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Seção 1.4 Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras

Definição 1.4.1.

Uma função injetiva (ou injetora) é uma função que cada elemento do contradomínio da função é a imagem de no máximo um elemento de seu domínio. Ou seja, Uma função diz-se injetiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam \({\displaystyle x_{1}}\) e \({\displaystyle x_{2}}\) (pertencentes ao domínio da função), \(x_{1} \neq x_2\) implica que \(f(x_1) \neq f(x_2)\text{.}\)

Exemplo 1.4.2.

a) \(f(x)=x^2\) não é injetora, pois \(-1\neq 1\text{,}\) porém \(f(-1)=f(1)=1\text{.}\)

b) \(g(x)=2x+3\) é injetora. De fato, sejam \(a,b\in \mathbb{R}\text{,}\) com \(a\neq b\text{.}\)

\begin{align*} f(a)=f(b)\Leftrightarrow \amp~2a+3=2b+3\\ \amp~2a=2b\\ \amp~a=b, \end{align*}

mas \(a\neq b\) por hipótese. Portanto, \(f\) é injetiva.

Definição 1.4.3.

Uma função \(f:A\rightarrow B\) é sobrejetiva (ou sobrejetora), se para todo elemento \(y\in B\) houver pelo menos um elemento \(x\in A\) tal que \(f(x)=y\text{.}\) Ou seja, quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função.

Exemplo 1.4.4.

a) \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\text{,}\) na qual, \(f(x)=x^2\) não é sobrejetiva, pois dado \(-3\in \mathbb{R}\text{,}\) não existe \(x\in \mathbb{R}\) tal que \(f(x)=-3\text{.}\)

b) \(f:\mathbb{R}\rightarrow [0, +\infty)\text{,}\) na qual, \(f(x)=x^2\) é sobrejetiva.

Definição 1.4.5.

Uma função \(f:A\rightarrow B\) é chamada de bijetora se \(f\) for injetiva e sobrejetiva.

Definição 1.4.6.

Sejam \(f:A\rightarrow B\) e \(g:B\rightarrow C\) funções tais que o domínio de \(g\) é igual ao contradomínio de \(f\text{.}\) Neste caso podemos definir a função composta \(g\circ f:A\rightarrow C\text{,}\) que consiste em aplicar primeiro \(f\) e depois \(g\text{.}\) Mais precisamente,

\begin{equation*} (g\circ f)(x) = g(f(x)), \quad \forall~ x\in A. \end{equation*}
Figura 1.4.7. Função \(g\circ f\text{.}\)
Exemplo 1.4.8.

Sejam \(f\) e \(g\) dadas por \(f(x)=2x+1\) e \(g(x)=x^2+3x+1\text{.}\) Determine \(f\circ g\) e \(g\circ f\text{.}\)

Definição 1.4.9.

Dadas as funções \(f:A\rightarrow B\) e \(g:B\rightarrow A\text{,}\) diremos que \(g\) é uma inversa à esquerda para \(f\) quando \(g\circ f = id_A:A\rightarrow A\text{,}\) ou seja, quando \(g(f(x))=x\) para todo \(x\in A\text{.}\)

Exemplo 1.4.11.

Seja \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(f(x)=2x\text{,}\) que é injetiva e não é sobrejetiva. A inversa à esquerda da função \(f\) é a função \(g(x)=\frac{x}{2}\text{,}\) pois

\begin{equation*} (g\circ f)(x) = g(f(x))=g(2x) = \frac{2x}{2}=x \end{equation*}

para todo \(x\in \mathbb{N}\text{.}\)

Definição 1.4.12.

Dadas as funções \(f:A\rightarrow B\) e \(g:B\rightarrow A\text{,}\) diremos que \(g\) é uma inversa à direita para \(f\) quando \(f\circ g = id_B:B\rightarrow B\text{,}\) ou seja, quando \(f(g(y))=y\) para todo \(y\in B\text{.}\)

Exemplo 1.4.14.

Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow [0, +\infty)\text{,}\) dada por \(f(x)=x^2\text{.}\) A inversa à direita de \(f\) é a função \(g:[0, +\infty) \rightarrow [0, +\infty)\text{,}\) dada por \(g(x)=\sqrt{x}\text{.}\)

Definição 1.4.15.

Uma função \(g:B\rightarrow A\) chama-se inversa da função \(f:A\rightarrow B\text{,}\) quando \(g\circ f=id_A\) e \(f\circ g=id_B\text{,}\) isto é, quando \(g\) é inversa à esquerda e à direita para \(f\text{.}\)

Exemplo 1.4.16.

Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\text{,}\) dada por \(f(x)=3x+2\text{.}\) A inversa \(f\) é a função \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\text{,}\) dada por \(g(x)=\frac{x-2}{3}\text{.}\)

Tecnologia 1.4.17.
Podemos utilizar o SageMath para calcular a inversa de funções. Para calcular a inversa da função \(f(x)=3x+2\text{,}\) use o código a seguir. E para trocar a função, modifique o valor atribuído a f na linha 5.

Exercícios 1.4.1 Exercícios

1.

Encontre as funções \(f\circ g, g\circ f,\) e seus domínios.

  1. \(\displaystyle f(x)=2x^2-x, ~ g(x)=3x+2\)
  2. \(\displaystyle f(x)=1-x^3, ~ g(x)=\dfrac{1}{x}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=1-3x, ~ g(x)=5x^2+3x+2\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{2x+3}, ~ g(x)=x^2+1\)
2.

Encontre \(f\circ g\circ h.\)

  1. \(\displaystyle f(x)=x+1, ~ g(x)=2x, ~ h(x)=x-1\)
  2. \(\displaystyle f(x)=2x-1, ~ g(x)=x^2, ~ h(x)=1-x\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x-1}, ~ g(x)=x^2+2, ~ h(x)=x+3\)
3.

Expresse \(F(x)\) na forma \(f\circ g(x)\text{.}\)

  1. \(\displaystyle F(x)=(x^2+1)^{10}\)
  2. \(\displaystyle F(x)=\sin(\sqrt{x})\)
  3. \(\displaystyle F(x)=\sqrt{\cos x}\)
  4. \(\displaystyle F(x)=2^{3x}\)
4.

Encontre a inversa das funções.

  1. \(\displaystyle f(x)=2x-5\)
  2. \(\displaystyle f(x)=x^3+2\)
  3. \(\displaystyle f(x)=4\sqrt[3]{x}\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{x-2}\)