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Seção 1.3 Funções Elementares e Gráficos

Subseção 1.3.1 Gráfico de uma função real

Definição 1.3.1.

Seja \(f:A\rightarrow B\) uma função. O conjunto \(G_f=\{ (x,f(x)~|~ x\in A) \}\) denomina-se gráfico de \(f\text{.}\) Note que \(G_f\) é um subconjunto do plano \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\text{,}\) ou seja, é um subconjunto de todos os pares ordenados \((x,y)\) de número reais.

Subseção 1.3.2 Função Constante e Função Definida por Partes

Exemplo 1.3.2.

(Função constante) Uma função \(f(x)=k\text{,}\) com \(k\) constante, denomina-se função constante.

a) \(f(x)=2\) é uma função constante, tem-se \(D_f=\mathbb{R}\) e \(G_f=\{(x,2)~|~x\in \mathbb{R}\}\text{.}\)

b) \(g:[-1, 7)\rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(g(x)=-1\) é uma função constante e seu gráfico é

Exemplo 1.3.3.

(Função definida por partes) Seja

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1, \amp x\geq 0 \\ -1, \amp x \lt 0 \end{cases} \end{equation*}

\(D_f=\mathbb{R}\)

Subseção 1.3.3 Função Afim

Exemplo 1.3.4.

(Função afim) Uma função real da forma \(f(x)=ax+b\text{,}\) com \(a\neq 0\) e \(b\) constantes, denomina-se função afim.

Se \(b=0\text{,}\) a função assume o formato \(f(x)=ax\) e é conhecida como função linear.
Exemplo 1.3.5.

Determine as raízes e faça o estudo do sinal das seguintes funções:

  1. \(\displaystyle f(x)=2x+4\)
  2. \(\displaystyle f(x)=-2x+3\)
  3. \(\displaystyle f(x)=(x-1)(2x+2)\)
  4. \(\displaystyle f(x) = (3x-6)(-2x+4)(2x-1)\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+6}{3x+1}\)

Subseção 1.3.4 Função Polinomial

Exemplo 1.3.6.

(Função polinomial) Uma função \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) dada por

\begin{equation*} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x^1+a_0, \end{equation*}

na qual, \(a_n\neq 0\text{,}\) \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) são números reais fixos, denomina-se função polinomial de grau \(n (n\in \mathbb{N})\).

a) \(f(x)=x^2-4\) é uma função polinomial de grau 2 e seu gráfico é a parábola.

a) \(f(x)=(x-1)^3\) é uma função polinomial de grau 3 e seu gráfico é obtido do gráfico de \(f(x)=x^3\text{,}\) transladando-o uma unidade para a direita.

Definição 1.3.7.

Uma função real \(f\) é chamada de função quadrática se existem números reais \(a, b, c\in \mathbb{R}\text{,}\) com \(a\neq 0\text{,}\) tais que

\begin{equation*} f(x)=ax^2+bx+c. \end{equation*}

O domínio de uma função quadrática é \(\mathbb{R}\text{.}\)

Observação 1.3.8.

(Zeros de uma função quadrática) Sendo \(f(x)=ax^2+bx+c\text{,}\) com \(a\neq 0\text{,}\) o número

\begin{equation*} \Delta = b^2-4ac \end{equation*}

é chamado discriminante da função quadrática \(f\text{.}\)

Caso 1: Se \(\Delta\geq 0\text{,}\) então as raízes de \(f\) são

\begin{equation*} x' = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{e}\quad x'' = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \end{equation*}

Note que: se \(\Delta=0\text{,}\) então \(x'=x''\text{.}\)

Caso 2: Se \(\Delta\lt 0\text{,}\) então \(f\) não possui raízes reais.

Observação 1.3.9.

(Fatoração) Se \(\Delta\geq 0\text{,}\) então podemos "fatorar" o trinômio da seguinte forma:

\begin{equation*} f(x)=ax^2+bx+c = a(x-x')(x-x''). \end{equation*}
Observação 1.3.10.

