[skip-to-content]

Seção 2.5 O número \(e\)

A demonstração consiste em provar que a sequência \(a_n\) é crescente e que é limitada, ou seja, ela converge para um valor maior que 2 e menor que 3.

Para ver uma demonstração veja a página \(119\) de [5.1]

Para mostrar este resultado, usaremos o Teorema 2.5.1, ou seja, vamos usar que

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right)^n = e. \end{equation*}

Note que, para cada \(x\in \mathbb{R}\text{,}\) existe \(n\in \mathbb{N}\text{,}\) tal que \(n\leq x\lt n+1\text{.}\) Observe que

\begin{equation*} n\leq x\lt n+1 \Rightarrow \frac{1}{n}\geq \frac{1}{x}> \frac{1}{n+1} \Rightarrow 1+\frac{1}{n}\geq 1+\frac{1}{x}> 1+\frac{1}{n+1}. \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}> \left(1+\frac{1}{x}\right)^x> \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n.\label{eq-exp_demo}\tag{2.5.1} \end{equation}

Como

\begin{equation*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{n+1}{n} \end{equation*}

e

\begin{equation*} \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n = \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}, \end{equation*}

A equação (2.5.1) é equivalente a

\begin{equation*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{n+1}{n}> \left(1+\frac{1}{x}\right)^x> \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}. \end{equation*}

Pelo Teorema do Confronto, como

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\frac{n+1}{n} = e = \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}, \end{equation*}

concluímos que

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^x = e. \end{equation*}
Exemplo 2.5.3.

Mostre que

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^x = e. \end{equation*}
Solução

Defina \(x = -(u+1), u>0\text{,}\) daí

\begin{equation*} \left(1+\frac{1}{x} \right)^x = \left( 1-\frac{1}{1+u} \right)^{-u-1} = \left( 1+\frac{1}{u} \right)^u\cdot \frac{u+1}{u}. \end{equation*}

Note que \(x\rightarrow -\infty \Rightarrow u\rightarrow +\infty\text{.}\) Portanto,

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^x = \lim_{u\rightarrow +\infty}\left( 1+\frac{1}{u} \right)^u\cdot \frac{u+1}{u} = e. \end{equation*}
Exemplo 2.5.4.

Mostre que

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e;\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e.\)
Solução

item a) Defina \(u = \frac{1}{x}\text{.}\) Assim, \(x\rightarrow 0^+ \Rightarrow u\rightarrow +\infty\text{.}\) Portanto,

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{u\rightarrow +\infty} \left(1+\frac{1}{u} \right)^u=e. \end{equation*}

item b) Defina \(u = \frac{1}{x}\text{.}\) Assim, \(x\rightarrow 0^- \Rightarrow u\rightarrow -\infty\text{.}\) Portanto,

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^-} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{u\rightarrow -\infty} \left(1+\frac{1}{u} \right)^u=e. \end{equation*}
Exemplo 2.5.5.

Mostre que

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}=1. \end{equation*}
Solução

Defina \(u=e^x-1\text{,}\) logo \(x = \ln{(1+u)}\text{.}\) Portanto

\begin{equation*} \frac{e^x-1}{x} = \frac{u}{\ln{(1+u)}}=\frac{1}{\ln{(1+u)^{\frac{1}{u}}}} \end{equation*}

Note que \(x\rightarrow 0 \Rightarrow u\rightarrow 0\text{.}\) Assim, pelo Exemplo 2.5.4,

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x} =\overbrace{\lim_{u\rightarrow 0}\frac{1}{\ln{(1+u)^{\frac{1}{u}}}} = \frac{1}{\ln{e}}}=1. \end{equation*}

Exercícios 2.5.1 Exercícios

1.

Calcule

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{2}{x} \right)^x\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x+2}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{2x} \right)^x\)
  4. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{2}{x} \right)^{x+1}\)
  5. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{x+2}{x+1} \right)^x\)
  6. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+2x \right)^x\)
  7. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+2x \right)^\frac{1}{x}\)
  8. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{x} \right)^{2x}\)