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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 4.1 Conceitos Fundamentais e Exercícios

Subseção 4.1.1 Extremos Absolutos (Globais)

A análise de máximos e mínimos de funções de várias variáveis é essencial para a resolução de diversos problemas de otimização, sejam eles de natureza geométrica, física ou econômica. Um valor extremo pode ocorrer no interior de uma região do domínio ou na sua fronteira.

Definição 4.1.1. Ponto de Máximo Absoluto.

Seja \(z=f(x,y)\) uma função de duas variáveis. Dizemos que o ponto \((x_0,y_0) \in D(f)\) é um ponto de máximo absoluto (ou global) de \(f\) se, para todo e qualquer ponto \((x,y) \in D(f)\text{,}\) a condição \(f(x,y) \le f(x_0,y_0)\) for satisfeita. O valor \(f(x_0,y_0)\) é chamado de valor máximo absoluto da função.

Exemplo 4.1.2. Máximo Absoluto Deslocado.

Determine o ponto de máximo absoluto e o valor máximo da função \(f(x,y) = 10 - 2(x-1)^2 - 3(y+2)^2\text{.}\)
Solução.
Sabemos que qualquer número real elevado ao quadrado resulta em um valor não negativo. Portanto, os termos \(2(x-1)^2\) e \(3(y+2)^2\) são sempre maiores ou iguais a zero.
Como esses termos estão sendo subtraídos de 10, o maior valor possível para a função ocorrerá exatamente quando as parcelas subtraídas forem iguais a zero. Isso acontece quando:
\begin{equation*} (x-1)^2 = 0 \implies x = 1 \end{equation*}
\begin{equation*} (y+2)^2 = 0 \implies y = -2 \end{equation*}
Logo, o ponto \((1, -2)\) é o ponto de máximo absoluto de \(f\text{.}\) O valor máximo da função é \(f(1, -2) = 10\text{.}\)

Definição 4.1.3. Ponto de Mínimo Absoluto.

De forma análoga, seja \(z=f(x,y)\) uma função de duas variáveis. Dizemos que \((x_0,y_0) \in D(f)\) é ponto de mínimo absoluto (ou global) de \(f\) se, para todo \((x,y) \in D(f)\text{,}\) tivermos \(f(x,y) \ge f(x_0,y_0)\text{.}\) O valor \(f(x_0,y_0)\) é chamado de valor mínimo absoluto da função.

Exemplo 4.1.4. Mínimo Absoluto de um Paraboloide Elíptico.

Encontre o mínimo absoluto da função \(g(x,y) = x^2 + (y-3)^2 - 5\text{.}\)
Solução.
Observando a estrutura da função, os termos quadrados \(x^2\) e \((y-3)^2\) assumem sempre valores maiores ou iguais a zero. A soma desses valores com \(-5\) resultará no menor valor possível quando ambos os quadrados se anularem.
Isso ocorre quando \(x = 0\) e \(y - 3 = 0 \implies y = 3\text{.}\)
Portanto, o ponto \((0, 3)\) é o ponto de mínimo absoluto. Avaliando a função nesse ponto, o valor mínimo absoluto obtido é \(g(0,3) = -5\text{.}\)

Subseção 4.1.2 Extremos Relativos (Locais)

Definição 4.1.5. Pontos de Máximo e Mínimo Locais.

Em muitas situações, um ponto pode não ser o maior ou menor de todo o domínio, mas sim o extremo de uma pequena vizinhança. Seja \(z=f(x,y)\) uma função de duas variáveis. Dizemos que:
  • a) \((x_0,y_0) \in D(f)\) é ponto de máximo relativo ou local de \(f\) se existir uma bola aberta (um disco) \(B((x_0,y_0);r)\) ao redor do ponto tal que \(f(x,y) \le f(x_0,y_0)\text{,}\) para todo \((x,y) \in B \cap D(f)\text{.}\)
  • b) \((x_0,y_0) \in D(f)\) é ponto de mínimo relativo ou local de \(f\) se existir uma bola aberta \(B((x_0,y_0);r)\) tal que \(f(x,y) \ge f(x_0,y_0)\) para todo \((x,y) \in B \cap D(f)\text{.}\)

Exemplo 4.1.6. Calha com Múltiplos Mínimos Locais.

Analise o comportamento dos pontos de mínimo da função \(h(x,y) = (x-2)^2 + \sin^2(y)\text{.}\)
Solução.
Para encontrar o valor mínimo dessa função, notamos que ela é a soma de duas parcelas não negativas. O menor valor possível será zero, que ocorre quando simultaneamente:
\begin{equation*} (x-2)^2 = 0 \implies x = 2 \end{equation*}
\begin{equation*} \sin^2(y) = 0 \implies \sin(y) = 0 \end{equation*}
A equação \(\sin(y) = 0\) possui infinitas soluções, dadas por \(y = k\pi\text{,}\) onde \(k\) é um número inteiro (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Dessa forma, a função apresenta infinitos pontos de mínimo (que são, neste caso, tanto locais quanto globais) posicionados nas coordenadas \((2, k\pi)\text{.}\) O gráfico assemelha-se a uma série de ondulações (vales) ao longo do eixo y.

Exercícios 4.1.3 Exercícios Propostos

Encontre os pontos de máximo e de mínimo globais das seguintes funções (caso existam), justificando com base na análise dos termos não negativos:

1.

\(z = 8 - (x+3)^2 - y^2\)

2.

\(z = 2x^2 + 5y^2 - 12\)

3.

\(z = -x^2 - y^2 + 6x - 4y + 10\) (Dica: complete os quadrados perfeitos)

4.

\(z = \sqrt{x^2 + (y-5)^2 + 4}\)

5.

\(z = e^{-(x^2+y^2)}\)

6.

\(z = |x-1| + |y+1| - 3\)
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