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Seção 1.7 Identidades Trigonométricas

Já sabemos que

\begin{equation} sen^2{x}+\cos^2{x} =1,\quad \forall~x\in \mathbb{R}.\label{eq-iden-trig01}\tag{1.7.1} \end{equation}

Para \(x\neq \frac{\pi}{2}+n\pi (n\in \mathbb{Z})\text{,}\) se dividirmos a Equação (1.7.1) por \(\cos^2{x}\text{,}\) obteremos a seguinte equação:

\begin{equation*} \tan^2{x}+1 = \sec^2{x}, \quad \text{para }~x\neq \frac{\pi}{2}+n\pi, n\in \mathbb{Z}. \end{equation*}

Agora, para \(x\neq n\pi (n\in \mathbb{Z})\text{,}\) se dividirmos a Equação (1.7.1) por \(sen^2{x}\text{,}\) obteremos a seguinte equação :

\begin{equation*} 1+\cot^2{x} = \csc^2{x},\quad \text{para }~x\neq n\pi, n\in \mathbb{Z} \end{equation*}

item 1. Sejam \(\stackrel{\frown}{AM}, \stackrel{\frown}{AN}\) e \(\stackrel{\frown}{AP}\) arcos trigonométricos de medidas \(a, b\) e \(a-b\text{,}\) respectivamente.

Figura 1.7.2. Arcos \(\stackrel{\frown}{AM}, \stackrel{\frown}{AN}\) e \(\stackrel{\frown}{AP}\text{.}\)
As coordenadas dos pontos \(A, P, N\) e \(M\text{:}\)

  • \(\displaystyle A = (cos(0),sen(0)) = (1,0);\)
  • \(\displaystyle P = (cos(a-b), sen(a-b));\)
  • \(\displaystyle N = (cos(b), sen(b));\)
  • \(\displaystyle M = (cos(a), sen(a)).\)

Lembrando que a distância entre dois pontos \(p_1=(x_1,y_1)\) e \(p_2=(x_2, y_2)\text{,}\) do plano cartesiano, é dado por

\begin{equation*} d_{p_1p_2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\text{.} \end{equation*}

Vamos usar que a distância de \(A\) até \(P\) é igual a distância de \(N\) até \(M\text{.}\) Assim, \(d_{AP}=d_{NM}\text{,}\) implica em

\begin{equation*} \sqrt{(cos(a-b)-1)^2+(sen(a-b)-0)^2} = \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =\sqrt{(cos(a)-cos(b))^2+(sen(a)-sen(b))^2}. \end{equation*}

Elevando ambos os membros ao quadrado obtemos

\begin{equation*} (cos(a-b)-1)^2+(sen(a-b)-0)^2 = (cos(a)-cos(b))^2+(sen(a)-sen(b))^2. \end{equation*}

Calculando os quadrados,

\begin{equation*} cos^2(a-b)-2cos(a-b)+1+sen^2(a-b) =\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad= cos^2(a)-2cos(a)cos(b)+cos^2(b)+sen^2(a)-2sen(a)sen(b)+sen^2(b). \end{equation*}

Reorganizando, ficamos com

\begin{equation*} \overbrace{cos^2(a-b)+sen^2(a-b)}^{=1}-2cos(a-b)+1 =\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad= \underbrace{cos^2(a)+sen^2(a)}_{=1}-2cos(a)cos(b)-2sen(a)sen(b)+\underbrace{sen^2(b)+cos^2(b)}_{=1}. \end{equation*}

Ou seja,

\begin{equation*} -2cos(a-b)+2 = -2cos(a)cos(b)-2sen(a)sen(b)+2. \end{equation*}

Cancelando o \(+2\) de ambos os membros e em seguida multiplicando tudo por \(-\frac{1}{2}\) obtemos a igualdade:

\begin{equation*} cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b). \end{equation*}

itens 2., 3., 4., 5. e 6. Exercício.

Exercícios 1.7.1 Exercícios

1.

Use as identidades fundamentais para simplificar cada expressão.

  1. \(\displaystyle (1-\cos t)(1+\cos t)\)
  2. \(\displaystyle 2\sin t\cos t\mbox{cossec}\hspace{0.05cm}t\)
  3. \(\displaystyle \sec^2t(\mbox{cossec}^2\hspace{0.05cm}t-1)(\sin t+1)-\mbox{cossec}\hspace{0.05cm}t\)
  4. \(\displaystyle \dfrac{\cos t-1}{\sec t-1}\)
2.

Resolva as inequações:

  1. \(2cos^2(x)-cos(x)\lt0\text{,}\) para \(0\leq x\lt 2\pi\text{.}\)Resposta

    \(S = \left\{ x\in\mathbb{R}~|~\frac{\pi}{3}\lt x\lt \frac{\pi}{2} \text{ ou } \frac{3\pi}{2}\lt x\lt \frac{5\pi}{3} \right\}\)

  2. \(2cos^2(x)+3sen(x)-3>0\text{,}\) para \(0\leq x\lt 2\pi\text{.}\)Resposta

    \(S = \left\{ x\in\mathbb{R}~|~\frac{\pi}{6}\lt x\lt \frac{5\pi}{6} \text{ e } x\neq\frac{\pi}{2} \right\}\)

3.

Calcule:

  1. \(\cos{75º}\text{.}\) Resposta
    \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
  2. \(\cos{15º}\text{.}\) Resposta
    \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
  3. \(\sin{15º}\text{.}\) Resposta
    \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
  4. \(\sin{75º}\text{.}\) Resposta
    \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
  5. \(\cos{105º}\text{.}\) Resposta
    \(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)
  6. \(\sin{165º}\text{.}\) Resposta
    \(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
4.

Mostre que

\begin{equation*} \sin\left( \frac{\pi}{2}+x \right) = \cos(x), \quad \text{para todo } x\in \mathbb{R}. \end{equation*}
5.

Sabendo que \(\sin(a)=\frac{3}{5}\) e que \(0\lt a\lt \frac{\pi}{2}\text{,}\) calcule

\begin{equation*} \cos\left( \frac{\pi}{3}+a \right). \end{equation*}
Resposta
\begin{equation*} \frac{4-3\sqrt{3}}{10}. \end{equation*}
6.

Sabendo que \(\cos(x)=\frac{1}{3}\) e que \(\frac{3\pi}{2}\lt x\lt 2\pi\text{,}\) calcule

\begin{equation*} \sin\left( \frac{\pi}{6}-x \right). \end{equation*}
Resposta
\begin{equation*} \frac{1+2\sqrt{6}}{6}. \end{equation*}
7.

Resolva a seguinte equação em \(\mathbb{R}\text{:}\)

\begin{equation*} \sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right) + \cos\left( x-\frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}. \end{equation*}
Resposta
\begin{equation*} S = \left\{ x\in\mathbb{R}~|~ x = \frac{\pi}{2}+2k\pi,~ k\in \mathbb{Z} \right\}. \end{equation*}
8.

Resolva a seguinte equação em \(\mathbb{R}\text{:}\)

\begin{equation*} \sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right) + \sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{equation*}
Resposta
\begin{equation*} S = \left\{ x\in\mathbb{R}~|~ x = \frac{\pi}{6}+2k\pi ~\text{ ou }~ x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi,~ k\in \mathbb{Z} \right\}. \end{equation*}