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Seção 4.1 Problemas de Taxa de Variação

Definição 4.1.1.

Seja a função \(y = f(x)\text{.}\) A razão

\begin{equation*} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{equation*}

é a taxa média de variação de \(f\) entre \(x\) e \(x+\Delta x\text{.}\) A derivada de \(f\text{,}\) em \(x\) é também denominada de taxa de variação de \(f\) em \(x\text{.}\)

Exemplo 4.1.2.

O raio de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de \(5\) (m/s). Com que taxa está variando o volume da esfera no instante em que \(r = 2\) (m)?

Solução 1

Seja \(t_0\) o instante em que \(r=2\text{.}\) Queremos calcular \(V'(t_0)\text{.}\) Sabemos que \(V(t) = \dfrac{4}{3}\pi (r(t))^3\text{.}\) Pela regra da cadeia

\begin{equation*} V'(t) = \frac{4}{3}\pi ((r(t))^3)' = \frac{4}{3}\pi\cdot 3(r(t))^2\cdot r'(t). \end{equation*}

Como \(r'(t) = 5\text{,}\) temos

\begin{equation*} V'(t) = 20\pi (r(t))^2. \end{equation*}

Para \(t=t_0\text{,}\) \(r=2\text{,}\) logo

\begin{equation*} V'(t_0) = 20\cdot \pi\cdot(2)^2 = 80\pi~ (m^3/s). \end{equation*}
Solução 2

Seja \(t_0\) o instante em que \(r=2\text{.}\) Queremos calcular \(\frac{dV}{dt}\bigl\vert_{t=t_0}\text{.}\) Sabemos que \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\text{.}\) Pela regra da cadeia

\begin{equation*} \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}. \end{equation*}

Como \(\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2\) e \(\frac{dr}{dt} = 5\text{,}\) temos

\begin{equation*} \frac{dV}{dr} = 20\pi r^2. \end{equation*}

Para \(t=t_0\text{,}\) \(r=2\text{,}\) logo \(\frac{dV}{dt}\bigl\vert_{t=t_0} = 20\cdot \pi\cdot(2)^2 = 80\pi~ (m^3/s)\)

Definição 4.1.3.

Suponhamos que uma partícula se desloca sobre o eixo \(x\) de acordo com uma função de posição \(x = f(t)\text{.}\) A velocidade média da partícula entre os instantes \(t\) e \(t+\Delta t\) é definida pelo quociente

\begin{equation*} \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}, \text{ onde } \Delta x = f(t+\Delta t)-f(t) \end{equation*}

é o deslocamento da partícula entre os instantes \(t\) e \(t+\Delta t\text{.}\)

A velocidade da partícula no instante \(t\) é definida como sendo a derivada (caso exista) de \(f\) em \(t\text{.}\) Assim, \(v(t) = f'(t)\)

A aceleração no instante \(t\) é definida como sendo a derivada em \(t\) da função \(v = v(t)\text{;}\) Assim, \(a(t) = v'(t) = f''(t)\)

Exemplo 4.1.4.

Uma partícula move-se (de acordo com a animação abaixo) sobre o eixo \(x\) de modo que no instante \(t\) a posição \(x\) é dada por \(x = \cos(3t)\text{,}\) \(t\geq 0\text{.}\) Suponha \(x\) dado em metros e \(t\) em segundos.

Figura 4.1.5.
  1. Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes \(t=0\text{,}\) \(t=\frac{\pi}{6}\text{,}\) \(t=\frac{\pi}{3}\text{,}\) \(t=\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(t=\frac{2\pi}{3}\text{.}\)
  2. Qual a velocidade no instante \(t\text{?}\)
  3. Qual a aceleração no instante \(t\text{?}\)
  4. Esboce o gráfico da função de posição.
Resposta
Exemplo 4.1.6.

Uma partícula move-se sobre o eixo \(x\) (de acordo com a animação abaixo) de modo que no instante \(t\) a posição \(x\) é dada por \(x = 3+2t-t^2\text{,}\) \(t\geq 0\text{.}\)

Figura 4.1.7.
  1. Qual a velocidade no instante \(t\text{?}\)
  2. Qual a aceleração no instante \(t\text{?}\)
  3. Estude a variação de sinal de \(v(t)\text{.}\)
  4. Esboce o gráfico da função de posição.
Resposta
Exemplo 4.1.8.

Um ponto \(P\) move-se sobre a parábola \(y=3x^2-2x\) (conforme a animação abaixo). Suponha que as coordenadas \(x(t)\) e \(y(t)\) de \(P\) são deriváveis e que \(\frac{dx}{dt}\neq0\text{.}\) Pergunta-se: em que ponto da parábola a velocidade da ordenada \(y\) de \(P\) é o triplo da velocidade da abscissa \(x\) de \(P\text{?}\)

Figura 4.1.9.
Solução 1

Como a velocidade da ordenada \(y\) de \(P\) é o triplo da velocidade da abscissa \(x\) de \(P\text{,}\) temos

\begin{equation} y'(t) = 3x'(t) \label{eq-00001}\tag{4.1.1} \end{equation}

Usando derivação implícita em \(y=3x^2-2x\text{,}\) obtemos:

\begin{equation} y'(t) = 6x(t)x'(t) - 2x'(t)\label{eq-00002}\tag{4.1.2} \end{equation}

Substituindo (4.1.1) em (4.1.2) temos

\begin{equation*} 6x-2 = 3 \Rightarrow x = \dfrac{5}{6}. \end{equation*}
Solução 2

Como a velocidade da ordenada \(y\) de \(P\) é o triplo da velocidade da abscissa \(x\) de \(P\text{,}\) temos

\begin{equation} \dfrac{dy}{dt} = 3\dfrac{dx}{dt} \label{eq-00001}\tag{4.1.3} \end{equation}

Usando derivação implícita:

\begin{equation} \dfrac{dy}{dt} = 6x\dfrac{dx}{dt} - 2\dfrac{dx}{dt}\label{eq-00002}\tag{4.1.4} \end{equation}

Substituindo (4.1.1) em (4.1.2) temos

\begin{equation*} 6x-2 = 3 \Rightarrow x = \dfrac{5}{6}. \end{equation*}

Exercícios 4.1.1 Exercícios

1.

Uma partícula desloca-se sobre o eixo \(x\) com função de posição \(x = \frac{1}{3}t+2, t\geq 0\text{.}\)

  1. Determine a velocidade no instante \(t\text{.}\)
  2. Qual a aceleração no instante \(t\text{?}\)
  3. Esboce o gráfico da função de posição.
2.

A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo \(x\) depende do tempo de acordo com a equação \(x = -t^5+2t^4-t^2, t\geq 0\text{.}\)

  1. Determine a velocidade no instante \(t\text{.}\)
  2. Determine a aceleração no instante \(t\text{.}\)