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Cálculo NII: notas de aula

Ricardo Machado

Seção 3.1 Derivadas Parciais

Nesta seção, apresentaremos o conceito de derivadas parciais para funções de várias variáveis. A ideia principal para derivar funções com duas ou mais variáveis é fazer uma análise considerando que apenas uma variável se modifica, enquanto todas as outras são mantidas constantes.
Para motivar este estudo, considere um parabolóide dado por \(z = 16 - x^2 - y^2\) e um plano \(y = 2\text{.}\) A intersecção destas superfícies resulta em uma curva \(C\) cuja equação é \(z = 12 - x^2\) (com \(y=2\)). A derivada parcial nos ajudará a calcular a inclinação da reta tangente a essa curva em um ponto específico.
Figura 3.1.1. Curva resultante da intersecção do parabolóide com um plano
Outro exemplo prático envolve curvas de nível da temperatura \(T = T(t, h)\text{,}\) onde \(t\) é o tempo e \(h\) é a altitude. Podemos nos perguntar como a temperatura varia em relação ao tempo mantendo a altitude fixa, ou como ela varia em relação à altitude em um instante de tempo fixo.

Subseção 3.1.1 Definição Formal e Notações

Definição 3.1.2.

Seja \(f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) uma função de duas variáveis \(z = f(x,y)\) e \((x_0, y_0) \in A\text{.}\)
A derivada parcial de \(f\) em relação a \(x\) no ponto \((x_0, y_0)\text{,}\) denotada por \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\text{,}\) é definida pelo limite:
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0} \end{equation*}
ou, equivalentemente, usando acréscimos (\(\Delta x \rightarrow 0\)):
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} \end{equation*}
se o limite existir.
Analogamente, a derivada parcial de \(f\) em relação a \(y\) no ponto \((x_0, y_0)\) é definida por:
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} \end{equation*}
se o limite existir.

Nota 3.1.3. Notações Alternativas.

Diversas notações são comumente utilizadas na literatura para representar as derivadas parciais de primeira ordem. Para a derivada em relação a \(x\text{:}\)
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x}; \quad \frac{\partial z}{\partial x}; \quad D_x f(x,y); \quad D_1 f(x,y); \quad f_x(x,y) \end{equation*}
E para a derivada em relação a \(y\text{:}\)
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y}; \quad \frac{\partial z}{\partial y}; \quad D_y f(x,y); \quad D_2 f(x,y); \quad f_y(x,y) \end{equation*}

Subseção 3.1.2 Como Calcular Derivadas Parciais

Na prática, podemos calcular as derivadas parciais usando as regras de derivação conhecidas para funções de uma variável. Para calcular \(\frac{\partial f}{\partial x}\text{,}\) tratamos a variável \(y\) como uma constante matemática e derivamos a função em relação a \(x\text{.}\) Da mesma forma, para calcular \(\frac{\partial f}{\partial y}\text{,}\) mantemos \(x\) constante e derivamos em relação a \(y\text{.}\)

Exemplo 3.1.4.

Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função \(f(x,y) = 2x^2y + 3xy^2 - 4x\text{.}\)
Solução.
Mantendo \(y\) constante e derivando em relação a \(x\text{:}\)
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x} = 4xy + 3y^2 - 4\text{.} \end{equation*}
Agora, mantendo \(x\) constante e derivando em relação a \(y\text{:}\)
\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2 + 6xy\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.1.5.

Calcule as derivadas parciais da função \(g(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 - 2}\text{.}\)
Solução.
Utilizando a regra da cadeia para funções de uma variável:
\begin{align*} \frac{\partial g}{\partial x} \amp = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 - 2)^{-1/2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 2)\\ \amp = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 - 2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 - 2}} \end{align*}
Analogamente para \(y\text{:}\)
\begin{equation*} \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 - 2}}\text{.} \end{equation*}

Exemplo 3.1.6.

Determine as derivadas parciais de 1ª ordem de \(z = \sin(2x + y)\text{.}\)
Solução.
\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial x} \amp = \cos(2x + y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x + y) = 2\cos(2x + y)\\ \frac{\partial z}{\partial y} \amp = \cos(2x + y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x + y) = \cos(2x + y) \end{align*}

Exemplo 3.1.7.

Seja a função definida por partes:
\begin{equation*} f(x,y) = \begin{cases} \frac{2xy}{3x^2+5y^2}, \amp \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, \amp \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{equation*}
Calcule \(\frac{\partial f}{\partial x}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\) na origem.
Solução.
Para calcular as derivadas parciais na origem, devemos obrigatoriamente usar a definição através do limite.
\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) \amp = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x,0) - f(0,0)}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{2x \cdot 0}{3x^2} - 0}{x} = 0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) \amp = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(0,y) - f(0,0)}{y} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot y}{5y^2} - 0}{y} = 0 \end{align*}

Exemplo 3.1.8.

