UFRPE-DM Problemas de Taxa de Variação

Seção 4.1 Problemas de Taxa de Variação

Definição 4.1.1.

Seja a função $y = f(x)\text{.}$ A razão

$\begin{equation*} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{equation*}$

é a taxa média de variação de $f$ entre $x$ e $x+\Delta x\text{.}$ A derivada de $f\text{,}$ em $x$ é também denominada de taxa de variação de $f$ em $x\text{.}$

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Exemplo 4.1.2.

O raio de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de $5$ (m/s). Com que taxa está variando o volume da esfera no instante em que $r = 2$ (m)?

Solução 1

Seja $t_0$ o instante em que $r=2\text{.}$ Queremos calcular $V'(t_0)\text{.}$ Sabemos que $V(t) = \dfrac{4}{3}\pi (r(t))^3\text{.}$ Pela regra da cadeia

\begin{equation*} V'(t) = \frac{4}{3}\pi ((r(t))^3)' = \frac{4}{3}\pi\cdot 3(r(t))^2\cdot r'(t). \end{equation*}

Como $r'(t) = 5\text{,}$ temos

\begin{equation*} V'(t) = 20\pi (r(t))^2. \end{equation*}

Para $t=t_0\text{,}$ $r=2\text{,}$ logo

\begin{equation*} V'(t_0) = 20\cdot \pi\cdot(2)^2 = 80\pi~ (m^3/s). \end{equation*}

Solução 2

Seja $t_0$ o instante em que $r=2\text{.}$ Queremos calcular $\frac{dV}{dt}\bigl\vert_{t=t_0}\text{.}$ Sabemos que $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\text{.}$ Pela regra da cadeia

\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}. \end{equation*}

Como $\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$ e $\frac{dr}{dt} = 5\text{,}$ temos

\begin{equation*} \frac{dV}{dr} = 20\pi r^2. \end{equation*}

Para $t=t_0\text{,}$ $r=2\text{,}$ logo $\frac{dV}{dt}\bigl\vert_{t=t_0} = 20\cdot \pi\cdot(2)^2 = 80\pi~ (m^3/s)$

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Definição 4.1.3.

Suponhamos que uma partícula se desloca sobre o eixo $x$ de acordo com uma função de posição $x = f(t)\text{.}$ A velocidade média da partícula entre os instantes $t$ e $t+\Delta t$ é definida pelo quociente

$\begin{equation*} \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}, \text{ onde } \Delta x = f(t+\Delta t)-f(t) \end{equation*}$

é o deslocamento da partícula entre os instantes $t$ e $t+\Delta t\text{.}$

A velocidade da partícula no instante $t$ é definida como sendo a derivada (caso exista) de $f$ em $t\text{.}$ Assim, $v(t) = f'(t)$

A aceleração no instante $t$ é definida como sendo a derivada em $t$ da função $v = v(t)\text{;}$ Assim, $a(t) = v'(t) = f''(t)$

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Exemplo 4.1.4.

Uma partícula move-se (de acordo com a animação abaixo) sobre o eixo $x$ de modo que no instante $t$ a posição $x$ é dada por $x = \cos(3t)\text{,}$ $t\geq 0\text{.}$ Suponha $x$ dado em metros e $t$ em segundos.

Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes $t=0\text{,}$ $t=\frac{\pi}{6}\text{,}$ $t=\frac{\pi}{3}\text{,}$ $t=\frac{\pi}{2}\text{,}$ $t=\frac{2\pi}{3}\text{.}$
Qual a velocidade no instante $t\text{?}$
Qual a aceleração no instante $t\text{?}$
Esboce o gráfico da função de posição.

Resposta

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Exemplo 4.1.6.

Uma partícula move-se sobre o eixo $x$ (de acordo com a animação abaixo) de modo que no instante $t$ a posição $x$ é dada por $x = 3+2t-t^2\text{,}$ $t\geq 0\text{.}$

Qual a velocidade no instante $t\text{?}$
Qual a aceleração no instante $t\text{?}$
Estude a variação de sinal de $v(t)\text{.}$
Esboce o gráfico da função de posição.

Resposta

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Exemplo 4.1.8.

Um ponto $P$ move-se sobre a parábola $y=3x^2-2x$ (conforme a animação abaixo). Suponha que as coordenadas $x(t)$ e $y(t)$ de $P$ são deriváveis e que $\frac{dx}{dt}\neq0\text{.}$ Pergunta-se: em que ponto da parábola a velocidade da ordenada $y$ de $P$ é o triplo da velocidade da abscissa $x$ de $P\text{?}$

Solução 1

Como a velocidade da ordenada $y$ de $P$ é o triplo da velocidade da abscissa $x$ de $P\text{,}$ temos

\begin{equation} y'(t) = 3x'(t) \label{eq-00001}\tag{4.1.1} \end{equation}

Usando derivação implícita em $y=3x^2-2x\text{,}$ obtemos:

\begin{equation} y'(t) = 6x(t)x'(t) - 2x'(t)\label{eq-00002}\tag{4.1.2} \end{equation}

Substituindo (4.1.1) em (4.1.2) temos

\begin{equation*} 6x-2 = 3 \Rightarrow x = \dfrac{5}{6}. \end{equation*}

Solução 2

Como a velocidade da ordenada $y$ de $P$ é o triplo da velocidade da abscissa $x$ de $P\text{,}$ temos

\begin{equation} \dfrac{dy}{dt} = 3\dfrac{dx}{dt} \label{eq-00001}\tag{4.1.3} \end{equation}

Usando derivação implícita:

\begin{equation} \dfrac{dy}{dt} = 6x\dfrac{dx}{dt} - 2\dfrac{dx}{dt}\label{eq-00002}\tag{4.1.4} \end{equation}

Substituindo (4.1.1) em (4.1.2) temos

\begin{equation*} 6x-2 = 3 \Rightarrow x = \dfrac{5}{6}. \end{equation*}

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Exercícios 4.1.1 Exercícios

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1.

Uma partícula desloca-se sobre o eixo $x$ com função de posição $x = \frac{1}{3}t+2, t\geq 0\text{.}$

Determine a velocidade no instante $t\text{.}$
Qual a aceleração no instante $t\text{?}$
Esboce o gráfico da função de posição.

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2.

A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo $x$ depende do tempo de acordo com a equação $x = -t^5+2t^4-t^2, t\geq 0\text{.}$

Determine a velocidade no instante $t\text{.}$
Determine a aceleração no instante $t\text{.}$