(O gráfico de uma função quadrática) O gráfico de uma função quadrática é uma "parábola". Abaixo segue algumas informações importantes:

    • Se \(a>0\text{,}\) a concavidade da parábola é para cima.
    • Se \(a\lt 0\text{,}\) a concavidade da parábola é para baixo.
    • Se \(\Delta=0\text{,}\) \(f\) possui uma raiz real dupla (a parábola intersecta o eixo \(x\) uma vez só no ponto)
    • Se \(\Delta>0\text{,}\) \(f\) possui duas raízes reais distintas (a parábola intersecta o eixo \(x\) em dois pontos)
    • Se \(\Delta\lt 0\text{,}\) \(f\) não possui raiz real(a parábola não intersecta o eixo \(x\text{.}\)
    • O vértice da parábola é o ponto \(V(x_v, y_v)\text{,}\) com
      \begin{equation*} x_v = \frac{-b}{2a}\quad \text{e}\quad y_v=\frac{-\Delta}{4a}. \end{equation*}
Exemplo 1.3.11.

Esboce o gráfico das funções. Além disso, se for possível, faça a fatoração:

  1. \(\displaystyle f(x)=2x^2-4x-16\)
  2. \(\displaystyle f(x)=-x^2-10x-25\)
  3. \(\displaystyle f(x)=-x^2+3x\)
  4. \(\displaystyle f(x)=x^2-2x+1\)
  5. \(\displaystyle f(x)=-x^2-x-1\)

Abaixo, podemos usar o SageMath para obter a fatoração de funções quadráticas, conforme a Observação 1.3.9.

Abaixo, podemos usar o SageMath para obter o gráfico de funções quadráticas.
Exemplo 1.3.12.

Estude o sinal de \(f(x)\text{:}\)

  1. \(\displaystyle f(x)=x^2-9\)
  2. \(\displaystyle f(x)=-x^2+4x-4\)
  3. \(\displaystyle f(x)=2x^2+2x+2\)
  4. \(\displaystyle f(x)=(x+2)(x^2+2x+2)\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\frac{-x^2-x}{x-1}\)

Subseção 1.3.5 Função Racional

Definição 1.3.13.

(Função racional) Uma função racional \(f\) é uma função dada por

\begin{equation*} f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} \end{equation*}

na qual, \(p\) e \(q\) são funções polinomiais. O domínio de \(f\) é o conjunto \(\{ x\in \mathbb{R}~|~ q(x)\neq 0 \}\text{.}\)

Exemplo 1.3.14.

a)

\begin{equation*} f(x)=\frac{1}{x} \end{equation*}

é uma função racional com \(p=1\) e \(q=x\text{.}\) \(D_f=\{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq 0\}\text{.}\)

b)

\begin{equation*} f(x)=\frac{x+1}{x-1} \end{equation*}

é uma função racional com \(p=x+1\) e \(q=x-1\text{.}\) \(D_f=\{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq 1\}\text{.}\)

Exemplo 1.3.15.

Determine o domínio das seguintes funções racionais:

  1. \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}\)
  2. \(\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2-x}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)

Subseção 1.3.6 Função Algébrica

Definição 1.3.16.

Uma função real \(f\) é chamada função algébrica se puder ser construída usando-se operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) começando com os polinômios.

Exemplo 1.3.17.

Determine o domínio das seguintes funções algébricas:

  1. \(\displaystyle f(x)=2x^3-x+4\)
  2. \(\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x^2-4}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-1}\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\frac{2x}{\sqrt{-x+1}}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{-x^2-x+2}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x+1}\)
  7. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{-x+1}}\)

Subseção 1.3.7 Função Modular

Definição 1.3.18.

A função modular é a função real definida por

\begin{equation*} f(x)=|x|=\begin{cases} x, \amp \text{ se } x\geq0\\ -x, \amp \text{ se } x\lt 0\\ \end{cases} \end{equation*}

Abaixo segue o gráfico da função \(f(x)=|x|\text{.}\)

Exemplo 1.3.19.

