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Seção 3.4 Derivada da Função Composta, Derivada de Função Implícita e Inversa

Subseção 3.4.1 Notação de Leibniz

Observação 3.4.1.

Seja \(y = f(x)\text{.}\)

\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. \end{equation*}

Fazendo \(\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)\text{,}\) temos

\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}. \end{equation*}
Figura 3.4.2.

A notação \(\frac{dy}{dx}\bigl\vert_{x=x_0}\) é usada para indicar \(f'(x_0)\text{.}\)

Na notação de Leibniz, a derivada de \(y = f(x)\text{,}\) em \(x\) é indicada por \(\frac{df}{dx}(x)\text{.}\)

Subseção 3.4.2 Derivada da Função Composta

Supondo \(g(t)\neq g(t_0)\text{.}\) Por hipótese \(f\) e \(g\) são deriváveis, e portanto contínuas, quando \(t\rightarrow t_0\text{,}\) \(g(t)\rightarrow g(t_0)\) e a igualdade \(h(t) = f(g(t))\) implica na existência de \(\lim_{t\rightarrow t_0} \dfrac{f(g(t))-f(g(t_0))}{t-t_0}\text{.}\) Portanto \(f(g(t))\) é derivável. Além disso,

\begin{align*} (f\circ g)'(t_0) =\amp~ \lim_{t\rightarrow t_0} \dfrac{f(g(t))-f(g(t_0))}{t-t_0}\\ =\amp~\lim_{t\rightarrow t_0} \dfrac{f(g(t))-f(g(t_0))}{g(t)-g(t_0)}\cdot \dfrac{g(t)-g(t_0)}{t-t_0}\\ =\amp~\lim_{t\rightarrow t_0} \dfrac{f(g(t))-f(g(t_0))}{g(t)-g(t_0)}\cdot \lim_{t\rightarrow t_0}\dfrac{g(t)-g(t_0)}{t-t_0}\\ =\amp~f'(g(t_0))\cdot g'(t_0). \end{align*}
Exemplo 3.4.4.

Calcule \(f'(x)\text{,}\) sendo

  1. \(\displaystyle f(x) = (3x^2+1)^3\)
  2. \(\displaystyle f(x) = \cos(3x)\)
  3. \(\displaystyle f(x) = \ln(x^2+3)\)
  4. \(\displaystyle f(x) = x^2e^{3x}\)
Exemplo 3.4.5.

Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) uma função derivável e seja \(g(x)=f(cos(x))\text{.}\) Calcule \(g'\left( \dfrac{\pi}{3}\right)\) supondo \(f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=4\text{.}\)

Exemplo 3.4.6.

Seja \(y = xe^{-2x}\text{.}\) Verifique que

\begin{equation*} \frac{d^2y}{dx^2} + 4 \frac{dy}{dx} +4y = 0. \end{equation*}

Subseção 3.4.3 Derivada de Função Dada Implicitamente

Definição 3.4.7.

Uma função está escrita na forma explícita quando a variável \(y=f(x)\) está de uma lado da igualdade e do outro lado os termos em \(x\text{.}\) Caso contrário, a função está escrita na forma implícita.

Exemplo 3.4.8.

Função na forma explícita. \(f:\mathbb{R}\setminus\{-2\} \rightarrow \mathbb{R}\text{,}\) com \(y = f(x)\text{,}\) dada por:

\begin{equation*} y = \frac{3+x}{x+2} \end{equation*}

Forma implícita da função:

\begin{equation*} xy+2y-x=3 \end{equation*}
Exemplo 3.4.9.

Calcule a derivada da função

\begin{equation*} y = \frac{3+x}{x+2}\text{.} \end{equation*}
Solução
\begin{equation*} y' = \frac{1\cdot (x+2)-(3+x)\cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{-1}{(x+2)^2}\text{.} \end{equation*}
Exemplo 3.4.10.

