Objetivos
- Definir o Triângulo de Pascal.
- Mostrar várias propriedades do Triângulo de Pascal.
- Exemplificar.
Seção 7.1 Triângulo de Pascal
Definição 7.1.1.
O Triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais \(C_n^p\text{,}\) na qual, \(n\) representa a linha, e \(p\) representa a coluna, com \(n,p \geq 0\text{.}\) Abaixo temos duas representações do mesmo triângulo, com \(0\leq n \leq 5\text{.}\)
Tecnologia 7.1.3.
Obtenha o Triângulo de Pascal referente ao intervalo escolhido.
Teorema 7.1.5.
(Relação de Stifel)
\begin{equation*}
C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}.
\end{equation*}
Demonstração.
\begin{align*}
C_n^p + C_n^{p+1}= \amp ~\frac{n!}{p!\times (n-p)!} + \frac{n!}{(p+1)!\times (n-p-1)!} \\
= \amp ~ \frac{(p+1)\times n!}{(p+1)\times p!\times (n-p)!} + \frac{(n-p)\times n!}{(n-p)\times(p+1)!\times (n-p-1)!} \\
= \amp ~ \frac{n!\times((p+1)+(n-p)) }{(n-p)!\times(p+1)!} \\
= \amp ~ \frac{n!\times(n+1) }{(n-p)!\times(p+1)!} \\
= \amp ~ \frac{(n+1)!}{(p+1)!\times (n-p)!} \\
= \amp ~ C_{n+1}^{p+1}
\end{align*}
Teorema 7.1.6.
(Relação das Combinações Complementares)
\begin{equation*}
C_n^p = C_n^{n-p}.
\end{equation*}
Demonstração.
\begin{equation*}
C_n^p= \frac{n!}{p!\times (n-p)!} = \frac{n!}{(n-p)!\times p!} = C_n^{n-p}.
\end{equation*}
Teorema 7.1.7.
(Teorema das Linhas)
\begin{equation*}
C_n^0 + C_n^1 +C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n.
\end{equation*}
Demonstração.
Observe que
\begin{equation*}
C_n^i \text{ é número de subconjuntos com}~ i ~\text{elementos, de } \{1, 2, \ldots, n\}.
\end{equation*}
Ou seja, a soma
\begin{equation*}
C_n^0 + C_n^1 +C_n^2 + \cdots + C_n^n
\end{equation*}
conta o número de todos os subconjuntos, de um conjunto com n elementos.
Essa quantidade é \(2^n\text{,}\) pois para formar um subconjunto, deve-se decidir, para cada elemento do conjunto, se ele pertencerá ou não ao subconjunto. Há dois modos de decidir o que fazer com o primeiro elemento do conjunto, 2 modos com o segundo e assim por diante. Portanto o valor da soma de uma linha do Triângulo de Pascal é
\begin{equation*}
2^n.
\end{equation*}
Exemplo 7.1.8.
Qual o valor da soma
\begin{equation*}
S = \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + \cdots + \frac{1}{n+1}C_n^n?
\end{equation*}
\begin{align*}
S = \amp \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}C_n^k \\
= \amp \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \\
= \amp \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac{n+1}{n+1} \\
= \amp \frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} \\
= \amp \frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n C_{n+1}^{k+1} \\
= \amp \frac{1}{n+1}\left( -C_{n+1}^0 - C_{n+1}^1 +\underbrace{C_{n+1}^0 + C_{n+1}^1 + \cdots+C_{n+1}^{n+1}}_{=2^{n+1}} \right) \\
= \amp \frac{1}{n+1}\left( 2^{n+1} - n -2 \right).
\end{align*}
Tecnologia 7.1.9.
Vamos resolver o Exemplo 7.1.8 usando o Sage. Primeiramente note que
\begin{equation*}
S = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1}C_n^k.
\end{equation*}
Definimos as variáveis \(\verb|n|\) e \(\verb|k|\text{,}\) definimos a função \(\verb|C(n,p)=binomial(n,p)|\) e usamos o método \(\verb|sum|\) com a expressão do somatório. No final do código do método \(\verb|sum|\) foi acrescentado o comando \(\verb|.show()|\) apenas para o resultado ser exibido no formato compilado pelo \(\LaTeX\text{,}\) ou seja, visualmente mais elegante.
Teorema 7.1.10.
