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Seção 4.4 Esboço de Gráficos

Subseção 4.4.1 Roteiro Base para Esboço de Gráficos

Juntando todo o conteúdo do curso, elaboramos um roteiro para ajudar no esboço do gráfico de funções reais. Além desse roteiro, podemos adicionar o estudo de assíntotas (Subseção 4.4.2) e de máximos e mínimos (Subseção 4.4.3) para obter um esboço de melhor qualidade.

Roteiro para o esboço do gráfico de uma função.
  1. Verificar o domínio (maior subconjunto de \(\mathbb{R}\) que a função está bem definida)
  2. Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento
  3. Estudar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão

  4. Calcular os limites laterais de \(f\) nos seguintes casos:

    1. \(p\notin D_f\text{,}\) mas é extremo de um dos intervalos que compõem \(D_f\text{.}\)
    2. \(p\in D_f\text{,}\) mas não é contínua em \(p\text{.}\)
  5. Calcular os limites para \(x\rightarrow +\infty\) e \(x\rightarrow -\infty\)
  6. Determinar ou ter uma aproximação das raízes de \(f\text{.}\)
Exemplo 4.4.1.

Esboce o gráfico de \(f(x) = x^3-3x^2+4.\)

Solução

a) \(D_f=\mathbb{R}\) b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.

\begin{equation*} f'(x)=3x^2-6x \therefore 3x^2-6x = 0 \Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=2 \end{equation*}

Logo

\begin{equation*} \begin{cases} f \text{ é estritamente crescente em } \left(-\infty, 0\right)\cup \left( 2, +\infty \right) \\ f \text{ é estritamente decrescente em } \left(0, 2 \right) \end{cases} \end{equation*}

c) Concavidade e pontos de inflexão

\begin{equation*} f''(x) = 6x-6 \therefore 6x-6 = 0 \Leftrightarrow x=1 \end{equation*}

Portanto, 1 é ponto de inflexão e

\begin{equation*} \begin{cases} f \text{ tem concavidade para baixo em } \left(-\infty, 1\right) \\ f \text{ tem concavidade para cima em } \left(1, +\infty \right) \end{cases} \end{equation*}

d) Como \(f\) é contínua em \(\mathbb{R}\) nós pulamos este item. e) Calcular os limites para \(x\rightarrow +\infty\) e \(x\rightarrow -\infty\text{.}\)

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 - 3*x^2 + 4 = +\infty \end{equation*}

e

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 - 3*x^2 + 4 = -\infty \end{equation*}

f) Determinar as raízes de \(f\text{.}\) As raízes de \(f\) são \(-1\) e \(2\text{.}\)

Subseção 4.4.2 Assíntotas

Definição 4.4.2.
Seja \(f\) uma função. Se existir uma reta \(y = ax+b\) tal que
\begin{equation*} \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \left[ f(x) - (ax+b)\right] = 0, \end{equation*}
ou
\begin{equation*} \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \left[ f(x) - (ax+b)\right] = 0, \end{equation*}
então diremos que \(y = ax+b\) é uma assíntota para \(f\text{.}\) Se \(a=0\text{,}\) temos uma assíntota horizontal, e se \(a\neq 0\) temos uma assíntota oblíqua.
Exemplo 4.4.3.

Verifique que \(y=-x\) e \(y=x\) são assíntotas oblíquias da função \(f(x) = \sqrt{x^2+1}\)

Dica

Basta calcular os limites

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x^2+1}-x) \end{equation*}

e

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow -\infty}(\sqrt{x^2+1}-(-x)). \end{equation*}

Veja o gráfico usando o código a seguir.

Exemplo 4.4.4.

Verifique que \(y=1\) é assíntota horizontal da função \(f(x) = e^{-x}+1\)

Dica

Basta calcular o limite

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}+1 \end{equation*}

Veja o gráfico usando o código a seguir.

Exemplo 4.4.5.

