[skip-to-content]

Seção 1.1 Números Reais e Propriedades

Subseção 1.1.1 Números Reais

Definição 1.1.1.

Um conjunto não-vazio \(A\) sobre o qual estão definidas duas operações, soma (denotada por \(+\)) e produto (denotada por \(\cdot\)) é chamado de anel comutativo com unidade se as seguintes condições são satisfeitas para quaisquer \(a,b,c\in A\text{.}\)

  1. Associatividade da soma: \((a+b)+c=a+(b+c);\)
  2. Existência de Elemento Neutro da soma: existe um (único) elemento \(0\in A\) tal que \(a+0=0+a=a\text{;}\)
  3. Existência de inverso aditivo: para cada \(x\in A\) existe um (único) \(y\in A\text{,}\) denotado por \(y=-x\text{,}\) tal que \(x+y=y+x=0\text{;}\)
  4. Comutatividade da soma: \(a+b=b+a;\)
  5. Associatividade do produto: \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\text{;}\)
  6. Distributividade: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b +a\cdot c\text{;}\)
  7. Existência de Elemento Neutro do produto: existe um (único) elemento \(1\in A\text{,}\) com \(1\neq 0\text{,}\) tal que \(a\cdot 1 = 1\cdot a= a\text{;}\)
  8. Comutatividade do Produto: \(a\cdot b=b\cdot a\text{.}\)
Definição 1.1.2.

Um anel \(A\text{,}\) com soma \(+\) e produto \(\cdot\text{,}\) é chamado Domínio de Integridade se além das 8 condições listadas acima, ele também satisfaz a seguinte condição:

  1. Anel sem divisores de zero: dados \(a,b\in A\text{;}\) \(a\cdot b=0\) implica que \(a=0\) ou \(b=0\text{.}\)
Definição 1.1.3.

Finalmente, um anel \(A\text{,}\) com soma \(+\) e produto \(\cdot\text{,}\) é chamado Corpo se além das condições 1 a 8, do Definição 1.1.1, ele também satisfaz a condição abaixo

  1. Existência de inverso multiplicativo: para cada \(x\in A\text{,}\) com \(x\neq 0\text{,}\) existe um (único) \(y\in A\text{,}\) denotado por \(y=x^{-1}\text{,}\) tal que \(x\cdot y=y\cdot x=1\text{.}\)

Tomaremos como postulado básico que \(\mathbb{R}\) munido com soma e produto usuais é um corpo. Enfatizando:

Além disso, consideraremos como verdade, e como fatos conhecidos, que:

  • O conjunto dos números inteiros \(\mathbb{Z}\text{,}\) munido com soma e produto usuais, é um domínio de integridade.
  • O conjunto dos números racionais \(\mathbb{Q}\text{,}\) munido com soma e produto usuais, é um corpo.

Pense um pouco: O conjunto dos números naturais \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}\text{,}\) munido com soma e produto usais, é um anel? Em caso negativo, quais as condições da definição de anel que não são satisfeitas por \(\mathbb{N}\text{?}\)

Pense um pouco: O domínio dos números inteiros \(\mathbb{Z}\) é um corpo?

Subseção 1.1.2 Desigualdades

Assumiremos como verdadeiro que existe um subconjunto de \(\mathbb{R}\) que satisfaz duas condições importantes, como veremos agora.

Notação. Denotaremos por \(\mathbb{R}^-\) o conjunto dos números reais \(-x\) em que \(x\in\mathbb{R}^+\text{.}\) A condição 2 do Axioma 1.1.5 garante que \(\mathbb{R}=\mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup \{0\}\) e que não existe nenhum número que pertença a dois desses conjuntos (ao mesmo tempo).

A seguinte proposição garante que todo número real não nulo tem quadrado positivo.

Como \(x\neq 0\text{,}\) pelo item 2 do Axioma 1.1.5, precisamos analisar dois casos.

(1º caso) Se \(x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) então \(x^2 = x\cdot x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) pelo item 1 do Axioma 1.1.5.

(2º caso) Se \(-x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) então \(x^2 = (-x)\cdot (-x) \in \mathbb{R}^+\text{,}\) pelo item 1 do Axioma 1.1.5.

Observação 1.1.7.

O número 1 é um número real positivo, pois pela Proposição 1.1.6,

\begin{equation*} 1=1^2\in\mathbb{R}^+. \end{equation*}

Por conseguinte, \(-1\) é um número real negativo. Uma vez que, pela Proposição 1.1.6 e pelo item 2 do Axioma 1.1.5, não existe número real cujo quadrado é negativo, logo a equação

\begin{equation*} x^2=-1 \end{equation*}

não possui solução em \(\mathbb{R}\text{.}\) Veremos mais a frente que essa equação possui solução no corpo \(\mathbb{C}\text{,}\) mas isso implica diretamente que em \(\mathbb{C}\) não podemos definir um conjunto de números complexos positivos que cumpra os dos itens do Axioma 1.1.5.

