Seção 3.3 Derivabilidade e Continuidade, Regras de Derivação
Subseção 3.3.1 Derivabilidade e Continuidade
Observação 3.3.1.
Já vimos que a função \(f(x)=|x|\) não é derivável em \(p=0\text{,}\) entretanto esta função é contínua em \(p=0\text{,}\) o que nos mostra que uma função pode ser contínua em um ponto sem ser derivável neste ponto.
Desse modo, continuidade não implica diferenciabilidade. Entretanto, diferenciabilidade implica continuidade.
Teorema 3.3.2.
Se \(f\) for diferenciável em \(p\text{,}\) então \(f\) é contínua em \(p\text{.}\)
Demonstração.
Para demonstrar o teorema, basta mostrar que
\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p).
\end{equation*}
Observe que
\begin{align*}
f(x)-f(p) =\amp~ \frac{f(x)-f(p)}{x-p}(x-p) \\
\lim_{x\rightarrow p}(f(x)-f(p)) =\amp~ \lim_{x\rightarrow p} \left(\frac{f(x)-f(p)}{x-p}(x-p)\right) \\
=\amp~ \lim_{x\rightarrow p} \left(\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\right)\cdot \lim_{x\rightarrow p}(x-p) \\
=\amp~ f'(p)\cdot 0 \\
=\amp~ 0.
\end{align*}
Observação 3.3.3.
Segue do Teorema que, se \(f\) não for contínua em \(p\text{,}\) então \(f\) não poderá ser derivável em \(p\text{.}\)
Exemplo 3.3.4.
A função,
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases}
x^2, \amp x\leq 1 \\
2, \amp x >1 \end{cases}
\end{equation*}
é derivável em \(p=1\text{?}\) Por quê?
DicaExemplo 3.3.5.
Considere a função,
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases}
x^2, \amp x\leq 1 \\
2x-1, \amp x >1 \end{cases}
\end{equation*}
- \(f\) é diferenciável em \(p=1\text{?}\)
- \(f\) é contínua em \(p=1\text{?}\)
Subseção 3.3.2 Regras de Derivação
Teorema 3.3.6.
Sejam \(f\) e \(g\) deriváveis em \(p\) e seja \(k\) uma constante. Então
- \(\displaystyle (f+g)'(p) = f'(p)+g'(p)\)
- \(\displaystyle (kf)'(p) = kf'(p)\)
- \(\displaystyle (f\cdot g)'(p) = f'(p)\cdot g(p) + f(p)\cdot g'(p)\)
- Se \(g(p)\neq 0\text{,}\) então \(\left( \dfrac{f}{g} \right)'(p) = \dfrac{f'(p)\cdot g(p) - f(p)\cdot g'(p)}{(g(p))^2}\)
Demonstração.
item a)
\begin{align*}
(f + g)'(p) =\amp~ \lim_{x\rightarrow p} \frac{(f(x)+g(x))-(f(p)+g(p))}{x-p}\\
=\amp~\lim_{x\rightarrow p}\left( \frac{(f(x)-f(p))}{x-p} + \frac{(g(x)-g(p))}{x-p} \right)\\
=\amp~\lim_{x\rightarrow p}\left( \frac{(f(x)-f(p))}{x-p}\right) + \lim_{x\rightarrow p}\left(\frac{(g(x)-g(p))}{x-p} \right)\\
=\amp~f'(p)+g'(p)
\end{align*}
item b)
\begin{align*}
(kf)'(p) =\amp~ \lim_{x\rightarrow p} \frac{kf(x)-kf(p)}{x-p}\\
=\amp~k\cdot\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}\\
=\amp~kf'(p)
\end{align*}
item c)
\begin{align*}
(f\cdot g)'(p) =\amp~ \lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)g(x)-f(p)g(p)}{x-p}\\
=\amp~\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)g(x) - f(p)g(x) +f(p)g(x) -f(p)g(p)}{x-p}\\
=\amp~\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p}\cdot \lim_{x\rightarrow p} g(x) + f(p)\cdot\lim_{x\rightarrow p}\frac{g(x) -g(p)}{x-p}\\
=\amp~f'(p)\cdot g(p) + f(p)\cdot g'(p)
\end{align*}
item d)
\begin{align*}
\left(\frac{f}{g}\right)'(p) =\amp~ \lim_{x\rightarrow p} \frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(p)}{g(p)}}{x-p}\\
=\amp~\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)g(p) - f(p)g(x)}{x-p} \cdot \frac{1}{g(x)g(p)}\\
=\amp~\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)g(p) -f(p)g(p) + f(p)g(p) - f(p)g(x)}{x-p} \cdot \frac{1}{g(x)g(p)}\\
=\amp~\lim_{x\rightarrow p} \left( \frac{f(x) -f(p)}{x-p}\cdot g(p) - f(p)\cdot\frac{g(x) -g(p)}{x-p}\right) \cdot \frac{1}{g(x)g(p)}\\
=\amp~\dfrac{f'(p)\cdot g(p) - f(p)\cdot g'(p)}{(g(p))^2}
\end{align*}
Exemplo 3.3.7.
