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Seção 3.2 Derivadas das Funções Elementares

Subseção 3.2.1 Derivadas das Funções \(x^n\) e \(\sqrt[n]{x}\)

item a) \(f'(x) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\) (faça a mudança de variável \(x+h=t\)). Logo,

\begin{align*} f'(x) = \displaystyle \lim_{t\rightarrow x} \frac{t^n-x^n}{t-x} =\amp~\lim_{t\rightarrow x} \dfrac{(t-x)\overbrace{(t^{n-1}+t^{n-2}x+t^{n-3}x^2+\cdots+x^{n-1})}^{n \text{ parcelas }}}{t-x}\\ =\amp~\lim_{t\rightarrow x}~ \overbrace{(t^{n-1}+t^{n-2}x+t^{n-3}x^2+\cdots+x^{n-1})}^{n \text{ parcelas }}\\ =\amp~\overbrace{(x^{n-1}+x^{n-1}\cdots+x^{n-1})}^{n \text{ parcelas }}\\ =\amp~ nx^{n-1}. \end{align*}

item b)

\begin{align*} f'(x) =\amp~ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}}{h}\\ =\amp~\lim_{h\rightarrow 0} -\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\cdot\frac{1}{(x+h)^nx^n}\\ =\amp~-\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\cdot\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{(x+h)^nx^n}\\ =\amp~ -nx^{n-1}\cdot \frac{1}{x^{2n}}\\ =\amp~ -nx^{-n-1}. \end{align*}

item c)

\begin{align*} f'(x) =\amp~ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+h}-\sqrt[n]{x}}{h}\\ =\amp~\lim_{t\rightarrow x} \frac{\sqrt[n]{t}-\sqrt[n]{x}}{t-x}. \end{align*}

Fazendo \(u=\sqrt[n]{t}\) e \(v=\sqrt[n]{x}~~(t\rightarrow x \Rightarrow u\rightarrow v)\) obtemos:

\begin{align*} f'(x) =\amp~\lim_{u\rightarrow v} \frac{u-v}{u^n-v^n}\\ =\amp~\lim_{u\rightarrow v} \frac{1}{\frac{u^n-v^n}{u-v}}\\ =\amp~\frac{1}{nv^{n-1}} \end{align*}

Assim, para \(x\neq 0\) e \(x\) no domínio de \(f\text{,}\) temos

\begin{equation*} f'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}. \end{equation*}
Exemplo 3.2.2.

Seja \(f(x)=x^4\text{,}\) calcule.

  1. \(f'(x)\text{;}\)
  2. \(f'\left( \frac{1}{2} \right)\text{.}\)
Resposta
Exemplo 3.2.3.

Seja \(f(x)=x^3\text{.}\)

  1. Calcule \(f'(x)\text{;}\)
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto de abscissa \(1\text{.}\) (ou seja, \(x=1\))
Resposta
Exemplo 3.2.4.

Calcule \(f'(x)\) sendo.

  1. \(f(x)=x^{-3}\text{;}\)
  2. \(f(x)=\dfrac{1}{x^5}\text{;}\)
  3. \(f(x)=\sqrt{x}\text{.}\)
Resposta

Subseção 3.2.2 Derivadas das Funções \(e^x\) e \(\ln{x}\)

item a)

\begin{align*} f'(x) =\amp~ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ =\amp~\lim_{h\rightarrow 0} \left(e^x\cdot\frac{e^h-1}{h}\right)\\ =\amp~\lim_{h\rightarrow 0} \left(e^x\right)\cdot\underbrace{\lim_{h\rightarrow 0}\left(\frac{e^h-1}{h}\right)}_{=1}\\ =\amp~ e^x. \end{align*}

item b)

\begin{align*} g'(x) =\amp~ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}\\ =\amp~\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h}\cdot\ln\left( 1+\frac{h}{x} \right) \end{align*}

Fazendo a mudança \(u=h/x\text{,}\) ficamos com

\begin{align*} g'(x) =\amp~ \lim_{u\rightarrow 0} \ln(1+u)^{\frac{1}{xu}}\\ =\amp~\lim_{u\rightarrow 0} \frac{1}{x}\cdot \ln(1+u)^{\frac{1}{u}}\\ =\amp~\lim_{u\rightarrow 0} \frac{1}{x}\cdot \underbrace{\lim_{u\rightarrow 0} \ln(1+u)^{\frac{1}{u}}}_{=1}\\ =\amp~\frac{1}{x}. \end{align*}
Exemplo 3.2.6.

