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Seção 4.3 Teorema de Rolle e do Valor Médio

Subseção 4.3.1 Teorema do Valor Médio

Veja págino 81 do livro [5.2].

Exemplo 4.3.2.

Seja \(f=(x^3-10x^2+50)/15\text{.}\)

Figura 4.3.3.

Caso 1: \(f\) é constante em \([a, b]\text{.}\) Neste caso \(f'(x)=0\) em \((a, b)\text{,}\) logo, para qualquer \(c\in (a, b)\text{,}\) temos \(f'(c)=0\text{.}\)

Caso 2: \(f\) não é constante em \([a, b]\text{.}\) Como \(f\) é contínua em \([a, b]\text{,}\) pelo Teorema de Weierstrass (Teorema 4.3.1), existem \(x_1\) e \(x_2\) em \([a, b]\text{,}\) tais que \(f(x_1)\) e \(f(x_2)\) são, respectivamente, os valores mínimo e máximo de \(f\) em \([a, b]\text{.}\) Como \(f\) não é constante, temos \(f(x_1)\neq f(x_2)\) e como \(f(a) = f(b)\text{,}\) necessariamente \(x_1\) ou \(x_2\) pertence a \((a, b)\text{.}\) Daí, como a derivada nos pontos de mínimo e máximo são iguais a zero, temos \(f'(x_1)=0\) ou \(f'(x_2)=0\text{.}\) Portanto, existe \(c\) em \((a, b)\) tal que \(f'(c)=0\text{.}\)

Considere a função \(g(x)\text{,}\) com \(x\in[a, b]\text{,}\) dada por

\begin{equation*} g(x) = f(x) -\left(f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right) \end{equation*}

Observe que \(g(a)=g(b)\) e que

\begin{equation*} g'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{equation*}

Pelo Teorema de Rolle (Teorema 4.3.4), existe \(c\in(a, b)\) tal que

\begin{equation*} g'(c)=0 \end{equation*}

Ou seja,

\begin{equation*} 0 = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{equation*}
Exemplo 4.3.7.

Seja \(f=x^3-x^2\text{.}\) No intervalo \([-7/10, 14/10]\text{,}\) existem dois pontos \(c_1\) e \(c_2\text{,}\) nos quais,

\begin{equation*} f'(c_i) = \frac{f(1.4)-f(-0.7)}{1.4-(-0.7)},\quad i\in\{1,2\}. \end{equation*}
Figura 4.3.8.

Subseção 4.3.2 Aplicações do Teorema do Valor Médio

Como consequência do Teorema do Valor Médio (TVM), temos o seguinte teorema:

item a) Já que \(f'(x)>0\text{,}\) \(\forall x \in (a, b)\text{,}\) sejam, \(c, d \in (a, b)\text{,}\) com \(c\lt d\text{.}\) Vamos mostrar que \(f(c)\lt f(d).\) Como \(f\) satisfaz as hipóteses do TVM, existe \(\tilde{x}\in (c, d)\) tal que

\begin{equation*} f(d)-f(c) = f'(\tilde{x})(d-c). \end{equation*}

Como \(f'(\tilde{x})>0\text{,}\) pois \(\tilde{x}\in (a,b)\) e \(d-c>0,\) segue

\begin{equation*} f(d) - f(c) > 0 \Rightarrow f(c)\lt f(d). \end{equation*}

Portando, como a escolha de \(c \lt d\text{,}\) foi arbitrária, o resultado segue.

item b) Este item é análogo ao anterior.

Exemplo 4.3.10.

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de \(f(x) = x^3-5x^2+3x+1\text{.}\)

Solução
\begin{equation*} f'(x) = 3x^2-10x+3 \end{equation*}

e

\begin{equation*} 3x^2-10x+3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \text{ ou } x = 3. \end{equation*}

Como o gráfico de \(f'(x)\) é uma parábola, sabemos que

\begin{equation*} \begin{cases} f'(x)>0 \amp \text{ em } \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\cup \left( 3, +\infty \right) \\ f'(x)\lt 0 \amp \text{ em } \left(\frac{1}{3}, 3 \right) \end{cases} \end{equation*}

Como \(f\) é contínua, pelo Teorema 4.3.9, temos

\begin{equation*} \begin{cases} f \text{ é estritamente crescente em } \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)\cup \left( 3, +\infty \right) \\ f \text{ é estritamente decrescente em } \left(\frac{1}{3}, 3 \right) \end{cases} \end{equation*}
Exemplo 4.3.11.

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de

\begin{equation*} f(x) = \dfrac{x^2-x}{1+3x^2}. \end{equation*}
Resposta
\begin{equation*} \begin{cases} f \text{ é estritamente crescente em } \left(-\infty, -1\right)\cup \left( \frac{1}{3}, +\infty \right) \\ f \text{ é estritamente decrescente em } \left(-1, \frac{1}{3} \right) \end{cases} \end{equation*}
Definição 4.3.12.