Calcule \(f'(x)\text{.}\)
- \(\displaystyle f(x)=4x^3+x^2\)
- \(\displaystyle f(x)=5x^4+4\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+1}\)
- \(\displaystyle f(x)=(3x^2+1)e^x\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{sen(x)}{x+1}\)
- \(\displaystyle f(x)=x^3+\ln{x}\)
- \(\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}+\sqrt{x}\)
Exercícios 3.3.3 Exercícios
1.
Mostre as regras de derivação:
- \(\displaystyle \tan'x = (\sec{x})^2 = \sec^2x\)
- \(\displaystyle \sec'{x} = \sec{x}\cdot\tan{x}\)
- \(\displaystyle cotg'x = -cosec^2x\)
- \(\displaystyle cosec'x = -cosec~x\cdot cotg~x\)
2.
Considere a função definida por partes dada por:
\begin{equation*}
f(x)= \left\{
\begin{array}{rcl}
x^{2},\amp\mbox{se} \amp x\leq 1\\
2,\amp \mbox{se}\amp x > 1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
- \(f\) é contínua no ponto \(a=1?\)
- \(f\) é diferenciável no ponto \(a=1?\)
3.
Considere a função definida por partes dada por:
\begin{equation*}
f(x)= \left\{
\begin{array}{rcl}
x^{2},\amp\mbox{se} \amp x\leq 1\\
1,\amp \mbox{se}\amp x > 1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
- \(f\) é contínua no ponto \(a=1?\)
- \(f\) é diferenciável no ponto \(a=1?\)
4.
Considere a função definida por partes dada por:
\begin{equation*}
f(x)= \left\{
\begin{array}{rcl}
x^{2},\amp\mbox{se} \amp x\leq 1\\
2x-1,\amp \mbox{se}\amp x > 1
\end{array}
\right.
\end{equation*}
- \(f\) é contínua no ponto \(a=1?\)
- \(f\) é diferenciável no ponto \(a=1?\)
5.
Use as regras de derivação para calcular \(f'(x)\) nos seguinte casos:
- \(\displaystyle f(x)= 3x+\sqrt{x}\)
- \(\displaystyle f(x)= 5+3x^{-2}\)
- \(\displaystyle f(x)= 2\sqrt[3]{x}\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}+\frac{5}{x^{2}}\)
- \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x}+\sqrt{x}\)
- \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}(x-1)\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+4x+3}{\sqrt{x}}\)
- \(\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x^{2}} + 2\sqrt{x^{3}}\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{x-3x\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-1}{x+1}\)
- \(\displaystyle f(x)= \frac{3x^{2}+3}{5x-3}\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}\)
- \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}+\frac{3}{x^{3}+2}\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}+x}{\sqrt{x}}\)
- \(\displaystyle f(x)=\frac{x+\sqrt[4]{x}}{x^{2}+3}\)