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Seção 3.1 Derivadas: Conceito e Interpretação Geométrica

O conceito de derivada está relacionado ao conceito de reta tangente ao gráfico de uma função \(f:A\subset\mathbb{R}\rightarrow B\subset\mathbb{R}\text{.}\)

Antes de definir a reta tangente ao gráfico de uma função \(f(x)\) no ponto \((p, f(p))\text{,}\) vamos escrever a equação da reta \(r_x\text{,}\) que passa pelos pontos \((p, f(p))\) e \((x, f(x))\text{.}\)

Figura 3.1.1.
Definição 3.1.2.

Chama-se coeficiente angular de uma reta \(r\) de inclinação \(\alpha,~\alpha\neq \pi/2\text{,}\) o número \(m\) tal que \(m = \tan{\alpha}\text{.}\)

Observação 3.1.4.

O coeficiente angular da reta \(r_x\text{,}\) que passa pelos pontos \((p, f(p))\) e \((x, f(x))\) é dado por:

\begin{equation*} \dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}. \end{equation*}
Figura 3.1.5.

E a equação da reta que passa por \((p, f(p))\) e \((x, f(x))\) é dada por

\begin{equation*} r_{x}: y = \frac{f(x)-f(p)}{x-p}(x-p) + f(p). \end{equation*}
Definição 3.1.6.

A reta \(T_p\) tangente ao gráfico de \(f\) é obtida fazendo \(x\) tender a \(p\text{,}\) na equação da reta \(r_{x}\text{:}\)

Figura 3.1.7.
Definição 3.1.8.

Sejam \(f:A\rightarrow B\) uma função e \(p\) um ponto do domínio de \(f\text{.}\) O limite

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}, \end{equation*}

quando existe e é finito, denomina-se derivada de \(f\) em \(p\) e é indicada por \(f'(p)\text{.}\) Assim,

\begin{equation*} f'(p) = \lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}. \end{equation*}

Se \(f\) admite derivada em \(p\text{,}\) então diremos que \(f\) é diferenciável em \(p\text{.}\) A função \(f\) é diferenciável em um intervalo aberto \((p,q)\) (ou \((p, \infty)\) ou \((-\infty, p)\) ou \((-\infty, \infty)\)) se for diferenciável em cada ponto do intervalo.

Observação 3.1.9.

Segue da definição de limites que

  1. \(\displaystyle f'(p) = \lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p};\)
  2. \(\displaystyle f'(p) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(p+h)-f(p)}{h};\)
  3. A reta tangente ao gráfico de \(f\text{,}\) no ponto \((p, f(p))\text{,}\) é dada por
    \begin{equation*} y-f(p) = f'(p)(x-p). \end{equation*}
Exemplo 3.1.10.

Seja \(f(x)=x^2\text{.}\)

  1. Calcule a derivada de \(f\) no ponto \(x=1.\)
  2. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \((1,f(1))\text{.}\)
Exemplo 3.1.11.

Mostre que \(f(x)=|x|\) não é derivável em \(p=0\text{.}\)

Dica

Calcule

  1. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)

Subseção 3.1.1 A Derivada como uma Função

Exemplo 3.1.12.

Seja \(f(x)=x\text{,}\) calcule \(f'(x)\text{.}\)

Solução
\begin{align*} f'(x) = \amp~ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ = \amp~ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)-x}{h}\\ = \amp~ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h}\\ = \amp~ 1. \end{align*}
Exemplo 3.1.13.

Seja \(f(x)=x^2\text{,}\) calcule \(f'(x)\text{.}\)

Solução
\begin{align*} f'(x) = \amp~ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ = \amp~ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\ = \amp~ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\ = \amp~ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\ = \amp~ \lim_{h\rightarrow 0} (2x+h)\\ = \amp~ 2x. \end{align*}
Exemplo 3.1.14.

Seja \(f(x)=x^3-x^2\text{,}\) encontre uma fórmula para \(f'(x)\text{.}\)

Exercícios 3.1.2 Exercícios

1.

Calcule \(f'(x)\) pela definição (através do limite), nos seguintes casos;

  1. \(\displaystyle f(x)=x^{2}+x\)
  2. \(\displaystyle f(x)=x^{3}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=5x\)
  4. \(\displaystyle f(x)=3x-1\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}\)
2.

Para cada item da questão 1, determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \((1, f(1))\text{.}\)