[skip-to-content]

Seção 1.5 Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

Subseção 1.5.1 Funções Exponenciais

Definição 1.5.1.

Uma função exponencial é uma função da forma

\begin{equation*} f(x) = a^x, \end{equation*}

em que \(a>0\) e \(a\neq 1\text{.}\)

Observação 1.5.2.

Lembre que: sendo \(a>0\text{,}\) se \(n\in \mathbb{N}\) e \(m\in \mathbb{Z}\text{,}\) então

  • \(\displaystyle a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot a\cdots a}_{n fatores}\)
  • \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)
  • \(\displaystyle a^0=1\)
  • \(\displaystyle a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}\)
Observação 1.5.3.

A função exponencial \(f(x)=a^x\text{,}\) em que \(a>0\) e \(a\neq 1\text{,}\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e imagem \((0, +\infty)\text{.}\) O gráfico de \(f\) tem uma das seguintes formas:

Observação 1.5.4.

(Propriedades dos expoentes) Sejam \(a\) e \(b\) numeros positivos e \(x,y\) números reais quaisquer, então:

  1. \(\displaystyle a^{x+y}=a^xa^y\)
  2. \(\displaystyle (a^x)^y=a^{xy}\)
  3. \(\displaystyle a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}\)
  4. \(\displaystyle (ab)^x=a^xb^x\)
  5. \(\left(\frac{a}{b} \right)^x=\frac{a^x}{b^x}\text{,}\) se \(b\neq 0.\)

Subseção 1.5.2 Funções Logarítmicas

Toda função exponencial \(f(x)=a^x\text{,}\) com \(a>0\) e \(a\neq 1\text{,}\) é uma função injetiva, portanto possui uma função inversa. A função inversa \(f^{-1}\) é chamada de função logarítmica com base \(a\) e é denotada por \(\log_a\text{.}\)

Definição 1.5.5.

Seja \(a\) um número real positivo com \(a\neq 1\text{.}\) A função logarítmica com base \(a\), é definida por

\begin{equation*} \log_ax=y \Leftrightarrow a^y=x. \end{equation*}
Exemplo 1.5.6.

Calcule:

  1. \(\displaystyle \log_3 27\)
  2. \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}16\)
  3. \(\displaystyle \log_{16}4\)
Exemplo 1.5.8.

Determine o valor de \(x\text{:}\)

  1. \(\displaystyle \log_2 x=5\)
  2. \(\displaystyle \log_3 243 =x\)
  3. \(\displaystyle \log_5 x=2\)
  4. \(\displaystyle \log_{10}0,01 =x\)
  5. \(\displaystyle \log_3 x=3\)
  6. \(\displaystyle \log_4 2=x\)
Observação 1.5.9.

A função exponencial \(f(x)=a^x\text{,}\) em que \(a>0\) e \(a\neq 1\text{,}\) tem domínio \(\mathbb{R}\) e imagem \((0, +\infty)\text{,}\) logo sua função inversa, \(f^{-1}(x)=\log_ax\) é obtido refletindo o gráfico de \(a^x\) em relação a reta \(y=x\text{.}\) O gráfico da função logarítmica tem uma das seguintes formas:

Exemplo 1.5.10.

Esboce o gráfico, determine o domínio e a assíntota de \(f(x)=\log_2(x-4)\)

Exemplo 1.5.11.

Determine o domínio das seguintes funções

  1. \(\displaystyle f(x)=\log_3(x^2-1)\)
  2. \(\displaystyle f(x)=\log_5(8-2x)\)
Solução

item a) Como o domínio de \(\log_3x\) é o conjunto \(\{x\in\mathbb{R} ~|~ x>0\}\text{.}\) O domínio de \(\log_3(x^2-1)\) é dado pelo conjunto

\begin{equation*} \{ x\in \mathbb{R}~|~x^2-1>0\}. \end{equation*}

Fazendo o estudo do sinal para a função \(x^2-1\text{,}\) obtemos

\begin{equation*} x^2-1>0, \text{ se } x\lt-1 \text{ ou } x>1\text{.} \end{equation*}

Portanto, o domínio solicitado é dado pelo conjunto

\begin{equation*} \{ x\in \mathbb{R}~|~ x\lt-1 \text{ ou } x>1 \}\text{,} \end{equation*}

que também pode ser expresso pela união dos intervalos: \((-\infty, -1)\cup (1, \infty)\text{.}\)

De fato, podemos plotar o gráfico da função \(f(x)=\log_3(x^2-1)\) na união de intervalos dos tipos \((-a, -1)\cup (1, a)\text{,}\) como pode ser verificado a seguir:

Observação 1.5.12.

(Leis dos Logarítmos)

  1. \(\displaystyle \log_a(x\cdot y) = \log_ax + \log_ay\)
  2. \(\displaystyle \log_a(x/y) = \log_ax - \log_ay\)
  3. \(\displaystyle \log_a x^r = r\log_ax\)
  4. \(\log_bx = \frac{\log_ax}{\log_ab}\text{,}\) para \(b>0, b\neq 1\)

Exercícios 1.5.2.1 Exercícios

1.

Encontre o valor exato de cada expressão.

  1. \(\displaystyle \log_5 125\)
  2. \(\displaystyle \ln \dfrac{1}{e}\)
  3. \(\displaystyle \log_3\dfrac{1}{27}\)
  4. \(\displaystyle \log_{10}\sqrt{10}\)
  5. \(\displaystyle \log_2 6-\log_2 15+\log_2 20\)
  6. \(\displaystyle \log_3 100-\log_3 18-\log_3 50\)
  7. \(\displaystyle e^{-2\ln 5}\)
  8. \(\displaystyle \ln(\ln e^{e^{3}})\)
2.

Resolva cada equação em \(x\text{.}\)

  1. \(\displaystyle 2\log_2 x=1\)
  2. \(\displaystyle 3^{2x-2}-9=0\)
  3. \(\displaystyle \log_3(5-2x)=2\)
  4. \(\displaystyle 2^{x-5}=32\)
  5. \(\displaystyle 2^x=64\)
  6. \(\displaystyle 3^{x-2}=9\)
  7. \(\displaystyle 2^{4x-x^2}=8\)
  8. \(\displaystyle 3^{x-5}=27^{1-x}\)
  9. \(\displaystyle 2^{x+3}+2^{x+1}+2^x=88\)
  10. \(\displaystyle 7^x+7^{x-1}=8\)
  11. \(\displaystyle 5^x+5^{-x}=6\)