UFRPE-DM Regras de L'Hospital

Seção 4.2 Regras de L'Hospital

Teorema 4.2.1.

1ª Regra de L'Hospital: indeterminações do tipo \(\left[\frac{0}{0}\right]\text{.}\)

Sejam \(f\) e \(g\) funções deriváveis em \((p-r, p+r)\backslash\{p\} (r>0)\) com \(g'(x)\neq0\text{.}\) Se

\begin{equation*} \displaystyle\lim_{x\rightarrow p} f(x) = f(p) = 0 \quad\text{ e }\quad \displaystyle\lim_{x\rightarrow p} g(x) = g(p) = 0, \end{equation*}

e se \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow p} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) existir, então

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow p} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{equation*}

Demonstração.

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow p} \frac{\displaystyle\frac{f(x)}{x-p}}{\displaystyle\frac{g(x)}{x-p}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)}{x-p}}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow p}\frac{g(x)}{x-p}} = \lim_{x\rightarrow p} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{equation*}

Exemplo 4.2.2.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^4-2x^3+4x-3}{x^4-1}. \end{equation*}

Solução

Defina \(f(x) = x^4-2x^3+4x-3\) e \(g(x) = x^4-1\text{,}\) como \(f\) e \(g\) são diferenciáveis em \(\mathbb{R}\) e \(g'(x) \neq 0\text{,}\) vamos verificar as outras hipóteses da 1ª Regra de L'Hospital. Como

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1} x^4-2x^3+4x-3 = 0~~~~ \text{ e }~~~~ \lim_{x\rightarrow 1} x^4-1 = 0. \end{equation*}

Logo,

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1} \frac{(x^4-2x^3+4x-3)'}{(x^4-1)'} = \lim_{x\rightarrow 1} \frac{4x^3 - 6x^2 + 4}{4x^3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{equation*}

Pela 1ª Regra de L'Hospital

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^4-2x^3+4x-3}{x^4-1} = \frac{1}{2} \end{equation*}

Exemplo 4.2.3.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}{x^3-8} \end{equation*}

Resposta

R. \(\frac{2}{3}\text{.}\)

Teorema 4.2.4.

2ª Regra de L'Hospital: indeterminações do tipo \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\text{.}\)

Sejam \(f\) e \(g\) deriváveis em \((m, p)\) com \(g'(x)\neq0\text{.}\) Se

\begin{equation*} \displaystyle\lim_{x\rightarrow p^-} f(x) = +\infty ~~~\text{ e }~~~ \displaystyle\lim_{x\rightarrow p^-} g(x) = +\infty, \end{equation*}

e se \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow p^-} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) existir, então

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow p^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow p^-} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{equation*}

Exemplo 4.2.5.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x}. \end{equation*}

Solução

Defina \(f(x) = e^x\) e \(g(x) = x\text{,}\) como \(f\) e \(g\) são diferenciáveis em \(\mathbb{R}\) e \(g'(x) \neq 0\text{,}\) vamos verificar as outras hipóteses da 2ª Regra de L'Hospital. Como

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = +\infty~~~~ \text{ e }~~~~ \lim_{x\rightarrow +\infty} x = +\infty \end{equation*}

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{(e^x)'}{x'} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{1} = +\infty \end{equation*}

Pela 2ª Regra de L'Hospital

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \end{equation*}

Exemplo 4.2.6.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{3x^2-x}. \end{equation*}

Resposta

R. \(+\infty\text{.}\)

Exemplo 4.2.7.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+} x\cdot\ln{(4x^2+x)}. \end{equation*}

Solução

O limite é da forma:

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+} x\cdot\ln{(4x^2+x)} = \left[ 0\cdot(-\infty) \right] \end{equation*}

podemos fazer uma modificação para adequar a forma do limite:

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0^+} x\cdot\ln{(4x^2+x)} = \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\ln{(4x^2+x)}}{\frac{1}{x}}=\left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \end{equation*}

Agora podemos tentar usar a 2ª Regra de L'Hospital.

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\ln{(4x^2+x)}}{\frac{1}{x}}=\amp~ \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{(\ln{(4x^2+x))'}}{\left(\frac{1}{x}\right)'}\\ =\amp~\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\frac{8x+1}{4x^2+x}}{-\frac{1}{x^2}}\\ =\amp~\lim_{x\rightarrow 0^+} -\frac{8x+1}{4x^2+x}\cdot x^2\\ =\amp~- \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{x}{x}\cdot\frac{8x+1}{4x+1}\cdot x\\ =\amp~0 \end{align*}

Exercícios 4.2.1 Exercícios

1.

Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital onde for apropriado.

\(\displaystyle \lim_{x \to -1}\frac{4x^{3}+x^{2}+3}{x^{5}+1}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^{100}-x^{2}+x-1}{x^{10}-1}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}xe^{\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{e^{3x}}{x^{2}}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(x)}{e^{3x}}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\sin(x)\ln(x)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}(1-\cos(x))\ln(x)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(x^{2}+1)^{\frac{1}{\ln(x)}}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\left[\frac{1}{x}-\ln(x)\right]\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{-}}(1-\cos(x))^{\frac{1}{x}}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\tan(3x)-\sin(x)}{\sin^{3}(x)}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sec^{3}(x)}{1-\cos(x)}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^{3}e^{-4x}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right)\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 1^{-}}\frac{\frac{1}{e^{x^{2}-1}}}{x-1}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right)^{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}\left(\cos(3x)\right)^{\frac{1}{\sin(x)}}\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}}x^{\tan(x^{2})}\)