Determine a assíntota e esboce o gráfico de

\begin{equation*} f(x) = \frac{x^3}{2x^2+2} \end{equation*}
Solução

Observe que

\begin{equation*} f(x) = \frac{x^3}{2x^2+2} = \frac{x}{2} - \frac{x}{2x^2+2} \end{equation*}

Como

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x}{2x^2+2} = 0 = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x}{2x^2+2} \end{equation*}

quando \(x\) tende a \(+\infty\) ou \(-\infty\text{,}\) o gráfico de \(f\) vai encostando na assíntota

\begin{equation*} y=\frac{x}{2}. \end{equation*}

a) \(D_f=\mathbb{R}\text{.}\)

b) Intervalos de crescimento e de decrescimento.

\begin{equation*} f'(x) = \frac{x^4+3x^2}{2(x^4+2x^2+1)} \end{equation*}

\(2(x^4+2x^2+1)> 0\) e \(x^4+3x^3\geq 0\text{,}\) obtendo a igualdade apenas em \(x=0\text{.}\) Logo \(f'(x)>0\text{,}\) para \(x\neq 0\) e portanto \(f\) é estritamente crescente em \(\mathbb{R}\text{.}\) c) Concavidade e pontos de inflexão.

\begin{equation*} f''(x) = -\frac{x^{3} - 3 \, x}{x^{6} + 3 \, x^{4} + 3 \, x^{2} + 1} \end{equation*}

\(x^{6} + 3 \, x^{4} + 3 \, x^{2} + 1>0\text{,}\) portanto basta analisar \(-(x^{3} - 3 \, x)\text{.}\) As raízes de \(-(x^3-3x)\) são \(x = -\sqrt{3}, 0\) e \(\sqrt{3}\text{.}\)

\begin{equation*} \begin{cases} f \text{ tem concavidade para cima em } \left(-\infty, -\sqrt{3}\right) \cup \left(0, \sqrt{3}\right) \\ f \text{ tem concavidade para baixo em } \left(-\sqrt{3}, 0 \right)\cup \left(\sqrt{3}, +\infty \right) \end{cases} \end{equation*}

d)

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^3}{2x^2+2} = +\infty \text{ e } \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x^3}{2x^2+2} = -\infty \end{equation*}

e) zero é a única raiz de \(f\text{.}\)

f) \(y = \frac{x}{2}\) é a única assíntota.

Veja o gráfico usando o código a seguir.

Subseção 4.4.3 Máximos e Mínimos

Definição 4.4.6.

Sejam \(f\) uma função e \(p\in D_f\)

  1. Dizemos que \(f(p)\) é o valor máximo local de \(f\) ou que \(p\) é um ponto de máximo local de \(f\) se, existe um intervalo \((a,b)\text{,}\) tal que, para todo \(x\in D_f\cap (a, b)\text{,}\) temos \(f(x)\leq f(p)\text{.}\)
  2. Dizemos que \(f(p)\) é o valor mínimo local de \(f\) ou que \(p\) é um ponto de mínimo local de \(f\) se, existe um intervalo \((a,b)\text{,}\) tal que, para todo \(x\in D_f\cap (a, b)\text{,}\) temos \(f(x)\geq f(p)\text{.}\)

Suponha, sem perda de generalidade, que \(p\) é ponto de máximo local. Como \(p\) é ponto interior do \(D_f\text{,}\) existe \(r>0\text{,}\) tal que

\begin{equation*} f(x)\leq f(p) ~~\forall x\in (p-r, p+r). \end{equation*}

Para \(p\lt x\lt p+r\text{,}\) temos \(x-p >0\) e \(f(x)-f(p)\lt 0\text{,}\) logo

\begin{equation*} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \leq 0 \therefore \lim_{x\rightarrow p^+} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \leq 0. \end{equation*}

Para \(p-r\lt x\lt p\text{,}\) temos \(x-p \lt 0\) e \(f(x)-f(p)\lt 0\text{,}\) logo

\begin{equation*} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \geq 0 \therefore \lim_{x\rightarrow p^+} \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \geq 0. \end{equation*}

Como \(f\) é derivável, os limites laterais são iguais, portanto, \(f'(p)=0\text{.}\)

Definição 4.4.8.

Seja \(f\) uma função real, dizemos que \(p\in D_f\) é um ponto crítico de \(f\) se \(f'(p)=0\text{.}\)

item a) Como \(f''\) é contínua em \((a, b)\) existe \(r>0\) tal que \((p-r, p+r)\subset (a, b)\) e

\begin{equation*} f''(x)>0 \text{ para } x\in (p-r, p+r). \end{equation*}

Portanto, \(f'\) é estritamente crescente neste intervalo, como \(f'(p)=0\text{,}\) temos

\begin{equation*} \begin{cases} f'(x)\lt 0 \text{ para } x\in (p-r, p) \\ f'(x)>0 \text{ para } x\in (p, p+r) \end{cases} \end{equation*}

Assim, \(f\) é estritamente crescente em \((p-r, p)\) e estritamente decrescente em \((p, p+r)\text{.}\) Portanto, \(p\) é ponto de mínimo local.

O item b) é análogo.