Calcule a função

\begin{equation*} y = \frac{3+x}{x+2} \end{equation*}

na forma implícita:

\begin{equation*} xy+2y-x=3 \text{.} \end{equation*}
Solução

Para derivar a função na forma implícita, a função \(y\) deve ser vista como função de \(x\text{,}\) ou seja, como \(y(x)\text{,}\) assim:

\begin{equation*} x\cdot y(x)+2\cdot y(x)-x=3 \end{equation*}

E aplicamos as regras da soma e do produto:

\begin{equation*} x\cdot y(x)+2\cdot y(x)-x=3 \Rightarrow \end{equation*}
\begin{equation*} (x\cdot y(x)+2\cdot y(x)-x)'=(3)'\Rightarrow \end{equation*}
\begin{equation*} (x\cdot y(x))'+(2\cdot y(x))'+(-x)')=0 \Rightarrow \end{equation*}
\begin{equation*} \overbrace{1\cdot y(x) + x\cdot y'(x)}^{\text{regra do produto}} +2\cdot y'(x) - 1 = 0 \Rightarrow \end{equation*}
\begin{equation*} x\cdot y'(x) +2\cdot y'(x) = 1-y(x) \Rightarrow \end{equation*}
\begin{equation*} y'(x)\cdot(x+2) = 1-y(x) \Rightarrow \end{equation*}
\begin{equation*} y' = \frac{1-y}{x+2} ~~~ (*) \end{equation*}

Como \(y = \dfrac{3+x}{x+2}\text{,}\) substituindo em \((*)\text{,}\) temos:

\begin{equation*} y' = \frac{1-y}{x+2} = \frac{1-\frac{3+x}{x+2}}{x+2} = \frac{(x+2)-(3+x)}{(x+2)^2} = \frac{-1}{(x+2)^2} \end{equation*}
Exemplo 3.4.11.

Expresse \(\frac{dy}{dx}\) em termos de \(x\) e de \(y\text{,}\) na qual \(y=f(x)\) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

  1. \(\displaystyle xy^2+2y=3\)
  2. \(\displaystyle y^5+y=x\)
  3. \(\displaystyle xe^y+xy=3\)
Resposta

a) \(-\dfrac{y^{2}}{2 \, {\left(x y + 1\right)}}\)

b) \(\dfrac{1}{5 \, y^{4} + 1}\)

c) \(-\dfrac{y + e^{y}}{x e^{y} + x}\)

Tecnologia 3.4.12.
Podemos utilizar o SageMath para calcular derivada de função dada implicitamente. Para a equação \(xy^2+2y=3\text{,}\) use o código a seguir

Subseção 3.4.4 Derivada da Função Inversa

Como \(f\) é inversível e derivável em \(x\text{,}\) com \(f'(x)\neq0\text{,}\) sabemos que

\begin{equation*} y=f(x) \Rightarrow \frac{dy}{dx} = (f(x))' \end{equation*}

e

\begin{equation*} f^{-1}(y)=f^{-1}\left(f(x)\right) \Rightarrow x=f^{-1}(y) \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \left(f^{-1}(y)\right)'. \end{equation*}

Como

\begin{equation*} f^{-1}\left(f(x)\right) = x, \end{equation*}

derivando esta última identidade em relação a \(x\) e usando a regra da cadeia, obtemos:

\begin{equation*} (f^{-1}(\underbrace{f(x)}_{=y}))'\cdot f'(x) = 1 \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation*} (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}. \end{equation*}
Exemplo 3.4.14.

Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) uma função definida por

\begin{equation*} f(x) = x^5+5x^3+2x-4. \end{equation*}

Encontre a derivada de \(f^{-1}\) no ponto \(f(1)\text{.}\)

Solução

Como \(f' = {5x^4+15x^2+2}\text{,}\) temos que \(f\) é uma função crescente, portanto \(f\) é sobrejetiva. Dessa forma, como \(f(1) = 4\text{,}\) temos

\begin{equation*} (f^{-1})'(f(1)) = (f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{22}. \end{equation*}
Exemplo 3.4.15.