Verifique se a função \(z = \ln(xy) + x + y\) satisfaz a equação \(x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial y} = x - y\text{.}\)
Solução.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
\begin{equation*} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{xy} + 1 = \frac{1}{x} + 1 \end{equation*}
\begin{equation*} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{xy} + 1 = \frac{1}{y} + 1 \end{equation*}
Substituindo na equação:
\begin{align*} x\left(\frac{1}{x} + 1\right) - y\left(\frac{1}{y} + 1\right) \amp = (1 + x) - (1 + y) = x - y \end{align*}
Portanto, a equação é satisfeita.

Subseção 3.1.3 Interpretação Geométrica

A interpretação geométrica das derivadas parciais está intimamente ligada às inclinações das retas tangentes às curvas de intersecção da superfície com planos coordenados paralelos.
Ao fixarmos \(y = y_0\text{,}\) a função \(f(x, y_0)\) representa uma curva \(C_1\) resultante da intersecção da superfície \(z = f(x,y)\) com o plano \(y = y_0\text{.}\) A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a esta curva \(C_1\) no ponto \(P = (x_0, y_0)\) é dada por:
\begin{equation*} \tan \alpha = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \end{equation*}
Figura 3.1.9. Interpretação geométrica da derivada parcial em relação a x
De maneira análoga, ao fixarmos \(x = x_0\text{,}\) obtemos uma curva \(C_2\text{.}\) A inclinação da reta tangente a \(C_2\) no ponto \(P\) é dada por:
\begin{equation*} \tan \beta = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \end{equation*}
Figura 3.1.10. Interpretação geométrica da derivada parcial em relação a y

Subseção 3.1.4 Derivadas Parciais de Funções com Mais de Duas Variáveis

O conceito se estende naturalmente para funções de \(n\) variáveis \(f(x_1, x_2, \dots, x_n)\text{.}\) Para encontrar a derivada parcial em relação a \(x_i\text{,}\) mantemos todas as outras \(n-1\) variáveis constantes e derivamos normalmente em relação a \(x_i\text{.}\)

Exemplo 3.1.11.

Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem da função \(f(x, y, z, t, w) = xyz \ln(x^2 + t^2 + w^2)\text{.}\)
Solução.
A função possui 5 variáveis, portanto, 5 derivadas parciais. Para calcular \(\frac{\partial f}{\partial x}\text{,}\) usamos a regra do produto e consideramos \(y, z, t, w\) constantes.
\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} \amp = xyz \cdot \frac{\partial}{\partial x}[\ln(x^2+t^2+w^2)] + \ln(x^2+t^2+w^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xyz)\\ \amp = xyz \cdot \frac{2x}{x^2+t^2+w^2} + yz \cdot \ln(x^2+t^2+w^2)\\ \amp = \frac{2x^2yz}{x^2+t^2+w^2} + yz \cdot \ln(x^2+t^2+w^2) \end{align*}

Exercícios 3.1.5 Lista de Exercícios

1.

Usando a definição de limites, calcule as derivadas parciais de 1ª ordem para \(z = 5xy - x^2\text{.}\)

2.

Usando a definição, encontre as derivadas parciais de \(f(x,y) = x^2 + y^2 - 10\text{.}\)

3.

Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem para \(f(x,y) = e^{x^2y}\text{.}\)

4.

Determine \(\frac{\partial f}{\partial x}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\) da função \(f(x,y) = x \cos(y - x)\text{.}\)

5.

Calcule as derivadas parciais de \(f(x,y) = xy^2 + xy + x^2y\text{.}\)

6.

Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem de \(z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\text{.}\)

7.

Determine as derivadas parciais de \(z = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\text{.}\)

8.

Calcule as derivadas parciais de \(g(x,y) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\text{.}\)

9.

Encontre as derivadas parciais de \(z = (x + y)e^{x + 2y}\text{.}\)

10.

Determine as derivadas parciais de \(z = \ln(x + y) - 5x\text{.}\)

11.

Calcule as derivadas parciais de \(z = \sqrt{xy} - xy\text{.}\)

12.

Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem para a função de três variáveis \(w = x^2y + xyz^2 + x^2z\text{.}\)

13.

Determine \(f_x, f_y, f_z\) para a função \(f(x,y,z) = x \sin(yz) + y \sin(xz)\text{.}\)

14.

Encontre as derivadas parciais da função de quatro variáveis \(h(u,v,w,t) = u^2 + v^2 - \ln(wt)\text{.}\)

15.

Verifique se a função \(z = \sin(x + y)\) satisfaz a equação diferencial parcial \(\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = 0\text{.}\)
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