Sejam \(f\) uma função derivável no intervalo \((a,b)\) e \(T_p(x)\) a reta tangente em \((p, f(p))\) ao gráfico de \(f\text{,}\) \(p\in (a, b)\text{.}\)

  1. Dizemos que \(f\) tem concavidade para cima em \((a, b)\) se

    \begin{equation*} f(x)>T_p(x) \end{equation*}

    para quaisquer \(x\) e \(p\) em \((a, b)\text{,}\) com \(x\neq p\text{.}\)

  2. Dizemos que \(f\) tem concavidade para baixo em \((a, b)\) se

    \begin{equation*} f(x)\lt T_p(x) \end{equation*}

    para quaisquer \(x\) e \(p\) em \((a, b)\text{,}\) com \(x\neq p.\)

Definição 4.3.13.

Sejam \(f\) uma função e \(p\in D_f\text{,}\) com \(f\) contínua em \(p\text{.}\) Dizemos que \(p\) é ponto de inflexão de \(f\) se existem \(a, b \in D_f\text{,}\) com \(p\in (a, b)\text{,}\) tal que as concavidades de \(f\) em \((a, p)\) e em \((p, b)\) sejam opostas.

item a) Sejam \(f''(x)>0\) para \(x \in (a,b)\) e \(p \in (a, b)\) arbitrário. Vamos mostrar que

\begin{equation*} f(x)>T_p(x), \end{equation*}

para todo \(x\in (a, b)\text{,}\) com \(x\neq p\text{,}\) na qual, \(T_p(x) = f'(p)(x-p)+f(p)\text{.}\) Considere \(g(x) = f(x)-T_p(x)\text{,}\) logo

\begin{equation*} g'(x) = f'(x)-f'(p), ~~ x\in(a,b), \end{equation*}

pois \(T_p'(x) = f'(p)\text{.}\) Como \(f''(x)>0\) em \((a, b)\text{,}\) pelo Teorema 4.3.9, \(f'\) é estritamente crescente em \((a, b)\text{.}\) Então,

\begin{equation*} \begin{cases} g'(x)>0, \amp \text{para } x>p \\ g'(x)\lt 0, \amp \text{para } x\lt p. \end{cases} \end{equation*}

Mais uma vez pelo Teorema 4.3.9,

\begin{equation*} \begin{cases} g(x) \text{ é estritamente decrescente para } x\lt p, \text{ com } x\in (a, b)\\ g(x) \text{ é estritamente crescente para } x>p, \text{ com } x\in (a, b). \end{cases} \end{equation*}

Como \(g(p)=0\text{,}\) temos \(g(x)>0\) para todo \(x\in(a, b)\text{,}\) \(x\neq p\text{.}\) E como \(g(x) = f(x) - T_p(x)\text{,}\) temos

\begin{equation*} f(x)>T_p(x) \text{ para todo } x\in(a, b), x\neq p. \end{equation*}
Exemplo 4.3.15.

Estude a função

\begin{equation*} f(x) = x^3-3x^2-9x, \end{equation*}

com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Solução
\begin{equation*} f''(x) = 6x-6 \end{equation*}
\begin{equation*} 6x-6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} 6x-6>0, \amp \text{para } x>1\text{. Concavidade para cima em } (1, +\infty) \\ 6x-6\lt 0, \amp \text{para } x\lt 1\text{. Concavidade para baixo em } (-\infty, 1) \\ 6x-6=0, \amp \text{Ponto de inflexão em } x=1. \end{cases} \end{equation*}
Exemplo 4.3.16.

Estude a função

\begin{equation*} f(x) = x^2+\frac{1}{x}, \end{equation*}

com relação à concavidade e pontos de inflexão.

Dica

Exercícios 4.3.3 Exercícios

1.

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções e esboce o gráfico das funções:

  1. \(\displaystyle f(x) = x^3-3x^2+1\)
  2. \(\displaystyle f(x) = x^3+2x^2+x+1\)
  3. \(\displaystyle f(x) = x+\frac{1}{x}\)
  4. \(\displaystyle f(x) = 3x^5-5x^3\)
  5. \(\displaystyle f(x) = e^{2x}-e^x\)
  6. \(\displaystyle f(x) = \frac{x^3-x^2+1}{x}\)
  7. \(\displaystyle f(x) = xe^x\)
  8. \(\displaystyle f(x) = \frac{\ln{x}}{x}\)
  9. \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2-x+1}{2x-2}\)
  10. \(\displaystyle f(x) = x-e^x\)
2.

Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.

  1. \(\displaystyle f(x) = x^3-3x^2+1\)
  2. \(\displaystyle f(x) = x^3+2x^2+x+1\)
  3. \(\displaystyle f(x) = x+\frac{1}{x}\)
  4. \(\displaystyle f(x) = 3x^5-5x^3\)
  5. \(\displaystyle f(x) = e^{2x}-e^x\)
  6. \(\displaystyle f(x) = \frac{x^3-x^2+1}{x}\)
  7. \(\displaystyle f(x) = xe^x\)
  8. \(\displaystyle f(x) = \frac{\ln{x}}{x}\)
  9. \(\displaystyle f(x) = \frac{x^2-x+1}{2x-2}\)
  10. \(\displaystyle f(x) = x-e^x\)