Seção 1.6 Funções Trigonométricas
Definição 1.6.1.
O círculo unitário é o círculo de raio \(1\) centrado na origem do plano \(xy\text{.}\) Sua equação é \(x^2+y^2=1\text{.}\)
Vamos associar cada número real \(t\) a um ponto \(p\) do círculo unitário da seguinte forma: se \(t\) for positivo, iniciando no ponto \((1,0)\text{,}\) movemos sobre o círculo no sentido anti-horário uma distância \(t\text{;}\) se \(t\) for negativo, iniciando no ponto \((1,0)\text{,}\) movemos sobre o círculo no sentido horário uma distância \(|t|\text{:}\) 
Definição 1.6.3.
Definimos \(\cos{t}\) e \(sen~{t}\) como as coordenadas dos ponto \(p\text{,}\) mais precisamente: \(p=(\cos{t}, sen~{t}).\) 
Proposição 1.6.5.
Propriedades imediatas:
- Como \(p=(\cos{t}, sen~{t})\) está no círculo unitário, então\begin{equation*} \cos^2{t} + sen^2{t} =1, \quad \forall ~ t \in \mathbb{R}. \end{equation*}
- Além disso,\begin{equation*} -1\leq \cos{t}\leq 1 \quad \text{ e } \quad -1\leq sen~{t} \leq 1, \quad \forall~ t\in \mathbb{R}. \end{equation*}
-
Lembrando que:
Figura 1.6.6. Os quatro quadrantes. - 1º Quad. \(\rightarrow 0\lt t\lt \frac{\pi}{2}\)
- 2º Quad. \(\rightarrow \frac{\pi}{2}\lt t\lt \pi\)
- 3º Quad. \(\rightarrow \pi\lt t\lt \frac{3\pi}{2}\)
- 4º Quad. \(\rightarrow \frac{3\pi}{2}\lt t\lt 2\pi\)
Então
Tabela 1.6.7. \(t\) \(\quad 0\quad\) \(\quad\frac{\pi}{2}\quad\) \(\quad\pi\quad\) \(\quad\frac{3\pi}{2}\quad\) \(\quad 2\pi\quad\) \(sen~{t}:\) \(0\) \(1\) \(0\) \(-1\) \(0\) \(\cos{t}:\) \(1\) \(0\) \(-1\) \(0\) \(1\) - Quanto ao sinal dessas funções nos quadrantes:
Tabela 1.6.8. 1º Quad. 2º Quad. 3º Quad. 4º Quad. seno: \(+\) \(+\) \(-\) \(-\) cosseno: \(+\) \(-\) \(-\) \(+\) - As funções seno e cosseno são periódicas com período \(2\pi\text{,}\) ou seja, \(sen~{(t+2n\pi)} = sen~{(t)}\) e \(\cos{(t+2n\pi)} = \cos{(t)}, ~ \forall~ n\in \mathbb{Z}, ~\forall t\in \mathbb{R}\text{.}\)
Definição 1.6.9.
Funções pares e funções ímpares são funções que satisfazem relações de simetria particulares, com respeito a tomar inversas aditivas. Seja f uma função real.
- Dizemos \(f\) é par se a seguinte equação vale para todo x tal que x e −x estão no domínio de \(f\text{:}\)\begin{equation*} f(x) = f(-x). \end{equation*}
- Dizemos \(f\) é ímpar se a seguinte equação vale para todo x tal que x e −x estão no domínio de \(f\text{:}\)\begin{equation*} f(x) = -f(-x). \end{equation*}
Gráfico da função \(f(x)=sen(x)\text{.}\) 
- Podemos observar que seno é uma função ímpar, ou seja,\begin{equation*} sen(-x) = -sen(x), ~ \forall x\in \mathbb{R}. \end{equation*}
- O domínio da função seno é \(\mathbb{R}\text{.}\)
- A imagem da função seno é \([-1, 1]\text{.}\)
Gráfico da função \(f(x)=\cos{(x)}\text{.}\) 
- Podemos observar que cosseno é uma função par, ou seja,\begin{equation*} \cos{(-x)} = \cos{(x)}, ~ \forall x\in \mathbb{R}. \end{equation*}
- O domínio da função cosseno é \(\mathbb{R}\text{.}\)
- A imagem da função cosseno é \([-1, 1]\text{.}\)
\(\quad x\quad \)
\(\quad \frac{\pi}{6}\quad \)
\(\quad \frac{\pi}{4}\quad \)
\(\quad \frac{\pi}{3}\quad \)
\(sen(x):\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos{(x)}:\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
Subseção 1.6.1 A função Tangente
Definição 1.6.13.
A função tangente é definida da seguinite forma:
Gráfico da função \(f(x)=tan(x)\text{.}\) 
Considerando \(f(x)=\tan{x}:\)
- \(D(f) = \{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq \frac{\pi}{2}+n\pi,~n\in \mathbb{Z}\}\text{.}\)
- \(Im(f)=\mathbb{R}\text{.}\)
- A função tangente é periódica de período \(\pi\text{,}\) isto é,\begin{equation*} \tan{(x)}=\tan{(x+n\pi)},\quad \forall~ n\in \mathbb{Z}, \forall~ x\in D(f)\text{.} \end{equation*}
- A função tangente é ímpar, isto é,\begin{equation*} \tan{(-x)} = -\tan{(x)}, \quad \forall~x\in D(f). \end{equation*}
Subseção 1.6.2 A função Cotangente
Definição 1.6.15.