(Teorema das Colunas)
\begin{equation*}
C_p^p + C_{p+1}^p + C_{p+2}^p + \cdots + C_{p+n}^p = C_{p+n+1}^{p+1}.
\end{equation*}
Demonstração.
\begin{align*}
C_{p+1}^{p+1} = \amp C_p^{p+1} + C_p^p \\
C_{p+2}^{p+1} = \amp C_{p+1}^{p+1} + C_{p+1}^p \\
C_{p+3}^{p+1} = \amp C_{p+2}^{p+1} + C_{p+2}^p \\
\vdots ~~~ = \amp ~~~~~~ \vdots \\
C_{p+n}^{p+1} = \amp C_{p+n-1}^{p+1} + C_{p+n-1}^p \\
C_{p+n+1}^{p+1} = \amp C_{p+n}^{p+1} + C_{p+n}^p
\end{align*}
Somando tudo, ficamos com
\begin{equation*}
C_{p+n+1}^{p+1} = C_p^{p+1} + C_p^p + C_{p+1}^p + C_{p+2}^p +\cdots + C_{p+n-1}^p + C_{p+n}^p.
\end{equation*}
Como \(C_p^{p+1} = 0\text{,}\) obtemos o resultado:
\begin{equation*}
C_{p+n+1}^{p+1} = C_p^p + C_{p+1}^p + C_{p+2}^p +\cdots + C_{p+n-1}^p + C_{p+n}^p.
\end{equation*}
Exemplo 7.1.11.
Qual o valor da soma
\begin{equation*}
S = 10\cdot 11 + 11\cdot 12+ \cdots + 98\cdot 99?
\end{equation*}
\begin{align*}
S = \amp \sum_{k=10}^{98} k(k+1) \\
= \amp \sum_{k=1}^{98} k(k+1) - \sum_{k=1}^9 k(k+1) \\
= \amp \sum_{k=1}^{98} 2!C_{k+1}^2 - \sum_{k=1}^9 2!C_{k+1}^2 \\
= \amp 2(C_2^2 +C_3^2 + \cdots + C_{99}^2) - 2(C_2^2 +C_3^2 + \cdots + C_{10}^2) \\
= \amp 2C_{100}^3 - 2C_{11}^3 \\
= \amp 323400 - 330\\
= \amp 323070
\end{align*}
Tecnologia 7.1.12.
Vamos resolver o Exemplo 7.1.11 usando o Sage. Primeiramente note que
\begin{equation*}
S = \sum_{k=10}^{98} k(k+1).
\end{equation*}
Definimos a variável \(\verb|n|\text{,}\) usamos o método \(\verb|sum|\) com a expressão do somatório.
Exemplo 7.1.13.
Qual o valor da soma
\begin{equation*}
S = 1^2\cdot2 + 2^2\cdot3+ 3^2\cdot4+\cdots+n^2\cdot(n+1)?
\end{equation*}
Note que
\begin{align*}
S = \amp \sum_{k=1}^{n} k^2\cdot (k+1) \\
= \amp \sum_{k=1}^{n} k^3+k^2
\end{align*}
Para usarmos o Teorema das Colunas, precisamos que no somatório apareca um produto de números consecutivos, pois
\begin{equation*}
k\cdot(k+1)\cdot(k+2) = 3!\frac{(k+2)!}{3!(k-1)!} = 3!\cdot C_{k+2}^{3}.
\end{equation*}
Então, vamos procurar valores para \(A, B, C\) e \(D\text{,}\) para os quais, vale a igualdade
\begin{align*}
k^3+k^2 = \amp ~ Ak(k+1)(k+2) + Bk(k+1) + Ck +D \\
= \amp ~ k^3(A) + k^2(3A+B) + k(2A+B+C) +D
\end{align*}
igualando os coeficientes, obtemos
\begin{equation*}
\begin{cases}
A = ~ 1 \\
3A+B = ~ 1 \\
2A+B+C = ~ 0 \\
D = ~ 0 \\
\end{cases}
\end{equation*}
Portanto, \(A= 1\) e \(B = -2\text{.}\) Agora podemos terminar o cálculo da soma
\begin{align*}
S = \amp ~ \sum_{k=1}^{n} k^3+k^2 \\
= \amp ~ \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) - 2 \sum_{k=1}^{n} k(k+1) \\
= \amp ~ 3!\sum_{k=1}^{n} C_{k+2}^3 - 2\cdot 2! \sum_{k=1}^{n} C_{k+1}^2 \\
= \amp ~ 6C_{n+3}^4 - 4C_{n+2}^3 \\
= \amp ~ \frac{3n^4+10n^3+9n^2+2n}{12}.
