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Seção 2.1 Limite: Conceito e Noção Intuitiva

Subseção 2.1.1 Função Contínua

Intuitivamente, uma função contínua em um ponto \(p\) de seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta "salto" em \(p\text{.}\)

Figura 2.1.1.

Observe que à medida que \(x\) se aproxima de \(p\text{,}\) seja pela direita ou pela esquerda, os valores de \(f(x)\) se aproximam do valor de \(f(p)\text{.}\) Diferente da função \(f(x)\text{,}\) isso não acontece para a função \(g(x)\) em \(p\text{,}\) pois neste ponto a função apresenta um "salto", \(g(x)\) não é contínua em \(p\text{.}\)

Definição 2.1.2.

Sejam \(f\) uma função real e \(p\in \mathbb{R}\text{.}\) Dizemos que \(f\) é contínua em \(p\) se, e somente se, para todo \(\epsilon>0\) dado, existe \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\) em \(D_f\text{,}\)

\begin{equation*} |x-p|\lt\delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|\lt\epsilon. \end{equation*}
Figura 2.1.3.
Observação 2.1.4.

Dizemos que \(f\) é contínua em \(A\subset D_f\) se \(f\) for contínua em cada ponto de \(A\text{.}\) Dizemos que \(f\) é uma função contínua, se \(f\) for contínua em cada ponto de seu domínio.

Subseção 2.1.2 Limite

Intuitivamente, dizer que o limite de \(f(x)\text{,}\) quando \(x\) tende a \(p\text{,}\) é igual a \(L\) que, simbolicamente, se escreve

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow p}f(x)=L \end{equation*}

significa que quando \(x\) tende a \(p\text{,}\) f(x) tende a \(L\text{.}\)

Exemplo 2.1.5.
Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule
\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 2} 3x-1\text{.} \end{equation*}
Figura 2.1.6.
Exemplo 2.1.7.
Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule
\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}\text{.} \end{equation*}
Definição 2.1.8.

Sejam \(f\) uma função e \(p\) um ponto do domínio de \(f\) ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de \(f\text{.}\) Dizemos que \(f\) tem limite \(L\text{,}\) em \(p\text{,}\) se, para todo \(\epsilon>0\) dado, existir um \(\delta>0\) tal que, para todo \(x\in D_f\text{,}\)

\begin{equation*} 0\lt|x-p|\lt\delta \Rightarrow |f(x)-L|\lt \epsilon. \end{equation*}

Tal número \(L\text{,}\) quando existe é único e será indicado por

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow p} f(x). \end{equation*}
Observação 2.1.9.

Sejam \(f\) uma funçaõ real e \(p\) um ponto do domínio de \(f\text{.}\) Então, \(f\) é contínua em \(p\) se, e somente se, \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p).\)

Exemplo 2.1.10.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 3} 5x-2. \end{equation*}
Exemplo 2.1.11.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x-2}. \end{equation*}
Exemplo 2.1.12.

Calcule \(\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\text{,}\) na qual

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, \amp x\neq 2 \\ 3, \amp x =2. \end{cases} \end{equation*}
Exemplo 2.1.14.

Calcule

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2} (x^3+1)\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{x-3}\)

Exercícios 2.1.3 Exercícios

1.

Esboce o gráfico da função

\begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-x, \mbox{se} ~ x\lt 1 \\ x-1, \amp \mbox{se} ~ 1\leq x\lt 3\\ (x-3)^2, \amp \mbox{se} ~ 3\leq x \end{array} \right.. \end{equation*}

Considerando o gráfico de \(f\text{,}\) determine o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê.

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}f(x)\)
2.

Dado que

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow -2}f(x)=3, ~ ~ \lim_{x\rightarrow -2}g(x)=-1, ~ ~ \lim_{x\rightarrow -2}h(x)=0, \end{equation*}

determine, usando as propriedades de limites, o limite.

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}[f(x)+2g(x)]\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}[f(x)]^2\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}\sqrt{f(x)-g(x)}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}\dfrac{2f(x)}{3g(x)}\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}\dfrac{g(x)h(x)}{f(x)}\)
3.

Calcule o limite, se existir.

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+x-6}{x-2}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -4}\frac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-4x}{x^2-3x-4}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow -3}\frac{t^2-9}{2t^2+7t+3}\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}\)
  6. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2}{x^3+8}\)
  7. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)
  8. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}\)
  9. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+2x+1}{x^4-1}\)
  10. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -4}\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{4+x}\)
  11. \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2+t}\right)\)
  12. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 16}\frac{4-\sqrt{x}}{16x-x^2}\)
  13. \(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h}\)
  14. \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\left(\frac{1}{t\sqrt{1+t}}-\frac{1}{t}\right)\)
  15. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -4}\frac{\sqrt{x^2+9}-5}{x+4}\)