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Seção 2.2 Limites Laterais

Subseção 2.2.1 Limites Laterais

Definição 2.2.1.

Seja \(f\) uma função real. Quando for possível aproximar de arbitrariamente de \(L\text{,}\) os valores de \(f(x)\text{,}\) à medida que \(x\) tende a \(p\) por valores menores que \(p\text{,}\) dizemos que o limite de \(f(x)\) pela esquerda, quando \(x\) tende a \(p\) é \(L\) e indicamos por

\begin{equation*} \lim_{x\to p^{-}}f(x)=L \end{equation*}

Similarmente, dizemos que o limite de \(f(x)\) pela direita, quando \(x\) tende a \(p\) é \(L\) e denotamos por

\begin{equation*} \lim_{x\to p^{+}}f(x)=L, \end{equation*}

quando for possível aproximar de arbitrariamente de \(L\text{,}\) os valores de \(f(x)\text{,}\) à medida que \(x\) tende a \(p\) por valores maiores que \(p\text{.}\)

Exemplo 2.2.2.

Dada a função \(f(x)=\dfrac{|x-2|}{x-2}\) determine:

(a)

\(\displaystyle\lim_{x\to 2^{-}}f(x)\)

Solução

Nota-se no gráfico de \(f\) (ver Figura 2.2.3) que quando \(x\) tende a \(2\) pela esquerda, os valores de \(f(x)\) tendem a \(-1\text{.}\) Portanto, o limite pela esquerda é

\begin{equation*} \lim_{x\to 2^{-}}\frac{|x-2|}{x-2}=-1. \end{equation*}

Figura 2.2.3.

(b)

\(\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x)\)

Solução

Nota-se no gráfico de \(f\) (ver Figura 2.2.3) que quando \(x\) tende a \(2\) pela direita, os valores de \(f(x)\) tendem a \(1\text{.}\) Portanto, o limite pela direita é

\begin{equation*} \lim_{x\to 2^{+}}\frac{|x-2|}{x-2}=1. \end{equation*}

Podemos reformular o Teorema 2.2.4 escrevendo:

Existência de um Limite.

  • Se qualquer um dos limites laterais não existir quando \(x\) tende a \(p\text{,}\) ou se ambos existem, mas forem diferentes, então o limite quando \(x\) tende a \(p\) não existe.

  • Se o limite quando \(x\) tende a \(p\) não existe, então os limites laterais são diferentes ou pelo menos um deles não existe.

Exemplo 2.2.5.

Para \(f(x)=\begin{cases} x^2-\frac{1}{2} \amp \text{se } x \lt 1\\ x-1 \amp \text{se } x \ge 1 \end{cases}\) determine:

(a)

\(\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)\)

Solução

Por definição, se \(x\lt 1\text{,}\) temos \(f(x)=x^2-\frac{1}{2}\text{.}\) Na Figura 2.2.6 observa-se que \(f(x)\) tende a \(\frac{1}{2}\) quando \(x\) tende a 1 pela esquerda. Portanto,

\begin{equation*} \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\frac{1}{2} \end{equation*}

Figura 2.2.6.

(b)

\(\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)\)

Solução

Por definição, se \(x\ge 1\text{,}\) temos \(f(x)=x-1\text{.}\) Na Figura 2.2.6 observa-se que \(f(x)\) tende a 0 quando \(x\) tende a 1 pela direita. Portanto,

\begin{equation*} \displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=0. \end{equation*}
(c)

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\) existe?

Solução

Os limites à esquerda e à direita de 1 são diferentes. Isso contraria regra de Existência de um Limite. Portanto, o limite de \(f(x)\) quando \(x\) tende a 1 por ambos os lados não existe.

Exemplo 2.2.7.