Agora podemos definir a relação de ordem em \(\mathbb{R}\text{.}\)

Definição 1.1.8.

Dados \(x,y\in\mathbb{R}\text{,}\) dizemos que \(x\) é menor que \(y\text{,}\) e escrevemos \(x\lt y\text{,}\) quando \(y-x\in\mathbb{R}^+\text{.}\) Neste caso, dizemos ainda que \(y\) é maior que \(x\) e escrevemos \(y>x\text{.}\)

Notação. A notação \(x\leq y\) significa que \(x\lt y\) ou \(x=y\text{.}\) De maneira similar, a notação \(y\geq x\) significa que \(y>x\) ou \(y=x\text{.}\)

Observação 1.1.9.

Observe que \(x\in\mathbb{R}^+\) se, e somente se, \(x>0\text{.}\) De fato, por definição da relação de ordem, \(x>0 \Leftrightarrow x=x-0\in\mathbb{R}^+.\) De maneira similar, \(x\in\mathbb{R}^-\) se, e somente se, \(x\lt 0\text{.}\) Sendo assim, \(x>0\) significa que \(x\) é positivo, enquanto \(x\lt 0\) significa que \(x\) é negativo.

item 1. Se \(x\lt y\) e \(y\lt z\) então \(y-x \in \mathbb{R}^+\) e \(z-y \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Segue que \((y-x)+(z-y)\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Portanto, \(z-x \in \mathbb{R}^+\text{,}\) ou seja \(x\lt z\text{,}\) pois

\begin{align*} (y-x) + (z-y) =\amp~ (y+(-x)) + (z+(-y)) = \\ = (z+(-y))+(y+(-x)) =\amp~ z +((-y)+(y+(-x))) = \\ = z+(((-y)+(y))+(-x)) =\amp~ z+(0+(-x)) = \\ = z+(-x) =\amp~ z-x. \end{align*}

item 2. Pelo item 2 do Axioma 1.1.5, vale uma, e somente uma, das três alternativas:

\begin{equation*} \text{ ou }~ y-x=0 ~\text{ ou }~ y-x \in \mathbb{R}^+ ~\text{ ou }~ x-y = -(y-x) \in \mathbb{R}^+. \end{equation*}

Observe que \(y-x=0 \Leftrightarrow x=y\) e, pela Definição 1.1.8, \(y-x \in \mathbb{R}^+ \Leftrightarrow x\lt y\) e \(x-y \in \mathbb{R}^+ \Leftrightarrow y\lt x\text{.}\)

item 3. Basta observar que

\begin{equation*} (y+z)-(x+z) = y-x. \end{equation*}

item 4. Como \(x\lt y\text{,}\) temos \(y-x\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Supondo \(z\in \mathbb{R}^+\text{,}\) segue que

\begin{equation*} (y-x)\cdot z \in \mathbb{R}^+, \end{equation*}

mas \((y-x)\cdot z = yz-xz\text{.}\) Então \(xz\lt yz\text{.}\)

Supondo \(z\lt 0\text{,}\) temos \(-z \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Portanto,

\begin{equation*} (y-x)\cdot(-z)\in \mathbb{R}^+. \end{equation*}

Mas

\begin{align*} (y-x)\cdot(-z) =\amp~ (y+(-x))\cdot(-z)\\ =\amp~ y(-z)+(-x)(-z)\\ =\amp~ -yz + xz\\ =\amp~ xz - yz. \end{align*}

Então,

\begin{equation*} yz\lt xz. \end{equation*}

item 1. Pelo monotonicidade da adição (item 3 da Proposição 1.1.10),

\begin{equation*} a\lt b \Rightarrow a+x \lt b+x, \end{equation*}

e

\begin{equation*} x\lt y \Rightarrow b+x \lt b+y. \end{equation*}

Pela transitividade (item 1 da Proposição 1.1.10),

\begin{equation*} a+x\lt b+y. \end{equation*}

item 2. Pelo monotonicidade da multiplicação (item 4 da Proposição 1.1.10),

\begin{equation*} x\lt y \text{ e } a>0 \Rightarrow ax\lt ay \end{equation*}

e

\begin{equation*} a\lt b \text{ e } y>0 \Rightarrow ay\lt by \end{equation*}

Pela transitividade (item 1 da Proposição 1.1.10),

\begin{equation*} ax\lt by. \end{equation*}

item 3. Como \(x\neq 0\text{,}\) \(x^{-1}\in \mathbb{R}\text{,}\) logo, pela Proposição 1.1.6, \((x^{-1})^2 \in \mathbb{R}^+\text{.}\) Pelo item \(1.\) do Axioma 1.1.5, o produto de depois elemento de \(\mathbb{R}^+\) pertence a \(\mathbb{R}^+\text{.}\) Então, como \(x\in \mathbb{R}^+\) e \((x^{-1})^2 \in \mathbb{R}^+\text{,}\) temos