Esboce o gráfico de \(f(x)=|x-1|+2\text{.}\)

Solução

O módulo pode ser reescrito da seguinte maneira:

\begin{equation*} |x-1| = \begin{cases} x-1, \amp x\geq 1 \\ -(x-1), \amp x \lt 1 \end{cases} \end{equation*}

Portanto, a funçao \(f\) pode ser reescrita assim:

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x-1+2, \amp x\geq 1 \\ -(x-1)+2, \amp x \lt 1 \end{cases} \end{equation*}

ou

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} x+1, \amp x\geq 1 \\ -x+3, \amp x \lt 1 \end{cases} \end{equation*}
Exemplo 1.3.20.

Considere \(f(x)=|2x+2|+|-x+3|\)

  1. Mostre que
    \begin{equation*} f(x)=\begin{cases} -3x+1, \amp \text{ se } x\lt -1\\ x+5, \amp \text{ se } -1\leq x\lt 3\\ 3x-1, \amp \text{ se } x\geq 3\\ \end{cases} \end{equation*}
  2. Esboce o gráfico de \(f\text{.}\)

Exercícios 1.3.8 Exercícios

1.

Determine o domínio e determine se a função é crescente, decrescente ou constante.

  1. \(\displaystyle f(x)=3x\)
  2. \(\displaystyle h(x)=-x+1\)
  3. \(\displaystyle h(x)=\dfrac{x^2-1}{x+1}\)
  4. \(\displaystyle g(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x-1}\)
2.

Estude a variação do sinal de \(f(x)\text{.}\)

  1. \(\displaystyle f(x)=(x-1)(x+2)\)
  2. \(\displaystyle f(x)=x(1-x)\)
  3. \(\displaystyle f(x)=(-x+2)(x-3)\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\dfrac{-2x+1}{x-2}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=\dfrac{x(2x-1)}{x+1}\)
  7. \(\displaystyle f(x)=(-2x-4)(x+1)(x-2)\)
3.

Determine o domínio

  1. \(\displaystyle h(x)=\sqrt{x+2}\)
  2. \(\displaystyle y=\sqrt{x(2-3x)}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2x-1}}\)
  4. \(\displaystyle y=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\)
  5. \(\displaystyle y=\sqrt{2+x^2}\)
  6. \(\displaystyle y=\sqrt[3]{x}\)
  7. \(\displaystyle y=\sqrt[3]{x^2-x}\)
4.

Determine o domínio, esboce o gráfico e determine em quais intervalos a função é crescente, decrescente ou constante.

  1. \(\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll} x \amp \mbox{ se } x\leq 2 \\ 3 \amp \mbox{ se } x>2 \end{array} \right.\)
  2. \(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2x \amp \mbox{ se } x\leq -1 \\ -x+1 \amp \mbox{ se } x>-1 \end{array} \right.\)
  3. \(\displaystyle h(x)=|x-1|\)
  4. \(\displaystyle g(x)=\dfrac{|x|}{x}\)
  5. \(\displaystyle g(x)= \dfrac{|x-1|}{x-1}\)
5.

Considere a função \(f(x)=|x-1|+|x-2|\text{.}\)

  1. Mostre que \(f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -2x+3 \amp \mbox{ se } \amp x\leq 1 \\ 1 \amp \mbox{ se } \amp 1\lt x\lt 2\\ 2x-3 \amp \mbox{ se } \amp x\geq 2 \end{array} \right.\)
  2. Esboce o gráfico de \(f.\)
  3. Determine em quais intervalos \(f\) é crescente, decrescente ou constante.
6.

Esboce o gráfico.

  1. \(\displaystyle g(x)=|x|-1\)
  2. \(\displaystyle f(x)=|x|+|x-2|\)
  3. \(\displaystyle y=||x|-1|\)