Seja \(f(x)= 2 + |5x-1|\text{.}\) Encontre \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{5}}f(x)\text{.}\)

Solução

Observe que a formação de \(f\) envolve módulo. Então, podemos transformar-lá em uma função definida em duas sentenças. Para isso, note que \(5x-1\gt 0\) quando \(x\gt \frac{1}{5} \text{,}\) daí \(|5x-1|=5x-1\text{.}\) Por outro lado, \(5x-1\le 0\) quando \(x\le \frac{1}{5}\text{,}\) daí \(|5x-1|=-(5x-1)\text{.}\) Portanto, podemos escrever

\begin{equation*} f(x)= 2 + |5x-1|=\begin{cases} 1 + 5x \amp \text{se } x\ge \frac{1}{5}\\ 3 - 5x\amp \text{se } x\lt \frac{1}{5} \end{cases}. \end{equation*}

Dessa forma, quando \(x\ge \frac{1}{5}\text{,}\) \(f(x)\) assume \(1 + 5x\) e quando \(x\lt \frac{1}{5}\text{,}\) \(f\) assume \(3 - 5x\text{.}\) Na Figura 2.2.8 observa-se que \(\displaystyle\lim_{x\to \frac{1}{5}^{-}}f(x)=2\) e que \(\displaystyle\lim_{x\to \frac{1}{5}^{+}}f(x)=2\text{.}\) Logo, segue do Teorema 2.2.4 que \(\displaystyle\lim_{x\to \frac{1}{5}}f(x)=2.\)

Figura 2.2.8.

Subseção 2.2.2 Limite de Função Composta

Exemplo 2.2.10.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1} \sqrt{\frac{x^2-1}{x-1}} \end{equation*}
Solução

Seja \(u=\frac{x^2-1}{x-1}\text{,}\) para \(x>-1, x\neq 1\text{,}\) então

\begin{equation*} \sqrt{\frac{x^2-1}{x-1}}=\sqrt{u}. \end{equation*}

Como \(\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}=2\) e \(g(u)=\sqrt{u}\) é contínua em \(2\text{.}\) Assim,

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1}\sqrt{\frac{x^2-1}{x-1}} = \lim_{u\rightarrow 2}\sqrt{u}=\sqrt{2}. \end{equation*}
Exemplo 2.2.11.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1} \frac{(3-x^3)^4-16}{x^3-1} \end{equation*}
Solução

Defina \(u=3-x^3\text{,}\) logo

\begin{equation*} \frac{(3-x^3)^4-16}{x^3-1} = \frac{u^4-16}{2-u}, \end{equation*}

com \(u=3-x^3, x\neq 1\text{.}\)

Quando \(x\rightarrow 1\text{,}\) \(u\rightarrow 2\text{.}\) Então,

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 1} \frac{(3-x^3)^4-16}{x^3-1} =\amp~\lim_{u\rightarrow 2}\frac{u^4-16}{2-u}\\ =\amp~\lim_{u\rightarrow 2}\frac{(u-2)(u+2)(u^2+4)}{2-u}\\ =\amp~-\lim_{u\rightarrow 2}(u+2)(u^2+4)\\ =\amp~-32 \end{align*}

Exercícios 2.2.3 Exercícios

1.

Calcule o limite, se existir. Se o limite não existir, explique porquê.

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}(2x+|x-3|)\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -6}\frac{2x+12}{|x+6|}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}^-}\frac{2x-1}{|2x^3-x^2|}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -2}\frac{2-|x|}{2+x}\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\)
  6. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)\)
2.

Seja

\begin{equation*} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 4-x^2, \amp \mbox{se} ~ x\leq 2\\ x-1, \amp \mbox{se} ~ x>2 \end{array}\right. \end{equation*}
  1. Calcule \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^-}f(x)\) e \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^+}f(x).\)
  2. Existe \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)?\)
  3. Esboce o gráfico de \(f.\)
3.

Seja

\begin{equation*} F(x)=\dfrac{x^2-1}{|x-1|}. \end{equation*}
  1. Calcule \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^+}F(x)\) e \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^-}F(x)\)
  2. Existe \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}F(x)?\)
  3. Esboce o gráfico de \(F.\)
4.

Calcule

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1} \sqrt[3]{\frac{x^3+1}{x+1}}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2-1}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x^2-1}\)