\begin{equation*} \frac{1}{x} = x^{-1} = x\cdot(x^{-1})^2>0. \end{equation*}

item 4. Pelo item anterior, \(x^{-1} > 0\) e \(y^{-1} > 0\text{.}\) Logo, pela monotonicidade da multiplicação,

\begin{equation*} x\lt y \Rightarrow x\cdot (x^{-1}y^{-1}) \lt y\cdot (x^{-1}y^{-1}), \end{equation*}

fazendo as contas obtemos,

\begin{equation*} y^{-1} \lt x^{-1}. \end{equation*}

Subseção 1.1.3 Valor Absoluto

Definição 1.1.12.

Dado \(x\in\mathbb{R}\) definimos o módulo (ou valor absoluto) de \(x\) como

\begin{equation*} |x|=\begin{cases} x, \amp \text{ se } x>0\\ 0, \amp \text{ se } x=0\\ -x, \amp \text{ se } x\lt 0\\ \end{cases} \end{equation*}
Observação 1.1.13.

Note que \(|x|=\max\{x,-x\}\text{.}\)

Exemplo 1.1.14.

Calcule os seguintes números:

  1. \(\displaystyle |3|\)
  2. \(\displaystyle |-3|\)
  3. \(\displaystyle |0|\)
  4. \(\displaystyle |3-\pi|\)

item 1. Pelo item 2 do Axioma 1.1.5, ou \(x=0\) ou \(x\in \mathbb{R}^+\) ou \(-x\in \mathbb{R}^+\text{.}\) Como \(|x| = \max\{x,-x\}\text{,}\) claramente \(|x|\geq 0\text{.}\)

item 2. \(|-x| = \max\{-x, -(-x)\} = \max\{-x, x\} = \max\{x, -x\} = |x|\text{.}\)

item 3. Claramente \(x\leq |x|\text{.}\) Como \(-x\leq |x|\text{,}\) multiplicando por \(-1\) obtemos, \(x\geq -|x|\text{.}\) Logo,

\begin{equation*} -|x|\leq x \leq |x|. \end{equation*}

item 4. Existem 3 casos:

  • Se \(x>0\text{,}\) \(|x|=x\text{,}\) então \(|x|^2=x^2\text{.}\)
  • Se \(x\lt 0\text{,}\) \(|x|=-x\text{,}\) então \(|x|^2=(-x)^2 = x^2\text{.}\)
  • Se \(x=0\text{,}\) então \(|x|^2=0=x^2\text{.}\)

item 5. Basta mostar que \(|x\cdot y|^2 = (|x|\cdot |y|)^2\text{,}\) já que são maiores ou iguais a zero. Note que

\begin{equation*} (|x|\cdot |y|)^2 = |x|^2|y|^2= x^2\cdot y^2 = (x\cdot y)^2 = |x\cdot y|^2. \end{equation*}

item 6.

\begin{equation*} \left| \frac{x}{y} \right| = |x\cdot y^{-1}| = |x|\cdot|y^{-1}| = |x|\cdot|y|^{-1} = \frac{|x|}{|y|}. \end{equation*}

item 7. Inicialmente temos, \(|x|\geq x\) e \(|y|\geq y\text{.}\) Somando membro a membro obtemos,

\begin{equation*} |x|+|y|\geq x+y. \end{equation*}

Analogamente, de \(|x|\geq -x\) e \(|y|\geq -y\) resulta \(|x|+|y| \geq -(x+y)\text{.}\) Logo,

\begin{equation*} |x|+|y|\geq |x+y| = \max\{ x+y, -(x+y) \}. \end{equation*}

O próximo resultado é simples, porém muito útil quando queremos resolver equações que envolvem módulos.

Lembrando que \(|x| = \max\{x, -x\}\text{.}\)

  • Se \(|x|=x\) e \(|x|=a\text{,}\) então \(x=a\text{.}\)
  • Se \(|x|=-x\) e \(|x|=a\text{,}\) então \(-x=a\Rightarrow x=-a\text{.}\)
Exemplo 1.1.17.