Calcule \(\text{arcsen}'(y)\text{,}\) com \(y\in \left[ -1, 1 \right]\text{.}\)

Solução

Observe que \(\text{arcsen}(y)\) é contínua e é a inversa de \(y = \text{sen}(x)\text{,}\) \(x\in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]\text{.}\) Então \(\text{arcsen}(y)=x\) e

\begin{equation} y'=\cos(x) \Rightarrow y'=\cos(\text{arcsen}(y)).\label{eq-arcsen0}\tag{3.4.1} \end{equation}

Derivando a igualdade: \(\text{arcsen}(y)=x\text{,}\) obtemos

\begin{align*} (\text{arcsen}(y))'=\amp~ x'\\ (\text{arcsen}'(y))\cdot y'=\amp~ 1\\ \text{arcsen}'(y)=\amp~ \frac{1}{y'} \end{align*}

Usando a Igualdade (3.4.1), obtemos

\begin{equation} \text{arcsen}'(y)= \frac{1}{\cos(\text{arcsen}(y))}.\label{eq-arcsen}\tag{3.4.2} \end{equation}

Sabemos que \(\cos(a)^2 + \text{sen}(a)^2 = 1.\) Para \(a = \text{arcsen}(y)\text{,}\) temos

\begin{equation*} \cos^2(\text{arcsen}(y)) + \underbrace{\text{sen}^2(\text{arcsen}(y))}_{y^2} = 1. \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation} \cos^2(\text{arcsen}(y)) = 1 -y^2 \Rightarrow \cos(\text{arcsen}(y)) = \sqrt{1 -y^2}. \label{eq-arcsen2}\tag{3.4.3} \end{equation}

Substituindo (3.4.3) em (3.4.2) temos

\begin{equation*} \text{arcsen}'(y) = \frac{1}{\cos(\text{arcsen}(y))} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}, ~~~ -1\lt y\lt1. \end{equation*}
Exemplo 3.4.16.

Determine a derivada.

  1. \(\displaystyle y = \text{arcsen}(x^2)\)
  2. \(\displaystyle y = \text{arctan}(x)\)

Exercícios 3.4.5 Exercícios

1.

Para cada função \(h\) determine \(f\) e \(g\) tais que \(h(x)=f(g(x))\text{.}\) Depois use a regra da cadeia para calcular a derivada de \(h\text{.}\)

  1. \(\displaystyle h(x) = sen(4x)\)
  2. \(\displaystyle h(x) = \sqrt{4+3x}\)
  3. \(\displaystyle h(x) = (1-x^{2})^{100}\)
  4. \(\displaystyle h(x) = tg(sen(x))\)
  5. \(\displaystyle h(x) = sen(e^{x})\)
  6. \(\displaystyle h(x) = e^{\sqrt{x}}\)
  7. \(\displaystyle h(x) = (x^{3}+4x)^{7}\)
  8. \(\displaystyle h(x) = (x^{2}-x+1)^{3}\)
  9. \(\displaystyle h(x) = \sqrt[3]{1+tg(x)}\)
  10. \(\displaystyle h(x) = \sqrt[4]{1+2x+x^{3}}\)
2.

Encontre a derivada das seguintes funções.