Seja \(f(x)=a^x\text{,}\) na qual \(a>0\) e \(a\neq 1\) é um número real. Mostre que \(f'(x)=a^x\ln{a}\text{.}\)

Exemplo 3.2.7.

Calcule \(f'(x)\text{.}\)

  1. \(\displaystyle f(x)=2^x\)
  2. \(\displaystyle f(x)=5^x\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\pi^x\)
  4. \(\displaystyle f(x)=e^x\)
Exemplo 3.2.8.

Seja \(g(x)=\log_a{x}\text{,}\) na qual \(a>0\) e \(a\neq 1\) é um número real. Mostre que \(g'(x)=\frac{1}{x\ln{a}}\text{.}\)

Exemplo 3.2.9.

Calcule \(f'(x)\text{.}\)

  1. \(\displaystyle f(x)=\log_3{x}\)
  2. \(\displaystyle f(x)=\log_5{x}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\log_\pi{x}\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\ln{x}\)

Subseção 3.2.3 Derivadas das Funções Trigonométricas

item a)

\begin{align*} sen'{x} =\amp~ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(x+h)-sen(x)}{h}\\ =\amp~\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(x)\cdot sen(h) + \cos(h)\cdot sen(x) - sen(x)}{h}\\ =\amp~\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(x)\cdot sen(h)}{h} + \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sen(x)\cdot \cos(h) - sen(x)}{h}\\ =\amp~\cos(x)\cdot \lim_{h\rightarrow 0} \frac{sen(h)}{h} + sen(x)\cdot \underbrace{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(h) - 1}{h}}_{=0}\\ =\amp~\cos(x)\cdot 1 + sen(x)\cdot 0\\ =\amp~\cos(x). \end{align*}

item b)

\begin{align*} \cos'{x} =\amp~ \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\\ =\amp~\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(h)\cdot\cos(x) - sen(h)\cdot sen(x) - \cos(x)}{h}\\ =\amp~\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(h)\cdot \cos(x) - \cos(x)}{h} - \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sen(x)\cdot sen(h)}{h}\\ =\amp~\cos(x)\cdot \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\cos(h)-1}{h} - sen(x)\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{sen(h)}{h}\\ =\amp~\cos(x)\cdot 0 -sen(x)\cdot 1\\ =\amp~-sen(x) \end{align*}

Os itens c), d), e), f) ficam como exercício, depois que for visto o Teorema da derivada da soma \((f+g)'\text{,}\) do produto \((f\cdot g)'\) e do quociente de funções \(\left( \frac{f}{g} \right)'\text{.}\)

Exemplo 3.2.11.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=sen(x)\) no ponto de abscissa \(0\text{.}\)

Resposta
Exemplo 3.2.12.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de \(f(x)=\cos(x)\) no ponto de abscissa \(0\text{.}\)

Resposta

Exercícios 3.2.4 Exercícios

1.

Usando que \((f_1+f_2)'(x) = f_1'(x)+f_2'(x)\text{,}\) calcule a derivada das funções, nos seguintes casos;

  1. \(\displaystyle f(x)=3x^{2}+\frac{1}{x}\)
  2. \(\displaystyle f(x)=x^{3} +5\ln{x}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=2x^3 +3e^x\)
  4. \(\displaystyle f(x)=3\text{sen}(x) +2x^3\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^2} + \sqrt[3]{x}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^2} + 2\cos(x)\)
  7. \(\displaystyle f(x) = 3\ln{x} +4\cos{x}\)
  8. \(\displaystyle f(x) = 3x^{2} + 2\sqrt[4]{x^3}\)

Dica: Observe que \(3f = f+f+f\) e use isso nos casos \(3x^2\text{,}\) \(3e^x\text{,}\) etc.