Exemplo 4.4.10.

Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=x^4-x^3-5x^2+1\text{.}\) Determine os pontos críticos de \(f\) e classifique-os.

Solução
\begin{equation*} f'(x) = 4x^3 - 3x^2 - 10x \end{equation*}

Portanto

\begin{equation*} f'(x)=0 \Leftrightarrow 4x^3 - 3x^2 - 10x = 0 \Leftrightarrow x(4x^2 - 3x - 10)=0 \end{equation*}

Ou seja,

\begin{equation*} f'(x)=0 \Leftrightarrow x = -\frac{5}{4} \text{ ou } x = 0 \text{ ou } x = 2 \end{equation*}

Agora, vamos analisar os pontos críticos \(x = -5/4, x = 0\) e \(x=2\text{.}\)

\begin{equation*} f''(x) = 12x^2-6x-10. \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} f''\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{65}{4} >0 \Rightarrow x = -\frac{5}{4} \text{ é ponto de mínimo local} \\ f''(0) = -10 \lt 0 \Rightarrow x = 0 \text{ é ponto de máximo local} \\ f''(2) = 26 >0 \Rightarrow x = 2 \text{ é ponto de mínimo local}\end{cases} \end{equation*}

Veja o gráfico usando o código a seguir.

Exercícios 4.4.4 Exercícios

1.

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de \(f\) no intervalo dado.

  1. \(f(x) = \frac{x^{4}}{4}-x^{3}-2x^{2}+3\text{,}\) em \([-2,3]\)
  2. \(f(x) = x^{3}-3x^{2}+3x-1\text{,}\) em \([-2,1]\)
  3. \(f(x) = \frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{4}}{2}-x^{3}+4x^{2}-4x+1\text{,}\) em \([-3,3]\)
  4. \(f(x) = \sin(x)-\cos(x)\text{,}\) em \([0,\pi]\)
  5. \(f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}\text{,}\) em \([0,3]\)
  6. \(f(x) = \frac{x^{2}-4}{x^{2}+1}\text{,}\) em \([-4,4]\)
  7. \(f(t) = t\sqrt{4-t^{2}}\text{,}\) em \([-1,2]\)
  8. \(f(t) = \sqrt[3]{t}(8-t)\text{,}\) em \([0,8]\)
  9. \(f(x) = xe^{-x}\text{,}\) em \([0,2]\)
  10. \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x}\text{,}\) em \([1,3]\)
2.

Construa o gráfico das funções dadas.

  1. \(\displaystyle f(x) = 2x^{3}-3x^{2}-12x\)
  2. \(\displaystyle f(x) = 2+3x-x^{3}\)
  3. \(\displaystyle f(x) = x^{4}-6x^{2}\)
  4. \(\displaystyle f(x) = 200+8x^{3}+x^{4}\)
  5. \(\displaystyle f(x) = 3x^{5}-5x^{3}+5\)
  6. \(\displaystyle f(x) = (x^{2}-1)^{3}\)
  7. \(\displaystyle f(x) = x\sqrt{x+3}\)
  8. \(\displaystyle f(x) = 3x^{\frac{2}{3}} - x\)
  9. \(\displaystyle f(x) = x^{\frac{1}{3}}(x+4)\)
  10. \(\displaystyle f(x) = \ln(x^{4}+27)\)
  11. \(\displaystyle f(x) = \frac{x^{2}}{x^{2}-1}\)
  12. \(\displaystyle f(x) = \frac{x}{(x-2)^{2}}\)
  13. \(\displaystyle f(x) = \sqrt{x^{2}+1}-x\)
  14. \(\displaystyle f(x) = \ln(1-\ln(x))\)
  15. \(\displaystyle f(x) = \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\)
  16. \(\displaystyle f(x) = e^{-\frac{1}{(x+1)}}\)
  17. \(\displaystyle f(x) = \ln(\tan^{2}(x))\)
  18. \(\displaystyle f(x) = \frac{4x+3x^{2}}{1+x^{2}}\)
  19. \(\displaystyle f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2}-1}\)
  20. \(\displaystyle f(x) = \frac{x^{2}}{x^{2}-x-2}\)
  21. \(\displaystyle f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2}+4}\)
  22. \(\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x^{3}-x}\)
3.

Construa o gráfico das funções dadas.

  1. \(\displaystyle f(\theta) = 2\cos(\theta)-\cos(2\theta), \quad 0\leq\theta\leq\pi\)
  2. \(\displaystyle f(t) = t-\cos(t), \quad -2\pi\leq t\leq 2\pi\)