\end{align*}
Tecnologia 7.1.14.
Vamos resolver o Exemplo 7.1.13 usando o Sage. Primeiramente note que
\begin{equation*}
S = \sum_{k=1}^n k^2(k+1).
\end{equation*}
Definimos as variáveis \(\verb|n|\) e \(\verb|k|\text{,}\) usamos o método \(\verb|sum|\) com a expressão do somatório. No final do código do método \(\verb|sum|\) foi acrescentado o comando \(\verb|.show()|\) apenas para o resultado ser exibido no formato compilado pelo \(\LaTeX\text{,}\) ou seja, visualmente mais elegante.
Teorema 7.1.15.
(Teorema das Diagonais)
\begin{equation*}
C_n^0 + C_{n+1}^1 + C_{n+2}^2 + \cdots + C_{n+p}^p = C_{n+p+1}^p
\end{equation*}
Demonstração.
Aplicando o Teorema 7.1.6, em cada \(C_{n+i}^i\) obtemos
\begin{align*}
C_n^0 + C_{n+1}^1 + C_{n+2}^2 + \cdots + C_{n+p}^p = \amp ~ C_{n}^n+C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+\cdots+C_{n+p}^n\\
= \amp~C_{n+p+1}^{n+1}\quad (\text{pelo } \knowl{./knowl/teo-colunas.html}{\text{Teorema 7.1.10}})\\
= \amp~C_{n+p+1}^{p} \quad(\text{pelo } \knowl{./knowl/teo-reolacoes-complementares.html}{\text{Teorema 7.1.6}}).
\end{align*}
O que mostra o resultado.
Teorema 7.1.16.
\begin{equation*}
\text{a) Se } p\lt \frac{n-1}{2}, \text{ então } C_n^p\lt C_n^{p+1}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\text{b) Se } p> \frac{n-1}{2}, \text{ então } C_n^p>C_n^{p+1}.
\end{equation*}
Demonstração.
Vamos analisar a diferença \(C_n^{p+1}-C_n^p\text{:}\)
\begin{align*}
C_n^{p+1}-C_n^p = \amp ~ \frac{n!}{(p+1)!(n-p-1)!} - \frac{n!}{p!(n-p)!} \\
= \amp ~ \frac{n!}{(p+1) p!(n-p-1)!} - \frac{n!}{p!(n-p)(n-p-1)!} \\
= \amp ~ \frac{n!(n-p) - n!(p+1)}{(p+1)!(n-p)!} \\
= \amp ~ \frac{n!(n-2p-1)}{(p+1)! (n-p)!}
\end{align*}
Oberve que \(n!, (p+1)!\) e \((n-p)!\) são positivos, portanto o sinal de \(C_n^{p+1}-C_n^p\text{,}\) será determinado pelo sinal de
\begin{equation*}
n-2p-1.
\end{equation*}
Logo,
\begin{equation*}
\text{Se } n-2p-1>0, \text{ então } p\lt\frac{n-1}{2} \Rightarrow C_n^{p+1}-C_n^{p}>0 \Rightarrow C_n^{p}\lt C_n^{p+1}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
\text{Se } n-2p-1\lt 0, \text{ então } p>\frac{n-1}{2} \Rightarrow C_n^{p+1}-C_n^{p}\lt 0 \Rightarrow C_n^{p}>C_n^{p+1}.
\end{equation*}
Exercícios Exercícios
1.
Tem-se \(n\) comprimidos de substâncias distintas, solúveis em água e incapazes de reagir entre si. Quantas soluções distintas podem ser obtidas dissolven-se um ou mais desses comprimidos em um copo com água?
Resposta.
\(2^n-1\)
2.
Calcule o valor da soma
\begin{equation*}
S = 20\cdot21 + 21\cdot 22 +\cdots + 130\cdot 131.
\end{equation*}
Resposta.
746660
3.
Calcule o valor de
\begin{equation*}
S = \sum_{k=1}^{n}k(3k+1).
\end{equation*}
Resposta.
\(n^{3} + 2 \, n^{2} + n\)
4.
Calcule
\begin{equation*}
CR_n^0 + CR_n^1+\cdots+ CR_n^p.
\end{equation*}
Resposta.
\(C_{n+p}^p\)