Resolva as equações modulares

  1. \(|2x-3|=2\text{;}\)
  2. \(|(x-1)(2x+1)|=x-1\text{;}\)
Solução

item 1. Pela proposição anterior,

\begin{equation*} |2x-3|=2 \Leftrightarrow 2x-3=2 ~\text{ ou }~ 2x-3=-2. \end{equation*}
  • \(\displaystyle 2x-3=2 \Leftrightarrow 2x = 5 \Leftrightarrow x=\frac{5}{2}.\)
  • \(2x-3=-2 \Leftrightarrow 2x=-2+3 \Leftrightarrow 2x=1 \Leftrightarrow x= \dfrac{1}{2}\text{.}\)

Ou seja, o conjunto solução é dado por \(S = \{\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\}\text{.}\)

item 2. Inicialmente, note que, o valor absoluto sempre é maior ou igual a zero. Portanto \(x-1\geq 0\text{,}\) logo \(x\geq 1\text{.}\) Pela proposição anterior,

\begin{equation*} |(x-1)(2x+1)|=x-1 \Leftrightarrow \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \end{equation*}
\begin{equation*} \Leftrightarrow (x-1)(2x+1)=x-1 ~\text{ ou }~ (x-1)(2x+1)=-(x-1). \end{equation*}
  • \((x-1)(2x+1)=x-1 \Leftrightarrow 2x(x-1) = 0 \Leftrightarrow x=0\) ou \(x=1\text{.}\)
  • \((x-1)(2x+1)=-(x-1) \Leftrightarrow 2(x^2-1)=0 \Leftrightarrow x=-1\) ou \(x=1\text{.}\)

Ou seja, o conjunto solução é dado por \(S=\{1\}\text{,}\) já que \(x\geq 1\text{.}\)

Pela Proposição 1.1.18,

\begin{equation*} |a-x|\lt \delta \Leftrightarrow -\delta\lt x-a \lt \delta. \end{equation*}

Somando \(a\text{,}\) obtemos o resultado.

Exemplo 1.1.20.

Resolva as inequações modulares

  1. \(|x-5|\lt 2\text{;}\)
  2. \(|2x-3|\geq 5\text{.}\)

Subseção 1.1.4 Intervalos

É muito conveniente imaginar o conjunto \(\mathbb{R}\) como uma reta, chamada a reta real, e os números reais como pontos dessa reta.

Olhando para o conjunto \(\mathbb{R}\text{,}\) como uma reta, a relação \(x\lt y\) significa que o ponto \(x\) está à esquerda do ponto \(y\text{.}\) O número \(|x-y|\) é a distância do ponto \(x\) ao ponto \(y\text{,}\) assim, \(x\) é a distância do ponto \(x\) ao ponto \(0\text{.}\) Ademais, consideremos os seguintes subconjuntos de \(\mathbb{R}\text{,}\) chamados intervalos:

  1. \(\displaystyle [a,b]=\{x\in\mathbb{R}; a\leq x\leq b\}\)
  2. \(\displaystyle (a,b)=\{x\in\mathbb{R}; a\lt x\lt b\}\)
  3. \(\displaystyle [a,b)=\{x\in\mathbb{R};a\leq x\lt b\}\)
  4. \(\displaystyle (a,b]=\{x\in\mathbb{R}; a\lt x\leq b\}\)
  5. \(\displaystyle (-\infty,b]=\{x\in\mathbb{R}; x\leq b\}\)
  6. \(\displaystyle (-\infty,b)=\{x\in\mathbb{R}; x \lt b\}\)
  7. \(\displaystyle [a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}; a\leq x\}\)
  8. \(\displaystyle (a,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}; a\lt x\}\)
  9. \(\displaystyle (-\infty,+\infty)=\mathbb{R}\)

Os quatro primeiros intervalos são limitados, com extremos \(a,b\text{:}\) \([a,b]\) é um intervalo fechado, \((a,b)\) é aberto, \([a,b)\) é fechado à esquerda e aberto à direita e \((a,b]\) é fechado à direita e aberto à esquerda. Os cinco últimos intervalos são ilimitados: \((-\infty,b]\) é a semirreta esquerda fechada de origem \(b\text{,}\) demais têm denominações análogas. Quando \(a=b\text{,}\) o intervalo fechado \([a,b]\) reduz-se a um único ponto e chama-se um intervalo degenerado.

Em termos de intervalos, o Corolário 1.1.19 nos diz que \(|x-a|\lt \delta\) se, e somente se, \(x\) pertence ao intervalo aberto \((a-\delta,a+\delta)\text{.}\) Além disso, \(|x-a|\lt \delta\) significa que a distância de \(x\) para \(a\) é menor que \(\delta\text{.}\)

Essas interpretações geométricas nos auxiliam a compreensão dos conceitos e teoremas da Análise.