A função cotangente é definida da seguinite forma:
Gráfico da função \(f(x)=\cot(x)\text{.}\) 
Considerando \(f(x)=\cot{x}:\)
- \(D(f) = \{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq n\pi,~n\in \mathbb{Z}\}\text{.}\)
- \(Im(f)=\mathbb{R}\text{.}\)
- A função cotangente é periódica de período \(\pi\text{,}\) isto é,\begin{equation*} \cot{(x)}=\cot{(x+n\pi)},\quad \forall~ n\in \mathbb{Z}, \forall~ x\in D(f)\text{.} \end{equation*}
- A função cotangente é ímpar, isto é,\begin{equation*} \cot{(-x)} = -\cot{(x)}, \quad \forall~x\in D(f). \end{equation*}
Subseção 1.6.3 A função Secante
Definição 1.6.17.
A função secante é definida da seguinite forma:
Gráfico da função \(f(x)=\sec(x)\text{.}\) 
Considerando \(f(x)=\sec{x}:\)
- \(D(f) = \{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq \frac{\pi}{2}+ n\pi,~n\in \mathbb{Z}\}\text{.}\)
- \(Im(f)=(-\infty, -1]\cup[1,+\infty)\text{.}\)
- A função secante é periódica de período \(2\pi\text{,}\) isto é,\begin{equation*} \sec{(x)}=\sec{(x+2n\pi)},\quad \forall~ n\in \mathbb{Z}, \forall~ x\in D(f)\text{.} \end{equation*}
- A função secante é par, isto é,\begin{equation*} \sec{(-x)} = \sec{(x)}, \quad \forall~x\in D(f). \end{equation*}
Subseção 1.6.4 A função Cossecante
Definição 1.6.19.
A função cossecante é definida da seguinite forma:
Gráfico da função \(f(x)=\csc(x)\text{.}\) 
Considerando \(f(x)=\csc{x}:\)
- \(D(f) = \{x\in \mathbb{R}~|~ x\neq n\pi,~n\in \mathbb{Z}\}\text{.}\)
- \(Im(f)=(-\infty, -1]\cup[1,+\infty)\text{.}\)
- A função cossecante é periódica de período \(2\pi\text{,}\) isto é,\begin{equation*} \csc{(x)}=\csc{(x+2n\pi)},\quad \forall~ n\in \mathbb{Z}, \forall~ x\in D(f)\text{.} \end{equation*}
- A função secante é ímpar, isto é,\begin{equation*} \csc{(-x)} = -\csc{(x)}, \quad \forall~x\in D(f). \end{equation*}
Exercícios 1.6.4.1 Exercícios
1.
Determine o valor exato de cada expressão.
- \(\displaystyle \sin\dfrac{2\pi}{3}\)
- \(\displaystyle \cos\dfrac{2\pi}{3}\)
- \(\displaystyle \tan\dfrac{2\pi}{3}\)
- \(\displaystyle \sin\dfrac{7\pi}{6}\)
- \(\displaystyle \cos\dfrac{7\pi}{6}\)
- \(\displaystyle \sec\dfrac{7\pi}{6}\)
- \(\displaystyle \mbox{cossec}\dfrac{7\pi}{6}\)
- \(\displaystyle \mbox{cotg}\dfrac{7\pi}{6}\)
- \(\displaystyle \tan \dfrac{11\pi}{6}\)
- \(\displaystyle \sec \dfrac{11\pi}{6}\)
2.
Se \(\cos\theta=-\dfrac{4}{5}\) e \(\pi\leq \theta\leq \dfrac{3\pi}{2},\) determine:
- \(\displaystyle \sin\theta\)
- \(\displaystyle \sec\theta\)
- \(\displaystyle \mbox{tg}\hspace{0.05cm}\theta\)
- \(\displaystyle \mbox{cossec}\hspace{0.05cm}\theta\)
- \(\displaystyle \mbox{cotg}\hspace{0.05cm}\theta\)
3.
Resolva as equações:
- \(sen(x)cos(x)=0\text{,}\) para \(0\leq x\lt 2\pi\text{.}\)Resposta
\(S = \left\{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \right\}\)
- \((2sen^2(x)-1)(4cos(x)-2)=0\text{,}\) para \(0\leq x\leq 2\pi\text{.}\)Resposta
\(S = \left\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \right\}\)
- \(cos(x)sen(x)-cos(x)+sen(x)-1=0\text{,}\) para \(0\leq x\lt 2\pi\text{.}\)Resposta
\(S = \left\{ \frac{\pi}{2}, \pi \right\}\)
- \((8sen^3(x)-1)(2cos(x)+\sqrt{3})=0\text{,}\) para \(0\leq x\lt 2\pi\text{.}\)Resposta
\(S = \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \right\}\)