  1. \(\displaystyle f(x)= xe^{3x}\)
  2. \(\displaystyle f(x)= e^{-x}sen(x)\)
  3. \(\displaystyle f(x)= e^{x}\cos(2x)\)
  4. \(\displaystyle f(t)= e^{-2t}sen{3t}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}} + \ln(2x+1)\)
  6. \(\displaystyle f(t)= \frac{e^{t}-e^{-t}}{e^{t}+e^{-t}}\)
  7. \(\displaystyle f(x)= \frac{cos(5x)}{sen(2x)}\)
  8. \(\displaystyle f(x)= (e^{-x}+e^{x^{2}})^{3}\)
  9. \(\displaystyle f(t)= t^{3}e^{-3t}\)
  10. \(\displaystyle f(x)= e^{x^{2}}\ln(1+\sqrt{x})\)
  11. \(\displaystyle f(x)= (sen(3x)+cos(2x))^{3}\)
  12. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{e^{x}+e^{-x}}\)
  13. \(\displaystyle f(x)= \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\)
  14. \(\displaystyle f(x)= \sqrt{x^{2}+e^{\sqrt{x}}}\)
  15. \(\displaystyle f(x)= x\ln(2x+1)\)
  16. \(\displaystyle f(t)= [\ln(t^{2}+1)]^{3}\)
  17. \(\displaystyle f(x)= \ln(\sec(x)+ tg(x))\)
  18. \(\displaystyle f(x)= cos^{3}(x^{3})\)
  19. \(\displaystyle f(x)= \frac{cos(x)}{sen^{2}(x)}\)
  20. \(\displaystyle f(t)= \frac{te^{2t}}{\ln(3t+1)}\)
  21. \(\displaystyle f(x)= \ln(tg(e^{x})+1)\)
3.

Expresse \(\frac{dy}{dx}\) em termos de \(x\) e \(y\text{,}\) onde \(y=f(x)\) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação

  1. \(\displaystyle x^{2}-y^{2}=4\)
  2. \(\displaystyle xy^{2}+2y=3\)
  3. \(\displaystyle y^{3}+x^{2}y = x+4\)
  4. \(\displaystyle y^{5}+y=x\)
  5. \(\displaystyle x^{2}+4y^{2}=3\)
  6. \(\displaystyle xy+y^{3}=x\)
  7. \(\displaystyle x^{2}+y^{2}+2y=0\)
  8. \(\displaystyle x^{2}y^{3}+xy=2\)
  9. \(\displaystyle xe^{y}+xy=3\)
  10. \(\displaystyle y+\ln(x^{2}+y^{2})=4\)
  11. \(\displaystyle 5y+cos(y)=xy\)
  12. \(\displaystyle 2y+sen(y)=x\)
  13. \(\displaystyle y^{5}+x^{2}y^{3}= 1+ye^{x^{2}}\)
  14. \(\displaystyle x^{2}y^{2}+xsen(y)=4\)
  15. \(\displaystyle 1+x=sen(xy^{2})\)
  16. \(\displaystyle ysen(x^{2})=xsen(y^{2})\)
  17. \(\displaystyle 4cos(x)sen(y)=1\)
  18. \(\displaystyle e^{x^{2}y}=xy\)
  19. \(\displaystyle \sqrt{x+y}=1+x^{2}y^{2}\)
  20. \(\displaystyle tg(x-y)=\frac{y}{1+x^{2}}\)
  21. \(\displaystyle \sqrt{xy}=1+x^{2}y\)
  22. \(\displaystyle xy=cotg(xy)\)
  23. \(\displaystyle x^{2}+y^{2}=(2x^{2}+2y^{2}-x)^{2}\)
4.

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.

  1. \(\displaystyle y=\arctan(\sqrt{x})\)
  2. \(\displaystyle y=\sqrt{\arctan(x)}\)
  3. \(\displaystyle y=\arcsin(2x+1)\)
  4. \(\displaystyle h(x)=\sqrt{1-x^{2}}\arcsin(x)\)
  5. \(\displaystyle H(x)=(1+x^{2})\arctan(x)\)
  6. \(\displaystyle y=\arctan(x-\sqrt{1+x^{2}}\)
  7. \(\displaystyle y=x\arccos(x)-\sqrt{1-x^{2}}\)
  8. \(\displaystyle y=\arccos(e^{2x})\)
  9. \(\displaystyle y=\arctan(\cos(x))\)