte 2: Análise de Diferenciabilidade na Origem.
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem \((0,0)\text{:}\)
3.
\(f(x,y) = \sqrt{x^{2/3} + y^{2/3}}\text{.}\)
4.
\(f(x,y) = \frac{2x^5}{x^3+y^2}\) para \((x,y) \neq (0,0)\text{,}\) e \(0\) para \((x,y) = (0,0)\text{.}\)
5.
\(f(x,y) = x + y\text{.}\)
6.
\(f(x,y) = \frac{y^4 + 3x^2y^2 + 2yx^3}{(x^2+y^2)^2}\) para \((x,y) \neq (0,0)\text{,}\) e \(0\) para \((x,y) = (0,0)\text{.}\)
7.
\(f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2}\) para \((x,y) \neq (0,0)\text{,}\) e \(0\) para \((x,y) = (0,0)\text{.}\)
Parte 3: Identificação de Regiões de Diferenciabilidade.
Identifique a região de \(\mathbb{R}^2\) onde as funções dadas são diferenciáveis, utilizando o teorema da condição suficiente:
8.
\(f(x,y) = x^2y + xy^2\text{.}\)
9.
\(z = e^{xy^2}\text{.}\)
10.
\(z = \frac{xy^2}{x^2+y^2}\text{.}\)
