UFRPE-DM O Teorema do Confronto

Seção 2.3 O Teorema do Confronto

Subseção 2.3.1 O Teorema do Confronto

Teorema 2.3.1.

Seja \(a\) um número real e \(f,g\) funções tais que \(f(x)\leq g(x)\) para todo \(x\) próximo de \(a\text{,}\) exceto possivelmente em \(x=a\text{,}\) então

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to a} f(x) \leq \lim\limits_{x \to a} g(x). \end{equation*}

Teorema 2.3.2. Teorema do Confronto.

Seja \(a\) um número real e \(f,g,h\) funções tais que \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) para todo \(x\) próximo de \(a\text{,}\) exceto possivelmente em \(x=a\text{.}\) Então se

\begin{align*} \lim\limits_{x \to a} f(x) \amp= \lim\limits_{x \to a} h(x) = L \end{align*}

teremos

\begin{align*} \lim\limits_{x \to a} g(x) \amp= L. \end{align*}

Usando o teorema acima, podemos calcular o limite de funções com expressões complicadas.

Exemplo 2.3.3. \(\lim\limits_{x \to 0} x^2 \sin(\pi/x) \).

Determine \(\lim\limits_{x \to 0} x^2 \sin(\pi/x)\text{.}\)

Solução

Já que \(-1 \leq \sin(t) \leq 1\) para todo número \(t\text{,}\) temos

\begin{align*} -1 \leq \sin(\pi /x ) \leq 1 \amp\amp \text{para todo } x \neq 0 \end{align*}

multiplicando por \(x^2\) veremos que

\begin{align*} -x^2 \leq x^2 \sin(\pi /x ) \leq x^2 \amp\amp \text{para todo } x\neq0 \end{align*}

Como

\begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} x^2 = \lim\limits_{x \to 0} (-x^2) = 0 \end{equation*}

o Teorema do Confronto fornece

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0} x^2 \sin(\pi/x) \amp= 0. \end{align*}

Exemplo 2.3.4. Outro exemplo com o teorema do confronto.

Suponha que \(f(x)\) é função que satisfaz \(1 \leq f(x) \leq x^2-2x+2\text{.}\) Determine \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\text{.}\)

Solução

Já estamos supridos com uma desigualdade, então é provável que ela nos ajude. Devemos examinar os limites de cada lado para ver se eles são os mesmos:

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 1} 1 \amp= 1\\ \lim\limits_{x \to 1} (x^2-2x+2) \amp= 1-2+2 = 1 \end{align*}

Então observamos que a função \(f(x)\) limitada entre duas funções que tende para \(1\) quando \(x \to 1\text{.}\) Portanto, pelo teorema do confronto teremos

\begin{align*} \lim\limits_{x \to 1} f(x) \amp =1. \end{align*}

Exemplo 2.3.5.

Determine \(\lim\limits_{x\to 0}x^4\cos{\frac{2}{x}}\)

Resposta

\(0\)

Exemplo 2.3.6.

Se \(4x-9 \leq f(x)\leq x^2-4x+7\) para todo \(x\geq\text{,}\) encontre \(\lim\limits_{x\to 4}f(x).\)

Resposta

\(7\)

Subseção 2.3.2 O limite fundamental \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen~{x}}{x}\)

O limite \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen~{x}}{x}\text{,}\) é conhecido como o limite fundamental.

Teorema 2.3.7.

\begin{equation*} 0\lt sen~t\lt t\lt \tan{t}, \end{equation*}

para \(0\lt t\lt \dfrac{\pi}{2}\text{.}\)

Demonstração.

Justificativa geométrica.

Figura 2.3.8.

Note que as áreas dos triângulos \(\Delta OAP\) e \(\Delta OAT\) são

\begin{equation*} \text{área}\Delta OAP = \frac{sen~t}{2}\quad \text{ e }\quad \text{área}\Delta OAT = \frac{\tan{t}}{2} \end{equation*}

Portanto,

\begin{equation*} \frac{sen~t}{2}\lt \frac{t}{2}\lt \frac{\tan{t}}{2}, \end{equation*}

ou seja,

\begin{equation*} 0\lt sen~t\lt t\lt \tan{t}, ~\text{ para } 0\lt t\lt \frac{\pi}{2}. \end{equation*}

Teorema 2.3.9.

\begin{equation*} \lim_{t\rightarrow 0} \frac{sen~{t}}{t}=1. \end{equation*}

Demonstração.

Pelo Teorema 2.3.7, para \(0\lt t\lt \dfrac{\pi}{2}\) valem as desigualdades:

\begin{equation*} 0\lt sen~t\lt t\lt \tan{t}\text{.} \end{equation*}

Dividindo por \(sen~t\text{,}\) obtemos

\begin{equation*} 1\lt \frac{t}{sen~t}\lt \frac{1}{\cos{t}} \Rightarrow \cos{t}\lt \frac{sen~t}{t}\lt 1. \end{equation*}

Por outro lado, para \(-\frac{\pi}{2}\lt t\lt 0\text{,}\) temos \(0\lt -t\lt \frac{\pi}{2}\) e aplicando o Teorema 2.3.7 novamente, obtemos

\begin{equation*} \cos{(-t)}\lt \frac{sen~(-t)}{-t}\lt 1 \Rightarrow \cos{t}\lt \frac{sen~t}{t}\lt 1. \end{equation*}

Assim, para todo \(t\text{,}\) com \(0\lt |t|\lt \frac{\pi}{2}\text{,}\) temos

\begin{equation*} \cos{t}\lt \frac{sen~{t}}{t}\lt 1. \end{equation*}

E pelo Teorema do Confronto, concluímos que

\begin{equation*} \lim_{t\rightarrow 0} \frac{sen~{t}}{t}=1. \end{equation*}

Exemplo 2.3.10.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen~{5x}}{x} \end{equation*}

Exemplo 2.3.11.

Calcule

\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2} \end{equation*}

Solução

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2}=\amp~\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos{x}}{x^2}\cdot \frac{1+\cos{x}}{1+\cos{x}}\\ =\amp~\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos^2{x}}{x^2}\cdot \frac{1}{1+\cos{x}}\\ =\amp~\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sen^2~{x}}{x^2}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+\cos{x}}\\ =\amp~1\cdot\frac{1}{1+1}\\ =\amp~\frac{1}{2}. \end{align*}

Exercícios 2.3.3 Exercícios

1.

Se \(2x\leq g(x) \leq x^4-x^2+2\) para todo \(x,\) calcule \(\lim_{x\rightarrow 1}g(x).\)

2.

Calcule os seguintes limites:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x^3+x^2}\sin\frac{\pi}{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\sqrt{x}~2^{\sin(\pi/x)}\)

3.

Calcule os seguintes limites:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan{x}}{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{sen~x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen~3x}{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi}\frac{sen~x}{x-\pi}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{sen~x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{3x^2}{\tan{x}sen~x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan{3x}}{sen~4x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{1-sen~x}{2x-\pi}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cdot sen\frac{1}{x}\)